Lý thuyết Ôn tập chương 4 (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Lý thuyết Toán 12 Ôn tập chương 4

A. Lý thuyết

1. Số phức

1.1. Số i.

Số i là số thỏa mãn: i² = – 1.

1.2. Định nghĩa số phức

Mỗi biểu thức dạng a + bi , trong đó $a;b\in ℝ$; i² = – 1 được gọi là một số phức.

Đối với số phức z = a + bi, ta nói: a là phần thực, b là phần ảo của z.

Tập hợp các số phức kí hiệu là C.

Ví dụ 1. Các số sau là những số phức: 2 – 3i; –8 + 4i; $5-i\sqrt{2};\sqrt{3}+\text{}2i$

Ví dụ 2.

Số phức 6 – i có phần thực là 6, phần ảo là – 1.

1.3. Số phức bằng nhau

– Định nghĩa: Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau :

a + bi = c + di a = c và b = d.

Ví dụ 3. Tìm các số thực x và y biết :

(2x – 1) + (y – 2)i = 3 + (4 – y)i

Lời giải :

Ta có : (2x – 1) + (y – 2)i = 3 + (4 – y)i

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{c}2x-1=3\\ y-2=4-y\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}x=2\\ y=3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy x = 2 và y = 3.

– Chú ý :

a) Mỗi số thực a được coi là một số phức với phần ảo bằng 0 : a = a + 0i.

Như vậy, mỗi số thực cũng là một số phức. Ta có: $R\subset C$

b) Số phức 0 + bi được gọi là số thuần ảo và viết đơn giản là bi : bi = 0 + bi

Đặc biệt: i = 0 + 1.i

Số i được gọi là đơn vị ảo.

Ví dụ 4. Số phức z có phần thực là $-\frac{1}{2}$ và phần ảo là $\frac{1}{2}$ là $z=\frac{-1}{2}+\frac{1}{2}i$.

1.4. Biểu diễn hình học số phức

Điểm M(a ; b) trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức z = a + bi.

Ví dụ 5.

Điểm A biểu diễn số phức 2 – 2i

Điểm B biểu diễn số phức 4.

Điểm C biểu diễn số phức – 2.

Điểm D biểu diễn số phức 2 + 3i.

Điểm E biểu diễn số phức 2.

Điểm F biểu diễn số phức – 3 + 2i.

Điểm G biểu diễn số phức –2 – 3i.

1.5. Môđun của số phức.

Giả sử số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a ; b) trên mặt phẳng tọa độ.

Độ dài của vecto $\overrightarrow{OM}$ được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là |z|.

Vậy $\left|z\right|=\left|\overrightarrow{OM}\right|$ hay $\left|a+\text{\hspace{0.17em}}bi\right|=\left|\overrightarrow{OM}\right|$.

Ta thấy: $\left|a+bi\right|=\sqrt{a^2+b^2}$

Ví dụ 6.

1.6. Số phức liên hợp

– Định nghĩa : Cho số phức z = a + bi. Ta gọi a – bi là số phức liên hợp của z và kí hiệu là $\overline{z}=a-bi$.

Ví dụ 7.

Nếu z = –3 + 5i thì $\overline{z}=-3-5i$.

Nếu z = –4 + 4i thì $\overline{z}=-4-4i$.

– Nhận xét :

+ Trên mặt phẳng tọa độ các điểm biểu diễn z và $\overline{z}$ đối xứng nhau qua trục Ox.

+ Từ định nghĩa ta có: $\overline{\overline{z}}=z;\left|\overline{z}\right|=\left|z\right|$

2. Cộng, trừ và nhân số phức.

2.1. Phép cộng và phép trừ

– Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ đa thức.

– Tổng quát:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d).i

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d).i

2.2. Phép nhân

– Phép nhân hai số phức được thực hiện theo quy tắc nhân hai đa thức, rồi thay i² = – 1 vào kết quả.

– Tổng quát:

(a + bi).(c + di) = ac + adi + bci + bdi² = ac + adi + bci – bd

Vậy (a + bi). (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc).i

– Chú ý: Phép cộng và phép nhân số phức có tất cả các tính chất của phép cộng và phép nhân các số thực.

3. Phép chia số phức

3.1. Tổng và tích của hai số phức liên hợp

Cho số phức z = a + bi, ta có:

$z+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\overline{z}$= (a + bi) + (a – bi) = 2a;

$z.\overline{z}$= (a + bi). (a – bi) = a² – (bi)² = a² + b² =${\left|z\right|}^2$

+ Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó.

+ Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng bình phương mô đun của số phức đó.

Vậy tổng và tích của hai số phức liên hợp là một số thực.

3.2. Phép chia hai số phức

Chia số phức c + di cho số phức a + bi khác 0 là tìm số phức z sao cho

c + di = (a + bi).z. Số phức z được gọi là thương trong phép chia c + di cho a + bi và kí hiệu là: $z=\frac{c+di}{a+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}bi}$.

Ví dụ 8. Thực hiện phép chia 4 – 6i cho 1 + i.

Lời giải:

Giả sử $z=\frac{4-6i}{1+i}$.

Theo định nghĩa ta có: (1 + i).z = 4 – 6i.

Nhân cả hai vế với số phức liên hợp của 1 + i ta được:

(1 – i) .(1 + i).z = (1 – i).(4 – 6i)

Suy ra: 2z = – 2 – 10i

Do đó, z = –1 – 5i

Vậy $\frac{4-6i}{1+\text{\hspace{0.17em}}i}=-1-5i$.

– Tổng quát:

Giả sử $z=\frac{c+di}{a+bi}$. Theo định nghĩa phép chia số phức, ta có:

(a + bi).z = c + di

Nhân cả hai vế với số phức liên hợp của a + bi, ta được:

(a – bi)(a + bi).z = (a – bi)(c + di)

Hay (a² + b²).z = (ac + bd) + (ad – bc).i

Nhân cả hai vế với số thực $\frac{1}{a^2+b^2}$ ta được:

– Chú ý. Trong thực hành để tính thương $\frac{c+\text{}di}{a+bi}$, ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của a + bi.

Ví dụ 9. Thực hiện phép chia 2 – 4i cho 2 + i.

Lời giải:

4. Phương trình bậc hai với hệ số thực.

4.1. Căn bậc hai của số thực âm

Tương tự căn bậc hai của một số thực dương, từ i² = –1, ta nói i là một căn bậc hai của – 1; –i cũng là một căn bậc hai của –1 vì (– i)² = –1.

Ta đó, ta xác định được căn bậc hai của các số thực âm, chẳng hạn.

Căn bậc hai của –16 là $\pm 4i$ vì ${\left(\pm 4i\right)}^2=-16$

Căn bậc hai của –5 là $\pm \sqrt{5}i$ vì ${\left(\pm \sqrt{5}i\right)}^2=-5$

Tổng quát, các căn bậc hai của số thực a âm là $\pm i\sqrt{\left|a\right|}$.

4.2. Phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 với a; b ; c$\in ℝ;a\ne 0$.

Xét biệt số ∆ = b² – 4ac của phương trình. Ta thấy:

Khi ∆ = 0, phương trình có một nghiệm thực $x=\frac{-b}{2a}$.

Khi ∆ > 0, có hai căn bậc hai thực của ∆ là $\pm \sqrt{\Delta }$ phương trình có hai nghiệm thực phân biệt, được xác định bởi công thức $x_{1;2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$.

Khi ∆ < 0, ta có hai căn bậc hai thuần ảo của ∆ là $\pm i\sqrt{\left|\Delta \right|}$. Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức $x_{1;2}=\frac{-b\pm i\sqrt{\left|\Delta \right|}}{2a}$.

– Nhận xét:

Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt).

Tổng quát: Mọi phương trình bậc n $(n\ge 1)$:

a₀.xⁿ + a₁.x^n–1 + ….+ a_n–1.x + a_n = 0

Trong đó; a₀ ; a₁;…..; a_n$\in ℂ;a_0\ne 0$đều có n nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phân biệt).

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết :

a) – 2 + 2i ;

b) $8-i\sqrt{3}$;

c) – 8 ;

d) – 10i.

Lời giải :

a) Phần thực là – 2 ; phần ảo là 2.

b) Phần thực là 8 ; phần ảo là $\sqrt{3}$.

c) Ta có : – 8 = –8 + 0.i nên có phần thực là – 8; phần ảo là 0.

d) Ta có : –10i = 0 – 10i nên có phần thực là 0; phần ảo là –10.

Bài 2. Tìm các số thực x ; y biết :

a) (6 – 3x) + (x – y)i = 3 + 2i ;

b) (7 – y) + (x – 4)i = (y – 2).i .

Lời giải :

a) Để (6 – 3x) + (x – y)i = 3 + 2i

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{c}6-3x=3\\ x-y=2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}-3x=-3\\ x-y=2\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}x=1\\ y=-1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy x = 1 và y = –1.

b) Để (7 – y) + (x – 4)i = (y – 2).i

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{c}7-y=0\\ x-4=y-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}y=7\\ x-4=7-2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}y=7\\ x=9\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy x = 9 và y = 7.

Bài 3. Tính $\left|z\right|$, với :

Lời giải :

Bài 4. Tìm $\overline{z}$, biết :

Lời giải:

a) Số phức liên hợp của z là $\overline{z}=2+\sqrt{3}i$

b) Số phức liên hợp của z là $\overline{z}=-3-\text{\hspace{0.17em}}i\sqrt{5}$

c) Số phức liên hợp của z là $\overline{z}=5i$

d) Số phức liên hợp của z là $\overline{z}=6$

Bài 5. Thực hiện các phép tính:

a) (2 + 3i) + (– 3 + 6i);

b) (– 6 + 2i) + (3 – 7i);

c) (3 – 2i) – (8 – 4i);

d) (– 4 + 2i) – (2 – 3i).

Lời giải:

a) (2 + 3i) + (– 3 + 6i)

= [2 + ( –3)] + (3 + 6).i

= –1 + 9i.

b) (– 6 + 2i) + (3 – 7i)

= (– 6 + 3) + (2 – 7).i

= –3 – 5i

c) (3 – 2i) – (8 – 4i)

= (3 – 8) + [– 2 – (–4)].i

= –5 + 2i

d) (– 4 + 2i) – (2 – 3i)

= (– 4 – 2) + [2 – ( – 3)].i

= – 6 + 5i

Bài 6. Thực hiện các phép tính sau:

a) (3 – i). (4 – 2i);

b) (4 + 2i). (– 3 – i);

c) 4.(– 4 + 2i);

d) (– 3 + 4i) . 2i.

Lời giải:

a) (3 – i). (4 – 2i)

= [3. 4 – (– 1). (–2)] + [3. (–2) + (–1).4].i

= 10 – 10i

b) (4 + 2i). (– 3 – i)

= [4.(–3) – 2.(–1)] + [4.(–1) + 2.(–3)].i

= –10 –10i

c) 4.(– 4 + 2i)

= 4.(–4) + 4.2i

= –16 + 8i.

d) (– 3 + 4i) . 2i.

= –3. 2i + 4i. 2i

= –6i + 8i²

= – 6i – 8

Bài 7. Tính

a) (2 – 2i)²;

b) (1 – 2i)³;

c) (–2 + 5i). (– 2 – 5i).

Lời giải:

a) (2 – 2i)²

= 2² – 2. 2.2i + (2i)².

= 4 – 8i + 4i²

= 4 – 8i – 4

= – 8i

b) (1 – 2i)³

= 1³ – 3. 1².2i + 3.1.(2i)² + (2i)³

= 1 – 6i + 3. 4i² + 8i².i

= 1 – 6i – 12 – 8i

= –11 – 14i

c) (–2 + 5i). (– 2 – 5i)

= (–2)² – (5i)²

= 4 – 25i²

= 4 + 25

= 29.

Bài 8. Thực hiện các phép chia sau:

Lời giải:

Bài 9. Tìm nghịch đảo $\frac{1}{z}$ của số phức z, biết:

a) z = 3 –2i;

b) $z=-2+\sqrt{2}i$;

c) z = 4i.

Lời giải:

Bài 10. Giải các phương trình sau:

Lời giải:

Bài 11. Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: – 10; – 15; – 73; –144.

Lời giải:

Bài 12. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) 2z² + 4z + 3 = 0;

b) 5z² – 3z + 1 = 0;

c) –z² – 4z – 8 = 0.

