Chuyên đề Đường kính và dây của đường tròn (2022) - Toán 9

Chuyên đề Đường kính và dây của đường tròn - Toán 9

A. Lý thuyết

1. So sánh độ dài của đường kính và dây.

    Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.

Ví dụ: Gọi AB là một dây bất kỳ của đường tròn (O; R). Chứng minh rằng AB ≤ 2R

    + Trường hợp 1: AB là đường kính

     ⇒ AB = 2R

    + Trường hợp 2: AB không là đường kính

     Xét tam giác AOB, áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:

     AB < AO + OB = R + R = 2R

     Vậy ta luôn có AB ≤ 2R

2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây.

    + Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây đó.

    + Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB và dây CD không đi qua tâm. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. AB > CD

B. AB = CD

C. AB < CD

D. AB ≤ CD

Lời giải:

Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính

Chọn đáp án A.

Câu 2: Cho đường tròn (O) có hai dây AB, CD không đi qua tâm. Biết rằng khoảng cách từ tâm đến hai dây là bằng nhau. Kết luận nào sau đây là đúng

A. AB > CD

B. AB = CD

C. AB < CD

D. AB // CD

Lời giải:

Trong một đường tròn: Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

Chọn đáp án B.

Câu 3: “Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì…với dây ấy”. Điền vào dấu…cụm từ thích hợp

A. nhỏ hơn

B. bằng

C. song song

D. vuông góc

Lời giải:

Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy

Chọn đáp án D.

Câu 4: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau. Trong hai dây của một đường tròn

A. Dây nào lớn hơn thì dây đó xa tâm hơn

B. Dây nào nhỏ hơn thì đây đó xa tâm hơn

C. Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn

D. Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

Lời giải:

Trong một đường tròn:

+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

- Trong hai dây của đường tròn:

+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn

+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn

Nên phương án B, C, D đúng

Chọn đáp án A.

Câu 5: Cho đường tròn (O) có bán kính R = 5 cm. Khoảng cách từ tâm đến dây AB là 3 cm. Tính độ dài dây AB

A. AB = 6 cm

B. AB = 8 cm

C. AB = 10 cm

D. AB = 12 cm

Lời giải:

Kẻ OH ⊥ AB tại H suy ra H là trung điểm của AB

Xét tam giác OHB vuông tại H có OH = 3; OB = 5 . Theo định lý Pytago ta có:

Mà H là trung điểm của AB nên AB = 2HB = 8 cm

Vậy AB = 8 cm

Chọn đáp án B.

Câu 6: Cho đường tròn (O) có bán kính OA = 3cm. Dây BC của đường tròn vuông góc với OA tại trung điểm của OA. Tính BC.

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của BC.

Do dây BC vuông góc với OA tại H nên ta có:

Áp dụng định lí Pytgo vào tam giác OHB vuông tại H ta có:

Theo định lí quan hệ vuông góc đường kính và dây ta có: H là trung điểm BC nên:

Chọn đáp án A.

Câu 7: Cho ΔABC, các đường cao BD và CE. Tìm mệnh đề sai

A. Bốn điểm B, E, D và C cùng nằm trên một đường tròn.

B. DE < BC.

C. Tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCDE là trung điểm BC

D. Tất cả sai.

Lời giải:

Gọi I là trung điểm BC.

Tam giác BCE vuông tại E có đường trung tuyến EI ứng với cạnh huyền BC nên:

 (1)

Tam giác BCD vuông tại D có DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên:

 (2)

Từ ( 1) và (2) suy ra: 

Do đó, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCDE.

Khi đó, BC là đường kính và DE là dây không đi qua tâm nên: BC > DE.

Chọn đáp án D.

Câu 8: Cho hình chữ nhật ABCD. Tìm khẳng định đúng

A. AC < BD

B. AB > AC

C. AC > CD

D. AB > BC

Lời giải:

Gọi I là giao điểm hai đường chéo AC và BD,

Theo tính chất hình chữ nhật ta có:

Do đó, I là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có AC và BD là đường kính.

AB, BC, CD và DA là các dây.

Chọn đáp án C.

Câu 9: Cho đường tròn tâm O , bán kính R = 5cm , có dây AB = 8cm và M là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ O đến AB ?

