Cho tam giác ABC cân tại A, O là trung điểm của BC. Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC tại H, K. Một tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt các cạnh AB, AC ở M, N.

a) Cho $\hat{B}=\hat{C}=\alpha$. Tính $\widehat{MON}$.

b) Chứng minh rằng OM, ON chia tứ giác BMNC thành ba tam giác đồng dạng.

c) Cho BC = 2a. Tính tích BM.CN.

d) Tiếp tuyến MN ở vị trí nào thì tổng BM + CN nhỏ nhất?

* Lời giải:

a) Đường tròn (O) có hai tiếp tuyến HM và ME cắt nhau tại M.

Suy ra OM là tia phân giác của $\widehat{HME}$.

Do đó $\widehat{HMO}=\widehat{OME}=\frac{1}{2}\widehat{HME}=\beta$.

Chứng minh tương tự, ta được $\widehat{ONK}=\widehat{ONE}=\frac{1}{2}\widehat{ENK}=\gamma$.

Tứ giác BMNC, có: $\widehat{CBM}+\widehat{BMN}+\widehat{MNC}+\widehat{NCB}={360}^{\circ }$.

$\iff \alpha +2\beta +2\gamma +\alpha ={360}^{\circ }$.

$\iff 2\alpha +2\beta +2\gamma ={360}^{\circ }$.

$\iff \alpha +\beta +\gamma ={180}^{\circ }$ (1)

∆MON, có: $\widehat{MON}+\beta +\gamma ={180}^{\circ }$   (2)

Từ (1), (2), ta được $\widehat{MON}=\alpha$.

b) Xét ∆BOM và ∆ONM, có:

$\widehat{MBO}=\widehat{MON}=\alpha$;

$\widehat{BMO}=\widehat{OMN}=\beta$.

Do đó  (g.g).

Chứng minh tương tự, ta được  (g.g).

Vậy OM, ON chia tứ giác BMNC thành ba tam giác đồng dạng là ∆BOM, ∆ONM và ∆CON.

c) Ta có O là trung điểm của BC và BC = 2a.

Suy ra $BO=CO=\frac{BC}{2}=\frac{2a}{2}=a$.

Ta có  (chứng minh trên).

Suy ra $\frac{BM}{CO}=\frac{BO}{CN}$.

Do đó BM.CN = CO.BO = a.a = a².

Vậy BM.CN = a².

d) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được $BM+CN\ge 2\sqrt{BM.CN}=2\sqrt{a^2}=2a$.

Ta thấy a là một số không đổi.

Dấu “=” xảy ra ⇔ BM = CN = a.

Vì vậy tổng BM + CN nhỏ nhất khi và chỉ khi BM = CN = a.

Ta có tỉ số $\frac{BM}{AB}=\frac{CN}{AC}$.

Áp dụng định lí Thales đảo, ta được: MN // BC.

Vậy khi tiếp tuyến MN của (O) song song với đường thẳng BC thì tổng BM + CN nhỏ nhất.

* Phương pháp giải:

vận dụng kiến thức đã học về đường tròn và tam giác đồng dạng để chứng minh từng câu

* Lý thuyết nắm thêm

Định nghĩa về đường tròn

Đường tròn tâm O bán kính R > 0 là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng R kí hiệu là (O; R) hay (O).

Nếu A nằm trên đường tròn (O; R) thì OA = R.

Nếu A nằm trong đường tròn (O; R) thì OA < R.

Nếu A nằm ngoài đường tròn (O; R) thì OA > R.

Định lý về hai tiếp tuyến cắt nhau

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

    + Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

    + Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

    + Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm

Ta có:

Đường tròn nội tiếp của tam giác.

Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn, khi đó tam giác đó gọi là tam giác ngoại tiếp đường tròn.

Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác các góc trong của tam giác

Đường tròn bàng tiếp tam giác.

Đường tròn bàng tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia.

Tâm của đường tròn bàng tiếp trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C, giao điểm này cùng nằm trên đường phân giác góc A.

Với một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Chuyên đề Ôn tập chương 2: đường tròn - Toán 9

500 Bài tập Toán 9 Chương 2: Đường tròn mới nhất