Chuyên đề Bài tập ôn tập chương (2022) - Toán 9

Chuyên đề Bài tập ôn tập chương - Toán 9

A. Lý thuyết

1. Hàm số y = ax² $\mathrm{(}\mathrm{a}\mathrm{\ne }\mathrm{0}\mathrm{)}$

a) Tập xác định

Cho hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{ax}}^2 \left(\mathrm{a}\ne 0\right)$

Tập xác định của hàm số là .

b) Tính chất

+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0.

+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0.

c) Đồ thị hàm số y = ax² $(\mathrm{a}\ne 0)$

Đồ thị của hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{ax}}^2 \left(\mathrm{a}\ne 0\right)$ là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một parabol đỉnh O (với O là gốc tọa độ).

Tính chất của đồ thị:

+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.

+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị.

Các bước vẽ đồ thị hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{ax}}^2 \left(\mathrm{a}\ne 0\right)$

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Lập bảng giá trị (thường từ 5 đến 7 giá trị) tương ứng giữa x và y.

Bước 3: Vẽ đồ thị và kết luận.

2. Phương trình bậc hai một ẩn

a) Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng

${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0$                

trong đó x là ẩn, a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và $\mathrm{a}\ne 0$.

b) Biệt thức $∆$

Đối với phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) ta có biệt thức Δ như sau:

Δ = b² - 4ac

Ta sửa dụng biết thức Δ để giải phương trình bậc hai.

c) Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Đối với phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) và biệt thức Δ = b² - 4ac

+ Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là

${\mathrm{x}}_1=\frac{-\mathrm{b}+\sqrt{∆}}{2\mathrm{a}}; {\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}-\sqrt{∆}}{2\mathrm{a}}$

+ Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép là

${\mathrm{x}}_1={\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}$

+ Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

d) Biệt thức $∆\text{'}$

Đối với phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) và b = 2b’ ta có biệt thức  như sau:

$∆\text{'}$= b’² - ac

Ta sửa dụng biết thức  để giải phương trình bậc hai.

e) Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai

Đối với phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có b = 2b’ và biệt thức $∆\text{'}$= b’² - ac

+ Nếu  > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là

${\mathrm{x}}_1=\frac{-\mathrm{b}+\sqrt{∆\text{'}}}{\mathrm{a}}; {\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}-\sqrt{∆\text{'}}}{\mathrm{a}}$

+ Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép là

${\mathrm{x}}_1={\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}}{\mathrm{a}}$

+ Nếu $∆\text{'}$< 0 thì phương trình vô nghiệm.

3. Hệ thức Vi – ét

a) Hệ thức Vi – ét

Nếu x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\\ {\mathrm{x}}_1.{\mathrm{x}}_2=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}\end{array}\right.$

b) Ứng dụng của hệ thức Vi - ét

+ Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = 1 và nghiệm còn lại là x₂ = $\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$

+ Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = -1 và nghiệm còn lại là x₂ = -$\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$

+ Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình bậc hai x² - Sx + P = 0

+ Điều kiện để có hai số đó là S² - 4P ≥ 0

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho hàm số y = ax² với a ≠ 0 . Kết luận nào sau đây là đúng:

A. Hàm số nghịch biến khi a > 0 và x > 0

B. Hàm số nghịch biến khi a < 0 và x < 0

C. Hàm số nghịch biến khi a > 0 và x < 0

D. Hàm số nghịch biến khi a > 0 và x = 0

Lời giải:

Cho hàm số • Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0 • Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0

Chọn đáp án C.

Câu 2: Kết luận nào sau đây sai khi nói về đồ thị hàm số y = ax² với a ≠ 0

A. Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.