A. 3cm

B. 4cm

C. 2cm

D. 5 cm

Lời giải:

Vì M là trung điểm của AB nên ta có: 

Theo quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây ta có:

OM ⊥ AB

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác OAM ta có:

OM2 = OA2 - AM2 = 52 - 42 = 9 ⇒ OM = 3 cm

Chọn đáp án A.

Câu 10: Cho đường tròn tâm O có dây AB = 16cm. Gọi M là trung điểm AB. Biết khoảng cách từ O đến AB bằng 6. Tính bán kính đường tròn.

A. 7cm

B. 8cm

C. 10cm

D. 12 cm

Lời giải:

Vì M là trung điểm của AB nên ta có: 

Theo quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây ta có;

Mà khoảng cách từ O đến AM bằng 6 cm nên OM = 6 cm

Áp dụng định lí pytago vào tam giác OAM vuông ta có:

OA2 = OM2 + AM2 = 62 + 82 = 100 nên OA = 10 cm

Suy ra: bán kính đường tròn đã cho là R = 10 cm.

Chọn đáp án C.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Cho hình vẽ sau, tính độ dài dây AB khi biết OA = 13cm; AM = MB; OM = 5cm.

Lời giải:

Áp dụng định lý: “ Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy “

Khi đó ta có: OM ⊥ AB.

Áp dụng định lý Py – ta – go ta có:

⇒ AB = 2.AM = 2.12 = 24 (cm)

Câu 2: Cho tam giác ABC có đường cao là BD, CE. Chứng minh rằng B, D, C, E cùng một đường tròn và ED < BC .

Lời giải:

Ta có: tam giác EBC và DBC là các tam giác vuông có chung cạnh huyền BC

⇒ Đường tròn ngoại tiếp hai tam giác này có tâm tại F (F là trung điểm của BC) với bán kính FB

⇒ Các điểm B, E, D, C cùng thuộc một đường tròn

Trong đường tròn đường kính BC có ED là dây cung nên ED < BC

Câu 3: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, dây CD không cắt AB. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên CD. Chứng minh: CH = DK

Lời giải:

Dựng OE vuông góc với CD (E thuộc CD)

Khi đó ta có: E là trung điểm của CD (theo định lí 2): EC = ED (1)

Xét tứ giác ABKH có 

Do đó tứ giác ABKH là hình thang.

Xét hình thang ABKH có O là trung điểm của AB và OE // AH // BK

⇒ E là trung điểm của HK : EH = EK

Từ (1) và (2) thì ta có: EH – EC = EK – ED hay CH = DK

Câu 4: Gọi AB là một dây bất kỳ của đường tròn (O; R). Chứng minh rằng AB ≤ 2R

    + Trường hợp 1: AB là đường kính

     ⇒ AB = 2R

    + Trường hợp 2: AB không là đường kính

     Xét tam giác AOB, áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:

     AB < AO + OB = R + R = 2R

     Vậy ta luôn có AB ≤ 2R

Câu 5: Cho hình vẽ sau, tính độ dài dây AB khi biết OA = 13cm; AM = MB; OM = 5cm.

Lời giải:

Áp dụng định lý: “ Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy “

Khi đó ta có: OM ⊥ AB.

Áp dụng định lý Py – ta – go ta có:

⇒ AB = 2.AM = 2.12 = 24 (cm)

Câu 6: Cho tam giác ABC, các đường cao BH và CK. Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn

b) HK < BC

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của BC.

Xét tam giác BCH vuông tại H

HI là trung tuyến do I là trung điểm của BC

$\Rightarrow HI=CI=BI=\frac{BC}{2}$ (1) (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Xét tam giác BCK vuông tại K

KI là trung tuyến do I là trung điểm của BC

$\Rightarrow KI=CI=BI=\frac{BC}{2}$ (2) (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Từ (1) và (2) ta có:

$KI=HI=CI=BI=\frac{BC}{2}$

Do đó, K, H, C, B cùng nằm trên đường tròn tâm I bán kính $R=\frac{BC}{2}$

b)

Trong đường tròn tâm I ta có KH là dây cung không đi qua tâm, BC là đường kính nên: KH < BC

Câu 7: Tứ giác ABCD có $\widehat{B}=\widehat{D}={90}^o$.

a) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn

b) So sánh độ dài AC và BD. Nếu AC = BD thì tứ giác ABCD là hình gì?

Lời giải:

a)

Gọi I là trung điểm của AC

Xét tam giác ABC vuông tại B

BI là đường trung tuyến do I là trung điểm của AC

$\Rightarrow BI=AI=CI=\frac{AC}{2}$ (1) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Xét tam giác ADC vuông tại D

DI là đường trung tuyến do I là trung điểm của AC

$\Rightarrow DI=AI=CI=\frac{AC}{2}$ (2) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Từ (1) và (2) ta có: 

$BI=DI=CI=AI=\frac{AC}{2}$

Do đó, bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên đường tròn tâm I bán kính $R=\frac{AC}{2}$

b)

Trong đường tròn tâm M ta có BD là dây cung không đi qua tâm, AC là đường kính nên: BD < AC.

AC = BD khi và chỉ khi BD là đường kính.

$$\begin{gathered} \Rightarrow I\in BD \\ \Rightarrow IA=IB=IC=ID \end{gathered}$$

Xét tứ giác ABCD có

AC giao BD tại I

$IA=IB=IC=ID$

Khi đó, ABCD là hình chữ nhật.

Câu 8: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và dây EF không cắt đường kính. Gọi I và K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến EF. Chứng minh rằng IE = KF.

Lời giải:

Xét tứ giác IKBA có:

AI vuông góc với IK

BK vuông góc với IK

$\Rightarrow$ AI // BK

Do đó, IKBA là hình thang

Kẻ OH vuông góc với IK tại H

Nên OH // AI // BK (cùng vuông góc với IK)

Mà O là trung điểm của AB do AB là đường kính và O là tâm của nửa đường tròn.

Do đó, H là trung điểm của IK

$\Rightarrow IH=KH$

$\Rightarrow IE+EH=HF+FK$ (1)

Mặt khác, ta có:

OH là một phần của đường kính do đi qua tâm O

OH vuông góc với dây cung EF

Do đó, H là trung điểm của EF

$\Rightarrow HE=HF$ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra IE = KF

Câu 9: Cho đường tròn (O), đường kính AD = 2R. Vẽ cung tâm D bán kính R, cung này cắt đường tròn (O) ở B và C.

a) Tứ giác OBDC là hình gì? Vì sao?

b) Tính số đo các góc CBD, CBO, OBA

c) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.

Lời giải:

Xét đường tròn tâm O đường kính AD = 2R

Ta có: OA = OC = OB = OD = R (1) (do bán kính bằng một nửa đường kính)

Xét cung tròn tâm D bán kính R

Do cung tròn tâm D cắt đường tròn tâm O tại B và C nên DB = DC = R (2)

Từ (1) và (2) ta có:

OB = OC = DB = DC

Do đó, tứ giác OBDC là hình thoi

b)

Xét tam giác OBD có:

OB = OD = BD = R

Do đó, tam giác OBD đều

$\Rightarrow \widehat{OBD}={60}^o$

Do OBDC là hình thoi nên  đường chéo BC là đường phân giác của góc $\widehat{OBD}$

$\Rightarrow \widehat{CBD}=\widehat{CBO}=\frac{\widehat{OBD}}{2}={30}^o$

Xét tam giác ABD nội tiếp đường tròn (O)

Có AD là đường kính

Do đó ABD vuông tại B

$\Rightarrow \widehat{ABD}={90}^o$

Mà: $\widehat{ABD}=\widehat{OBA}+\widehat{OBD}$

$\widehat{\Rightarrow OBA}=\widehat{ABD}-\widehat{OBD}={90}^o-{60}^o={30}^o$

c)

Xét tam giác ACD nội tiếp đường tròn (O)

Có AD là đường kính

Do đó ACD vuông tại C

$\Rightarrow \widehat{ACD}={90}^o$

$\widehat{OCD}=\widehat{OBD}={60}^o$ (do OBDC) là hình thoi

Mà: $\widehat{ACD}=\widehat{OCA}+\widehat{OCD}$

$\Rightarrow \widehat{OCA}=\widehat{ACD}-\widehat{OCD}={90}^o-{60}^o={30}^o$

Xét tam giác ABC có:

Do OBDC là hình thoi nên  đường chéo BC là đường phân giác của góc $\widehat{OCD}$

$\Rightarrow \widehat{OCB}=\frac{\widehat{OCD}}{2}=\frac{{60}^o}{2}={30}^o$

$\widehat{ACB}=\widehat{ACO}+\widehat{OCB}={30}^o+{30}^o={60}^o$

Xét tam giác ABC, có: 

$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}={60}^o$

Nên tam giác ABC cân tại A

Mà $\widehat{ABC}={60}^o$

Do đó, tam giác ABC là tam giác đều.

Câu 10:

a) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD. Các đường vuông góc với CD tại C và D tương ứng cắt AB ở M và N. Chứng minh rằng AM = BN

b) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên AB lấy các điểm M, N sao cho AM = BN. Qua M và N kẻ các đường thẳng song song với nhau, chúng cắt nửa đường tròn lần lượt ở C và D. Chứng minh rằng MC và ND vuông góc với CD.

Lời giải:

a)

Do nửa đường tròn tâm O đường kính AB nên OA = OB

$\Rightarrow$ OM + MA = ON + NB (1)

Xét tứ giác MCDN có:

MC vuông góc với CD

ND vuông góc với CD

$\Rightarrow$ MC // ND

Do đó, MCDN là hình thang

Kẻ OI vuông góc với CD

$\Rightarrow$ OI // MC // ND  (2) (cùng vuông góc với CD)

Mà OI là một phần của đường kính do đi qua tâm O

Do đó, I là trung điểm của CD (3)

Từ (2) và (3) ta suy ra O là trung điểm của MN

$\Rightarrow$ OM = ON (4)

Từ (1) và (4) ta suy ra AM = BN

b)

Do nửa đường tròn tâm O đường kính AB nên OA = OB

$\Rightarrow$ OM + MA = ON + NB

Mà MA = NB $\Rightarrow$ OM = ON

Do đó, O là trung điểm của MN

Xét tứ giác CDNM có:

MC // ND

Do đó , CDNM là hình thang

Có O là trung điểm của MN

Dựng I là trung điểm của CD

Do đó, OI là đường trung bình của hình thang CDMN

$\Rightarrow$ OI // MC // ND (1)

Mà OI là một phần của đường kính do đi qua tâm O, OI giao với dây cung CD (khác đường kính) tại trung điểm I

$\Rightarrow OI\perp CD$ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra MC cũng vuông góc với CD và ND cũng vuông góc với CD.

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho đường thẳng d cắt đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt A, B. Biết khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d bằng 3cm và độ dài đoạn thẳng AB bằng 8cm. Bán kính của đường tròn (O) bằng bao nhiêu?

Câu 2: Cho đường tròn (O; R) có hai dây AB, CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I. Giả sử IA = 2cm; IB = 4cm. Tính tổng khoảng cách từ tâm O đến dây AB, CD

Câu 3: Cho đường tròn (O; R) có hai dây AB, CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I. Giả sử IA = 6cm; IB = 3cm. Tính tổng khoảng cách từ tâm O đến dây AB, CD

Câu 4: Cho đường tròn (O; R) có hai dây AB, CD vuông góc với nhau ở M. Biết AB = 16cm; CD = 12cm; MC = 2cm. Khoảng cách từ tâm O đến dây AB là?

Câu 5: Cho đường tròn (O; R) có hai dây AB, CD vuông góc với nhau ở M. Biết CD = 8cm; MC = 1cm. Khoảng cách từ tâm O đến dây AB là?

Câu 6: Cho tam giác ABC có đường cao là BD, CE. Chứng minh rằng B, D, C, E cùng một đường tròn và ED < BC .

Câu 7: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, dây CD không cắt AB. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên CD. Chứng minh: CH = DK

Câu 8: Cho đường tròn (O) có bán kính OA = 3cm. Dây BC của đường tròn vuông góc với OA tại trung điểm của OA. Tính BC.

Câu 9: Cho đường tròn tâm O , bán kính R = 5cm , có dây AB = 8cm và M là trung điểm của AB .

Tính khoảng cách từ O đến AB ?

Câu 10: Cho (O ; R), A là điểm bất kì trên đường tròn. Qua trung điểm I của OA, vẽ dây BC vuông góc với OA.

a) Tứ giác ABOC là hình gì ?

b) Tính diện tích tứ giác ABOC theo R.

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Chuyên đề Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Chuyên đề Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Chuyên đề Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Chuyên đề Vị trí tương đối của hai đường tròn