Lời giải:

a) 2z² + 4z + 3 = 0 có a = 2; b = 4; c = 3

∆ = 4² – 4. 2.3 = – 8 < 0

Suy ra, phương trình đã cho có 2 nghiệm phức phân biệt là:

$z_{1;2}=\frac{-4\pm i\sqrt{8}}{2.2}$$\hspace{0.17em}=-1\pm \frac{\sqrt{2}}{2}.i$

b) 5z² – 3z + 1 = 0 có a = 5; b = –3; c = 1

∆ = (–3)² – 4. 5.1 = –11 < 0

Suy ra, phương trình đã cho có 2 nghiệm phức phân biệt là:

$z_{1;2}=\frac{3\pm i\sqrt{11}}{2.5}$$=\frac{3}{10}\pm \frac{\sqrt{11}}{10}i$

c) – z² – 4z – 8 = 0 có a = –1; b = – 4; c = –8

∆ = (– 4)² – 4.(–1).(–8) = 16 – 32 = –16 < 0

Suy ra, phương trình đã cho có 2 nghiệm phức phân biệt là:

$z_{1;2}=\frac{4\pm 4i}{2.(-1)}$$=-2\pm 2i$

Bài 13. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) z⁴ + 3z² + 2 = 0;

b) z⁴ – 3z² – 18 = 0.

Lời giải:

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=\left\{i;-i;i\sqrt{2};-i\sqrt{2}\right\}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là là $S=\left\{\pm i\sqrt{3};\pm \sqrt{6}\right\}$

Trắc nghiệm Toán 12 Bài: Ôn tập Chương 4

Câu 1. Thu gọn $z={\left(\sqrt{2}+3i\right)}^2$ ta được:

A. $z=11-6i$

B. $z=-1-i$

C. $z=4+3i$

D. $z=-7+6\sqrt{2}i$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: $z={\left(\sqrt{2}+3i\right)}^2=2+6\sqrt{2}i+9i^2$

$=-7+6\sqrt{2}i$

Câu 2. Trong các kết luận sau, kết luận nào sai:

A. $z+\overline{z}$ là một số thực

B. $z-\overline{z}$ là một số ảo

C. $z.\overline{z}$ là một số thực

D. $z^2+{\overline{z}}^2$ là một số ảo

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Giả sử $z=a+bi\left(a,b\in R\right)$

$\Rightarrow \overline{z}=a-bi$

Ta có: $z+\overline{z}=a+bi+a-bi=2a$ là một số thực

$\Rightarrow A$ đúng.

$z-\overline{z}=a+bi-a+bi=2bi$ là một số ảo

$\Rightarrow$B đúng

$z.\overline{z}=\left(a+bi\right).\left(a-bi\right)=a^2+b^2$ là một số thực

$\Rightarrow$C đúng

$z^2+{\overline{z}}^2={\left(a+bi\right)}^2+{\left(a-bi\right)}^2$

$=2a^2-2b^2$ là một số thực

$\Rightarrow$ D sai

Câu 3. Cho hai số phức $z_1=1+2i;z_2=2-3i$. Xác định phần ảo của số phức $3z_1-2z_2$

A. 11

B. 12

C. 10

D. 13

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $z_1=1+2i;z_2=2-3i$

$\Rightarrow 3z_1-2z_2=3\left(1+2i\right)-2\left(2-3i\right)$

$=3+6i-4+6i=-1+12i$

Vậy phần ảo của số phức đó là 12.

Câu 4. Tìm số phức liên hợp của số phức $z=3+2i$

A. $\overline{z}=3-2i$

B. $\overline{z}=-3-2i$

C. $\overline{z}=2-3i$

D. $\overline{z}=-2-3i$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Số phức liên hợp của số phức z = 3+2i là $\overline{z}=3-2i$

Câu 5. Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn số phức z. Số phức $\overline{z}$ là:

A. $2-i$

B. $1+2i$

C. $1-2i$

D. $2+i$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có M(2; 1) biểu diễn số phức z => z = 2 + 1 => $\overline{z }= 2-i$

Câu 6. Cho số phức z thỏa mãn $z\left(1+i\right)=3-5i$. Tính mô đun của z

A. $\left|z\right|=\sqrt{17}$

B. $\left|z\right|=16$

C. $\left|z\right|=17$

D. $\left|z\right|=4$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có:

$z\left(1+i\right)=3-5i$

$\iff z=\frac{3-5i}{1+i}=\frac{(3-5i)(1-t)}{1-i^2}$

$=-1-4i$

$\Rightarrow \left|z\right|=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(-4\right)}^2}=\sqrt{17}$

Câu 7. Phương trình $8z^2-4z+1=0$ có nghiệm là:

A. $z=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}i;z=\frac{5}{4}-\frac{1}{4}i$

B. $z=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}i;z=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}i$

C. $z=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}i;z=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}i$

D. $z=\frac{2}{4}+\frac{1}{4}i;z=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}i$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Phương trình $8z^2-4z+1=0$

Có $\Delta \text{'}=4-8=-4=4i^2$

$\Rightarrow$ phương trình có 2 nghiệm là:

$z_1=\frac{2+2i}{8}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}i;$

$z_2=\frac{2-2i}{8}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}i$

Câu 8. Trong C, cho phương trình $a{z}^2+bz+c=0\left(a\ne 0\right)$ (*). Gọi $\Delta =b^2-4ac$, ta xét các mệnh đề sau:

1) Nếu $\Delta$ là số thực âm thì phương trình (*) vô nghiệm.

2) Nếu $\Delta \ne 0$ thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

3) Nếu $\Delta =0$ thì phương trình (*) có 1 nghiệm kép

Trong các mệnh đề trên

A. Không có mệnh đề nào đúng

B. Có 1 mệnh đề đúng

C. Có 2 mệnh đề đúng

D. Có 3 mệnh đề đúng

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

1) Sai vì nếu $\Delta <0\Rightarrow \sqrt{\Delta }=\pm i\sqrt{\left|\Delta \right|}$ do đó phương trình có 2 nghiệm phức

2) Đúng

3) Đúng

Vậy có 2 mệnh đề đúng

Câu 9. Phần thực của số phức z thỏa mãn ${\left(1+i\right)}^2\left(2-i\right)z=8+i+\left(1+2i\right)z$ là:

A. – 6

B. – 3

C. 2

D. – 1

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:

${\left(1+i\right)}^2\left(2-i\right)z=8+i+\left(1+2i\right)z$

$\iff \left(1+2i+i^2\right)\left(2-i\right)z=8+i+\left(1+2i\right)z$

$\iff \left(2+4i\right)z=8+i+\left(1+2i\right)z$

$\iff \left(1+2i\right)z=8+i$

$\Rightarrow z=\frac{8+i}{1+2i}=\frac{\left(8+i\right)\left(1-2i\right)}{\left(1+2i\right)\left(1-2i\right)}$

$=\frac{10-15i}{1^2+2^2}=2-3i$

Phần thực của số phức z là: 2

Câu 10. Biết số phức $z=x+yi\left(x,y\in R\right)$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $\left|z-\left(3+4i\right)\right|=\sqrt{5}$ và biểu thức $P={\left|z+2\right|}^2-{\left|z-i\right|}^2$ đạt giá trị lớn nhất. Tính $\left|z\right|$

A. $\left|z\right|=\sqrt{33}$

B. $\left|z\right|=50$

C. $\left|z\right|=\sqrt{10}$

D. $\left|z\right|=5\sqrt{2}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Vì $\left|z-\left(3+4i\right)\right|=\sqrt{5}$

$\Rightarrow {(x-3)}^2+{(y-4)}^2=5$

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (C) có tâm I (3; 4) và bán kính $R=\sqrt{5}$

Ta có:

$P={\left|\left(x+2\right)+yi\right|}^2-{\left|x+\left(y-1\right)i\right|}^2$

$={(x+2)}^2+y^2-[x^2+{\left(y-1\right)}^2]$

$=4x+2y+3$

$\iff 4x+2y+3-P=0$

Ta tìm P sao cho đường thẳng $\Delta :4x+2y+3-P=0$ và đường tròn (C) có điểm chung

$\iff d\left[I,\Delta \right]\le R$

$\iff \frac{|12+8+3-P|}{\sqrt{20}}\le \sqrt{5}$

$\iff |23-P|\le 10$

$\iff 13\le P\le 33$

Do đó $P_{\max }=33$.

Dấu “=” xảy ra

$\iff \left\{\begin{array}{c}4x+2y-30=0\\ {\left(x-3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=5\end{array}\right.$

$\iff \{\begin{array}{c}x=5\\ y=5\end{array}$

Vậy $\left|z\right|=\sqrt{5^2+{\left(-5\right)}^2}=5\sqrt{2}$

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Khái niệm về khối đa diện

Lý thuyết Khối đa diện lồi và khối đa diện đều

Lý thuyết Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Lý thuyết Ôn tập chương 1

Lý thuyết Khái niệm về mặt tròn xoay