B. Với a > 0 đồ thị nằm phía trên trục hoành và O là điểm cao nhất của đồ thị

C. Với a < 0 đồ thị nằm phía dưới trục hoành và O là điểm cao nhất của đồ thị

D. Với a > 0 đồ thị nằm phía trên trục hoành và là O điểm thấp nhất của đồ thị

Lời giải:

Đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0) là một parabol đi qua gốc tọa độ O, nhận Oy làm trục đối xứng (O là đỉnh của parabol). • Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị • Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị

Chọn đáp án B.

Câu 3: Giá trị của hàm số y = f(x) = -7x² tại x₀ = -2 là:

A. 28

B. 12

C. 21

D.

Lời giải:

Thay x₀ = -2 vào hàm số y = f(x) = -7x² ta được: y = f(-2) = -7.(-2)² = -28

Chọn đáp án D.

Câu 4: Cho hàm số y = f(x) = (-2m + 1)x² . Tính giá trị của m để đồ thị đi qua điểm A(-2; 4)

A. m = 0

B. m = 1

C. m = 2

D. m = -2

Lời giải:

Thay tọa độ điểm A(-2; 4) vào hàm số y = f(x) = (-2m + 1)x² ta được: (-2m + 1).(-2)² = 4 ⇔ - 2m + 1 = 1 ⇔ m = 0 Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.

Chọn đáp án A.

Câu 5: Cho hàm số y = f(x) = -2x². Tổng các giá trị của a thỏa mãn f(a) = -8 + 4√3 là:

A. 1

B. 0

C. 10

D.

Lời giải:

Thay a vào hàm số y = f(x) = -2x² ta được:  Tổng các giá trị của a là: √3 - 1 + 1 - √3 = 0

Chọn đáp án B.

Câu 6: Phương trình nào dưới đây là phương trình bậc hai một ẩn:

Lời giải:

Phương trình bậc hai một ẩn (hay gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) trong đó a, b, c là các số thực cho trước, x là ẩn số.

Chọn đáp án B.

Câu 7: Cho phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức Δ = b² - 4ac. Phương trình đã cho vô nghiệm khi:

A. Δ < 0

B. Δ = 0

C. Δ ≥ 0

D. Δ ≤ 0

Lời giải:

Xét phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) và biệt thức Δ = b² - 4ac

• TH1: Nếu thì phương trình vô nghiệm

• TH2: Nếu thì phương trình có nghiệm kép x₁ = x₂ = 

• TH3: Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x_1,2 = 

Chọn đáp án A.

Câu 8: Cho phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức Δ = b² - 4ac. Khi đó phương trình có hai nghiệm là:

Lời giải:

Xét phương trình bậc hai một ẩn và biệt thức

• TH1: Nếu thì phương trình vô nghiệm

• TH2: Nếu thì phương trình có nghiệm kép x₁ = x₂ = 

• TH3: Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x_1,2 = 

Chọn đáp án C.

Câu 9: Không dùng công thức nghiệm, tính tổng các nghiệm của phương trình 6x² - 7x = 0

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án B.

Câu 10: Không dùng công thức nghiệm, tìm số nghiệm của phương trình -4x² + 9 = 0

A. 0

B. 1

C. 3

D. 2

Lời giải:

Ta có:

Nên số nghiệm của phương trình là 2.

Chọn đáp án D.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Cho parabol (P) $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2$ và đường thẳng (d) y = 2x + 3.

a) Vẽ (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phương pháp đại số, so sánh kết quả với giao điểm trên đồ thị.

Lời giải:

a)

+ Vẽ đồ thị (P) $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2$

Bảng giá trị

+ Vẽ đồ thị (d) y = 2x + 3

Cho x = 0$\Rightarrow y=3\Rightarrow$d đi qua điểm (0; 3)

Cho y = 0$\Rightarrow x=\frac{-3}{2}\Rightarrow$d đi qua điểm $\left(\frac{-3}{2};0\right)$

Từ độ thị ta thấy (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(-1; 1) và B(3; 9)

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}^2=2\mathrm{x}+3 \\ \iff {\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-3=0 \\ ∆\text{'}=\mathrm{b}{\text{'}}^2-\mathrm{ac}={\left(-1\right)}^2-1.\left(-3\right)=4 \end{gathered}$$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_1=\frac{1+\sqrt{4}}{2}=3 \\ {\mathrm{x}}_2=\frac{1-\sqrt{4}}{2}=-1 \end{gathered}$$

Với x = 3$\Rightarrow$y = 9$\Rightarrow$(d) giao (P) tại điểm (3; 9)$\equiv \mathrm{B}$

Với x = -1$\Rightarrow$y = 1$\Rightarrow$(d) giao (P) tại điểm (-1; 1)$\equiv \mathrm{A}$

Từ kết quả trên ta thấy kết quả ở câu a và câu b trùng nhau

Câu 2: Giải các phương trình sau:

a) $2{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+1=0$

b) $\frac{1}{3}{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-\frac{2}{3}=0$

c) $2{\mathrm{x}}^2-2\sqrt{2}\mathrm{x}+1=0$

Lời giải:

a) $2{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+1=0$

Ta có: a = 2; b = -5; c = 1

$∆={\left(-5\right)}^2-4.2.1=25-8=17$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_1=\frac{-\mathrm{b}+\sqrt{∆}}{2\mathrm{a}}=\frac{5+\sqrt{17}}{2.2}=\frac{5+\sqrt{17}}{4} \\ {\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}-\sqrt{∆}}{2\mathrm{a}}=\frac{5-\sqrt{17}}{2.2}=\frac{5-\sqrt{17}}{4} \end{gathered}$$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $\mathrm{S}=\left\{\frac{5-\sqrt{17}}{4}; \frac{5+\sqrt{17}}{4}\right\}$

b) $\frac{1}{3}{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-\frac{2}{3}=0$

Ta có: a = $\frac{1}{3}$; b = -2; c = $\frac{-2}{3}$

$∆={\mathrm{b}}^2-4\mathrm{ac}={\left(-2\right)}^2-4.\frac{1}{3}.\left(\frac{-2}{3}\right)=\frac{44}{9}$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_1=\frac{-\mathrm{b}+\sqrt{∆}}{2\mathrm{a}}=\frac{2+\sqrt{{\displaystyle \frac{44}{9}}}}{2.{\displaystyle \frac{1}{3}}}=3+\sqrt{11}; \\ {\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}-\sqrt{∆}}{2\mathrm{a}}=\frac{2-\sqrt{{\displaystyle \frac{44}{9}}}}{2.{\displaystyle \frac{1}{3}}}=3-\sqrt{11} \end{gathered}$$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $\mathrm{S}=\left\{3-\sqrt{11}; 3+\sqrt{11}\right\}$.

c) $2{\mathrm{x}}^2-2\sqrt{2}\mathrm{x}+1=0$

Ta có a = 2; $\mathrm{b}=-2\sqrt{2}$; c = 1

$∆\text{'}=\mathrm{b}{\text{'}}^2-\mathrm{ac}={\left(-\sqrt{2}\right)}^2-1.2=0$

Phương trình có nghiệm kép ${\mathrm{x}}_1={\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}\text{'}}{\mathrm{a}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $\mathrm{S}=\left\{\frac{\sqrt{2}}{2}\right\}$.

Câu 3: Giải các phương trình sau:

a) $\frac{16}{\mathrm{x}-3}+\frac{30}{1-\mathrm{x}}=3$

b) (x +1)³ –x +1 = (x -1)(x -2)

c) x⁴ - 8x² – 9 = 0

Lời giải:

a) Điều kiện: $\mathrm{x}\ne 3; \mathrm{x}\ne 1$

$\frac{16}{\mathrm{x}-3}+\frac{30}{1-\mathrm{x}}=3$

$$\begin{gathered} \iff \frac{16\left(\mathrm{x}-1\right)}{\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}-1\right)}-\frac{30\left(\mathrm{x}-3\right)}{\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}-1\right)}=\frac{3\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}-1\right)}{\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}-1\right)} \\ \iff 16\left(\mathrm{x}-1\right)-30\left(\mathrm{x}-3\right)=3\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}-1\right) \\ \iff 16\mathrm{x}-16-30\mathrm{x}+90=3\left({\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}-\mathrm{x}+3\right) \\ \iff 3{\mathrm{x}}^2-12\mathrm{x}+14\mathrm{x}+9-74=0 \\ \iff 3{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-65=0 \end{gathered}$$

Δ’ = 1² -3.(-65) = 1 + 195=196 > 0

${\mathrm{x}}_1=\frac{-1+14}{3}=\frac{13}{2}$(thỏa mãn)

${\mathrm{x}}_2=\frac{-1-14}{3}=-5$(thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $\mathrm{S}=\left\{-5; \frac{13}{3}\right\}$.

b) Ta có: (x + 1)³ – x +1 = (x -1)(x -2)

⇔ x³ + 3x² + 3x + 1 – x + 1 = x² - 2x –x + 2

⇔ x³ + 3x² + 3x + 1 – x + 1 - x² + 2x + x – 2 = 0

⇔ x³ + 2x² + 5x = 0 ⇔ x(x² + 2x + 5) = 0

⇔ x = 0 hoặc x² + 2x + 5 = 0

Giải phương trình x² + 2x + 5 = 0

Δ’ = 1² -1.5 =1 -5 = -4 < 0 ⇒ phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho tập nghiệm S = {1}

c) x⁴ - 8x² – 9 = 0

Đặt t = x² .Điều kiện t ≥ 0

Ta có: x⁴ - 8x² – 9 =0 ⇔t² - 8t - 9 = 0

Phương trình t² – 8t - 9 = 0 có hệ số a = 1, b = -8, c = -9 nên có dạng a – b + c = 0

 t₁ = -1 (loại) ; t₂ = $\frac{-\left(-9\right)}{1}$ = 9

Ta có: x² = 9 ⇒ x = ±3

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {-3; 3}

Câu 4: Cho phương trình: x² – 2(m + 1)x + m² + m – 1 = 0

a) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm.

b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm là x₁, x₂, hãy tính theo m: x₁ + x₂; x₁.x₂; x₁² + x₂²

Lời giải:

a) Ta có: Δ' = [-(m + 1)]² – 1.(m² + m – 1)

= m² + 2m + 1 – m² – m + 1 = m + 2

Phương trình có nghiệm khi Δ' ≥ 0 ⇒ m + 2 ≥ 0 ⇔ m ≥ -2

Vậy với m ≥ -2 thì phương trình đã cho có nghiệm.

b) Giả sử phương trình đã cho có 2 nghiệm x₁ và x₂, theo hệ thức Vi-ét ta có:

x₁ + x₂ = $\frac{-\mathrm{b}}{\mathrm{a}}=\frac{-\left(-2\left(\mathrm{m}+1\right)\right)}{1}=2\left(\mathrm{m}+1\right)$

x₁x₂ = $\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\frac{{\mathrm{m}}^2+\mathrm{m}-1}{1}={\mathrm{m}}^2+\mathrm{m}-1$

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ = (2m + 2)² – 2(m² + m – 1)

= 4m² + 8m + 4 – 2m² – 2m + 2 = 2m² + 6m + 6.

Câu 5: Một xuồng máy xuôi dòng sông 30km và ngược dòng 28km hết một thời gian bằng thời gian mà xuồng đi 59,5km trên mặt hồ yên lặng. Tính vận tốc của xuồng khi đi trên hồ biết rằng vận tốc của nước chảy trong sông là 3km/h.

Lời giải:

Gọi x (km/h) là vận tốc thuyền khi đi trên hồ. Điều kiện: x > 3

Khi đó vận tốc khi đi xuôi dòng trên sông là x + 3(km/h)

Vận tốc khi đi ngược dòng trên sông là x – 3(km/h)

Thời gian thuyền đi xuôi dòng 30 km là $\frac{30}{\mathrm{x}+3}$(giờ)

Thời gian thuyền đi ngược dòng 28km là $\frac{28}{\mathrm{x}-3}$(giờ)

Thời gian thuyền đi trên hồ yên lặng 59,5km là $\frac{59,5}{\mathrm{x}}$(giờ)

Vì thời gian đi xuôi dòng 30 và thời gian đi ngược dòng 28km bằng thời gian đi 59,5km khi nước đứng yên nên ta có phương trình, ta có phương trình:

$$\begin{gathered} \frac{30}{\mathrm{x}+3}+\frac{28}{\mathrm{x}-3}=\frac{59,5}{\mathrm{x}} \\ \iff \frac{30}{\mathrm{x}+3}+\frac{28}{\mathrm{x}-3}=\frac{119}{2\mathrm{x}} \\ \iff \frac{2.30\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-3\right)}{2\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}+3\right)}+\frac{2.28.\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+3\right)}{2\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}+3\right)}=\frac{119.\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}+3\right)}{2\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}+3\right)} \\ \Rightarrow 60\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-3\right)+56\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+3\right)=119.\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}+3\right) \\ \iff 60{\mathrm{x}}^2-180\mathrm{x}+56{\mathrm{x}}^2+158\mathrm{x}=119{\mathrm{x}}^2-1071 \\ \iff 3{\mathrm{x}}^2+12\mathrm{x}-1071=0 \\ \iff {\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}-257=0 \\ ∆\text{'}=2^2-1.\left(-357\right)=4+357=361>0 \end{gathered}$$

${\mathrm{x}}_1=\frac{-2+\sqrt{361}}{1}=17$(thỏa mãn)

${\mathrm{x}}_2=\frac{-2-\sqrt{361}}{1}=-21$ (không thỏa mãn)

Vậy vận tốc khi thuyền đi trên mặt hồ yên lặng là 17km/h.

Câu 6: Hai đội công nhân cùng làm một quãng đường thì 12 ngày xong việc. Nếu đội thứ nhất làm một mình hết nửa công việc, rồi đội thứ hai tiếp tục một mình làm nốt phần việc còn lại thì hết tất cả 25 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong công việc?

Lời giải:

Gọi thời gian đội thứ nhất làm một mình xong nửa công việc là x (ngày)(6 < x < 25).

Khi đó thời gian làm riêng xong nửa công việc của đội thứ hai là 25 – x (ngày)

Trong 1 ngày, đội thứ nhất làm được $\frac{1}{2\mathrm{x}}$(công việc)

Trong một ngày đội thứ hai làm được $\frac{1}{2\left(25-\mathrm{x}\right)}$(công việc).

Mà cả hai đội cùng làm thì 12 ngày xong nên 1 ngày hai đội làm được $\frac{1}{12}$(công việc)

Ta có phương trình:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2\mathrm{x}}+\frac{1}{2\left(25-\mathrm{x}\right)}=\frac{1}{12} \\ \iff \frac{6.\left(25-\mathrm{x}\right)}{12.\mathrm{x}.\left(25-\mathrm{x}\right)}+\frac{6.\mathrm{x}}{12.\mathrm{x}.\left(25-\mathrm{x}\right)}=\frac{\mathrm{x}\left(25-\mathrm{x}\right)}{12.\mathrm{x}.\left(25-\mathrm{x}\right)} \\ \Rightarrow 6.\left(25-\mathrm{x}\right)+6\mathrm{x}=\mathrm{x}\left(25-\mathrm{x}\right) \\ \iff 150-6\mathrm{x}+6\mathrm{x}=25\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2 \\ \iff {\mathrm{x}}^2-25\mathrm{x}+150=0 \left(*\right) \\ ∆={\left(-25\right)}^2-4.1.150=25 \end{gathered}$$

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:

${\mathrm{x}}_1=\frac{25+\sqrt{25}}{2}=15$(thỏa mãn);

${\mathrm{x}}_2=\frac{25-\sqrt{25}}{2}=10$(thỏa mãn)

Vậy đội thứ nhất làm 30 ngày xong công việc hoặc đội thứ nhất làm 20 ngày xong công việc.

Vậy:

+ Nếu đội thứ nhất làm một mình trong 30 ngày xong công việc thì đội thứ hai làm một mình trong 20 ngày xong công việc.

+ Nếu đội thứ nhất làm một mình trong 20 ngày xong công việc thì đội thứ hai làm một mình trong 30 ngày xong công việc.

Câu 7: Cho phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức b = 2b'; Δ' = b'² - ac. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi nào?

Lời giải:

Xét phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức b = 2b'; Δ' = b'² - ac:

• TH1: Nếu Δ' < 0 thì phương trình vô nghiệm

• TH2: Nếu Δ' = 0 thì phương trình có nghiệm kép x₁ = x₂ = 

• TH3: Nếu Δ' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x_1,2 = 

Câu 8: Tính Δ' và tìm số nghiệm của phương trình 7x² - 12x + 4 =0

Lời giải:

Phương trình 7x² - 12x + 4 = 0 có a = 7; b' = -6; c = 4 suy ra:

Δ' = (b')² - ac = (-6)² - 4.7 = 8 > 0

Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Câu 9: Tìm m để phương trình 2mx² - (2m + 1)x - 3 = 0 có nghiệm là x = 2

Lời giải:

Câu 10: Tính Δ' và tìm nghiệm của phương trình 

Lời giải:

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Không giải phương trình, tính tổng hai nghiệm (nếu có) của phương trình x² - 6x + 7 = 0

Câu 2. Tìm k để phương trình  + 4x + k = 0 có hai nghiệm phân biệt

Câu 3: Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 300. Nếu tăng chiều dài thêm 4m và giảm chiều rộng đi 1m thì diện tích mảnh đất tăng thêm 36. Tính kích thước của mảnh đất.

Câu 4: Cho hàm số y = f(x) = (-2m + 5).

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hàm số y = f(x) luôn đồng biến với x > 0 ;

b) So sánh f () và f ().

Câu 5: Cho hai phương trình

                       + 2x – 2k – 8 = 0            (1)

                       + kx + 2 = 0                   (2)

Giải phương trình (1) với k = -4 ;

Với giá trị nào của k thì phương trình (2) có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó ?

Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình đã cho luôn có nghiệm.

a) Vẽ đồ thị của hai hàm số này trong cùng một mặt phẳng tọa độ

b) Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị

c) Kiểm nghiệm rằng tọa độ của mỗi giao điểm đều là nghiệm chung của hai phương trình hai ẩn y = 2x – 3 và y = –x ²

a) $3x^2+4\left(x-1\right)={\left(x-1\right)}^2+3$

b) $x^2+x+\sqrt{3}=\sqrt{3}x+6$

c) $\frac{x+2}{1-x}=\frac{4x^2-11x-2}{\left(x+2\right)\left(x-1\right)}$

a) ${\left(x^2-2x\right)}^2-2x^2+4x-3=0$

b) $3\sqrt{x^2+x+1}-x=x^2+3$

Câu 9: Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30km. Một ca nô đi từ A đến B, nghỉ 40 phút ở B rồi trở về bến A. Thời gian kể từ lúc đi đến lúc trở về đến A là 6 giờ. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 3km/h.

a) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm.

b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm là x₁, x₂ hãy tính theo m: x₁ + x₂; x₁x₂; x₁² + x₂²

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Góc ở tâm. Số đo cung

Chuyên đề Liên hệ giữa cung và dây

Chuyên đề Góc nội tiếp

Chuyên đề Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Chuyên đề Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn