Chuyên đề Ôn tập chương 2 (2022) - Toán 9

Chuyên đề Ôn tập chương 2 - Toán 9

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa về đường tròn

Đường tròn tâm O bán kính R > 0 là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng R kí hiệu là (O; R) hay (O).

Nếu A nằm trên đường tròn (O; R) thì OA = R.

Nếu A nằm trong đường tròn (O; R) thì OA < R.

Nếu A nằm ngoài đường tròn (O; R) thì OA > R.

2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây

    + Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

    + Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

    + Trong một đường tròn:

        ⋅ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

        ⋅ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

    + Trong hai dây của một đường tròn:

        ⋅ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

        ⋅ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

4. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng Δ. Đặt d = d(O, Δ).

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn	Số điểm chung	Hệ thức giữa d và R
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau	2	d < R
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau	1	d = R
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau	0	d > R

5. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

    + Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

    + Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.

6. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

    + Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

    + Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

    + Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

7. Đường tròn nội tiếp tam giác

    + Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác được gọi là ngoại tiếp đường tròn.

    + Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác các góc trong tam giác.

8. Đường tròn bàng tiếp tam giác

    + Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia được gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.

    + Với một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp.

    + Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C, hoặc là giao điểm của đường phân giác góc A và đường phân giác ngoài tại B (hoặc C).

9. Tính chất đường nối tâm

    + Đường nối tâm của hai đường tròn là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn đó.

    + Nếu hai đường tròn cắt nhau thi hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm.

    + Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.

10. Vị trí tương đối của hai đường tròn

Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r). Đặt OO' = d.

VTTĐ của hai đường tròn	Số điểm chung	Hệ thức giữa d với R và r
Hai đường tròn cắt nhau	2	R - r < d < R + r
Hai đường tròn tiếp xúc nhau: - Thiếp xúc ngoài - Tiếp xúc trong	1	d = R + r d = R - r
Hai đường tròn không giao nhau: - Ở ngoài nhau - (O) đựng (O')	0	d > R + r d < R - r

11. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

    + Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.

    + Tiếp tuyến chung ngoài là tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm.

    + Tiếp tuyến chung trong là tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Số tâm đối xứng của đường tròn là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải:

Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.

Nên đường tròn có một tâm đối xứng duy nhất là tâm của đường tròn

Chọn đáp án A

Câu 2: Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về trục đối xứng của đường tròn

A. Đường tròn không có trục đối xứng

B. Đường tròn có duy nhất một trục đối xứng là đường kính

C. Đường tròn có hai trục đối xứng là hai đường kính vuông góc với nhau

D. Đường tròn có vô số trục đối xứng là đường kính

Lời giải:

Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn

Nên đường tròn có vô số trục đối xứng

Chọn đáp án D

Câu 3: Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là

A. Giao của ba đường phân giác

B. Giao của ba đường trung trực

C. Giao của ba đường cao

D. Giao của ba đường trung tuyến

Lời giải:

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó

Chọn đáp án B

Câu 4: Cho đường tròn (O; R) và điểm M bất kì, biết rằng OM = R . Chọn khẳng định đúng?

A. Điểm M nằm ngoài đường tròn

B. Điểm M nằm trên đường tròn

C.Điểm M nằm trong đường tròn

D. Điểm M không thuộc đường tròn

Lời giải:

Cho điểm M và đường tròn (O; R) ta so sánh khoảng cách OM với bán kính R để xác định vị trí tương đối theo bảng sau:

Chọn đáp án B

Câu 5: Xác định tâm và bán kính của đường tròn đi qua cả bốn đỉnh của hình vuông ABCD cạnh a

A. Tâm là giao điểm A và bán kính R = a√2

B. Tâm là giao điểm hai đường chéo và bán kính R = a√2

C. Tâm là giao điểm hai đường chéo và bán kính 

D. Tâm là điểm B và bán kính là 

Lời giải:

Gọi O là giao hai đường chéo của hình vuông ABCD.

Khi đó theo tính chất của hình vuông ta có OA = OB = OC = OD nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD, bán kính R = OA = AC/2

Xét tam giác vuông tại ta có:

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD cạnh a là giao điểm hai đường chéo, bán kính là 

Chọn đáp án C

Câu 6: Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là

A. Trung điểm cạnh huyền

B. Trung điểm cạnh góc vuông lớn hơn

C. Giao ba đường cao

D. Giao ba đường trung tuyến

Lời giải:

Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp

Chọn đáp án A

Câu 7: Cho tam giác ABC có các đường cao BD, CE. Biết rằng bốn điểm B, E, D, C nằm trên một đường tròn. Chỉ rõ tâm và bán kính của đường tròn đó

A. Tâm là trọng tâm tam giác ABC và bán kính R = 2/3 AI với I là trung điểm của

B. Tâm là trung điểm AB và bán kính R = AB/2

C.Tâm là giao điểm của BD và EC, bán kính là R = AB/2

D. Tâm là trung điểm BC và bán kính là R = BC/2

Lời giải:

Chọn đáp án D

Câu 8: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, xác định vị trí tương đối của điểm A(-1; -1) và đường tròn tâm là gốc tọa độ O, bán kính R = 2

A. Điểm A nằm ngoài đường tròn

B. Điểm A nằm trên đường tròn

C. Điểm A nằm trong đường tròn

D. Không kết luận được

Lời giải:

Ta có: 

Nên A nằm trong đường tròn tâm O bán kính R = 2

Chọn đáp án C

Câu 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 15cm; AC = 20cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

A. R = 25

B. R = 25/2

C. R = 15

D. R = 20

Lời giải:

Vì tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền BC, bán kính là R = BC/2

Theo định lý Pytago ta có  nên bán kính R = 25/2

Chọn đáp án B

Câu 10: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm, BC = 5cm. Tính bán kính đường tròn đi qua bốn đỉnh A, B, C, D

A. R = 7,5cm

B. R = 13cm

C. R = 6cm

D. R = 6,5cm

Lời giải:

Gọi I là giao hai đường chéo, ta có IA = IB = IC = ID (vì BD = AC và I là trung điểm mỗi đường)

Nếu bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính R = AC/2

Theo định lý Pytago trong tam giác vuông ABC

Ta có:

Vậy bán kính cần tìm là R = 6,5cm

Chọn đáp án D

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Cho đường tròn (O) có bán kính R = 5 cm. Khoảng cách từ tâm đến dây AB là 3 cm. Tính độ dài dây AB

Lời giải:

Kẻ OH ⊥ AB tại H suy ra H là trung điểm của AB

Xét tam giác OHB vuông tại H có OH = 3; OB = 5 . Theo định lý Pytago ta có:

Mà H là trung điểm của AB nên AB = 2HB = 8 cm

Vậy AB = 8 cm

Câu 2: Cho đường tròn tâm O bán kính là 5, dây AB = 8

a) Tính khoảng cách từ O đến AB

b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI = 1 , kẻ dây CD đi qua I vuông góc với AB. Chứng minh rằng AB = CD

Lời giải:

a) Gọi E là hình chiếu của O lên AB

Khoảng cách từ O đến AB chính là độ dài đoạn OE

Ta có: 

b) Gọi F là hình chiếu của O lên CD

Khi đó khoảng cách của O đến CD chính là OF

Tứ giác OFIE có ba góc vuông nên là hình chữ nhật

Do đó: OF = EI = AE - AI = 4 - 1 = 3

Suy ra OE = OF theo định lí 1 nên AB = CD

Câu 3: Cho đường tròn (O; R) . Vẽ hai đường tròn bán kính OA, OB. Trên bán kính OA, OB lấy các điểm M, N sao cho OM = ON. Vẽ dây CD đi qua MN (M giữa C và N)

a) Chứng minh: CM = DN

b) Giả sử  . Tính OM theo R sao cho CM = MN = ND

Lời giải:

Câu 4: Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm chính là trung điểm của cạnh huyền

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A

Gọi M là trung điểm của BC nên MB = MC = 1/2 BC

Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông ta có:

AM = 1/2 BC

Suy ra: MA = MB =MC = 1/2 BC

⇒ Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm là trung điểm của cạnh huyền

Câu 5: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 10, BC = 8. Chứng minh rằng A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn và tính bán kính của đường tròn đó

Lời giải:

Gọi E là giao điểm của AC và BD.

Theo tính chất hình chữ nhật ta có:

EA = EB = EC = ED.

Do đó A, B, C, D cùng thuộc đường tròn tâm E và bán kính EA

Ta có: 

Câu 6: Cho đường tròn tâm O bán kính là 5, dây AB = 8

a) Tính khoảng cách từ O đến AB

b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI = 1 , kẻ dây CD đi qua I vuông góc với AB. Chứng minh rằng AB = CD

Lời giải:

a) Gọi E là hình chiếu của O lên AB

Khoảng cách từ O đến AB chính là độ dài đoạn OE

Ta có: 

b) Gọi F là hình chiếu của O lên CD

Khi đó khoảng cách của O đến CD chính là OF

Tứ giác OFIE có ba góc vuông nên là hình chữ nhật

Do đó: OF = EI = AE - AI = 4 - 1 = 3

Suy ra OE = OF theo định lí 1 nên AB = CD

Câu 7: Cho đường tròn (O; R) . Vẽ hai đường tròn bán kính OA, OB. Trên bán kính OA, OB lấy các điểm M, N sao cho OM = ON. Vẽ dây CD đi qua MN (M giữa C và N)

a) Chứng minh: CM = DN

b) Giả sử  . Tính OM theo R sao cho CM = MN = ND

Lời giải:

Câu 8: Cho hình thang vuông ABCD có A^=B^= 90°; BC = 2AD = 2a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AC , M là trung điểm của HC . Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDM

Lời giải:

Gọi N là trung điểm của BH thì MN là đường trung bình của tam giác HBC

Suy ra MN ⊥ AB , mặt khác BH ⊥ AM ⇒

N là trực tâm của tam giác ABM

Suy ra AN ⊥ BM .

Do MN // BC; MN = 1/2 BC ⇒ MN // AD; MN = AD

Nên ADMN là hình bình hành suy ra AN // DM.

Từ đó ta có: DM ⊥ BM hay tam giác DBM vuông tại M nên tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác DBM là trung điểm O của BD.

Ta có:

Câu 9: Cho hình thang vuông ABCD (A^=B^= 90°) có O là trung điểm của AB và góc . Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.

Lời giải:

Kéo dài OC cắt BD tại E vì suy ra .

Do đó CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.

Câu 10: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) đường cao AH. Gọi E là điểm đối xứng với B qua H. Đường tròn tâm O đường kính EC cắt AC tại K. Chứng minh HK là tiếp tuyến của đường tròn (O) .

Lời giải:

Vì tam giác EKC có một cạnh EC là đường kính của (O) nên .

Kẻ HI ⊥ AC ⇒ BA // HI // EK .

Lại có: H là trung điểm BE

suy ra AI = IK từ đó ta có tam giác AHK cân tại H (vì có HI là đường cao đồng thời đường trung tuyến).

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hình thang vuông ABCD có A^=B^= 90°; BC = 2AD = 2a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AC , M là trung điểm của HC . Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDM

Hiển thị lời giải

Câu 2: Cho hình thang vuông ABCD (A^=B^= 90°) có O là trung điểm của AB và góc . Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.

Chứng minh rằng:

 

Câu 4: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE.

1/ Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.

2/ Chứng minh ED = BC.

3/ Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn  (O).

Câu 5: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Từ A, B vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Từ M là điểm trên nửa đường tròn (O) (M không là điểm chính giữa cung AB) vẽ tiếp tuyến lần lượt cắt Ax, By tại điểm C, D.

1. Chứng tỏ AC + BD = CD

2. Chứng minh tam giác COD vuông

3. Tia BM cắt Ax tại P, tia AM cắt By tại Q. Chứng minh ba đường thẳng AB, CD, PQ đồng quy. 

Câu 6: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Từ một điểm M trên nửa đường tròn ta vẽ tiếp tuyến xy. Vẽ AD và BC vuông góc với xy. Chứng minh rằng: MC = MD 

Câu 7: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D. Chứng minh đường trong đường kính CD tiếp xúc AB. 

Câu 8: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ hai tia tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm thuộc nửa đường tròn (AM < BM). Tiếp tuyến tại M với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt ở C và D.

1. Tính số đo góc COD

2. Chứng minh rằng đường trong có đường kính CD tiếp xúc với AB

Câu 9: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính CD = 2R. Từ C và D kẻ tiếp tuyến Cx và Dy về cùng một phía của nửa đường tròn. Từ một điểm E trên nửa đường tròn (E khác C và D) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Cx và Dy lần lượt tại A và B.

1. Chứng minh: AB = AC + BD

2. Chứng minh tam giác AOB là tam giác vuông.

Câu 10: Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn đường kính BC cắt AB ở N và cắt AC ở M. Gọi H là giao điểm của BM và CN.

1. Tính số đo các góc BMC và BNC

2. Chứng minh AH vuông góc BC

3. Chứng minh tiếp tuyến tại N đi qua trung điểm AH

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Phương trình bậc nhất hai ẩn

Chuyên đề Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Chuyên đề Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Chuyên đề Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Chuyên đề Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình