Chuyên đề Căn bậc ba (2022) - Toán 9

Chuyên đề Căn bậc ba - Toán 9

A. Lý thuyết

1. Khái niệm căn bậc ba

Định nghĩa: Căn bậc ba của một số thực a là số x sao cho x³ = a.

Ví dụ 1.

3 là căn bậc ba của 27, vì 3³ = 27.

– 2 là căn bậc ba của – 8, vì (– 2)³ = – 8.

• Mỗi số a đều có duy nhất một căn bậc ba.

• Căn bậc ba của một số a được kí hiệu là $x=\sqrt[3]{a}$ (số 3 gọi là chỉ số căn).

• Phép lấy căn bậc ba của một số gọi là phép khai căn bậc ba.

Chú ý. Từ định nghĩa căn bậc ba, ta có ${\left(\sqrt[3]{a}\right)}^3=\sqrt[3]{a^3}=a$.

Ví dụ 2. $\sqrt[3]{343}=7$ vì 7³ = 343;

$\sqrt[3]{-64}=-4$ vì (− 4)³ = − 64.

Nhận xét: 

- Căn bậc ba của số dương là số dương;

- Căn bậc ba của số âm là số âm;

- Căn bậc ba của số 0 là số 0.

Ví dụ 3. 

- Căn bậc ba của 125 là 5 vì 5³ = 125;

- Căn bậc ba của −1 là −1 vì (−1)³ = −1;

- Căn bậc ba của số 0 là số 0.

2. Tính chất

• a < b $\iff$ $\sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}$.

• $\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b}$.

• Với b ≠ 0, ta có: $\sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$.

Ví dụ 4.

+ 5 < 6 Û $\sqrt[3]{5}<\sqrt[3]{6}$.

+ $\sqrt[3]{42}=\sqrt[3]{6}.\sqrt[3]{7}$.

+ $\sqrt[3]{\frac{12}{5}}=\frac{\sqrt[3]{12}}{\sqrt[3]{5}}$.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Kết quả so sánh nào sau đây sai ?

A. 5 > ∛123     B. 5∛6 = 6∛5

C. 3∛2 < ∛55     D. 3∛4 > 2∛13

Lời giải:

Chọn đáp án B.

Câu 2: Kết quả của phép tính  là ?

Lời giải:

Ta có

Chọn đáp án C.

Câu 3: Kết quả rút gọn của biểu thức  là ?

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án C.

Câu 4: Cho biểu thức

với x > 0 và x ≠ 8. Rút gọn P ta được ?

A. 2     B. 2 - 2∛x     C. ∛x     D. 1/2

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án A.

Câu 5: Kết quả của phép tính  là = ?

Lời giải:

Ta có :

Chọn đáp án B

Câu 6: Tính 

A. 15

B. -1

C.17

D. 1

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án C.

Câu 7: Tìm kết quả đúng 

A. -3

B. 3

C. 6

D.- 6

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án A.

Câu 8: Tìm x biết 

A. x = 1

B. x = 13

C.x = 4

D.x = 6

Lời giải:

Ta có :

Chọn đáp án B.

Câu 9: Rút gọn 

A. a

B.2a

C. – 2a

D. – a

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án D.

Câu 10: Rút gọn 

A. -5b2(a+1)

B. 5b2(a+1)

C. -5b2(a -1)

D. Đáp án khác

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án A.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

Lời giải:

Ta có:

Vậy A không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Câu 2: Giải phương trình sau đây:

Lời giải:

a) Ta có:

b) Ta có:

c) Ta có:

Câu 3: Rút gọn các biểu thức sau

Lời giải:

a) Ta có:

b) Ta có

Câu 4: Rút gọn:

a) $\sqrt[3]{27x^3}-6x$;

b) $\sqrt[3]{{(a-1)}^3}+\sqrt{{(3a-1)}^2}$ với $a\ge \frac{1}{3}$.

Lời giải:

a)

$$\begin{gathered} \sqrt[3]{27x^3}-6x \\ =\sqrt[3]{27}.\sqrt[3]{x^3}-6x \end{gathered}$$

= 3x – 6x = – 3x.

b) Vì $a\ge \frac{1}{3}$ nên $a-\frac{1}{3}\ge 0$ suy ra |3a – 1| = 3a – 1.

$\sqrt[3]{{(a-1)}^3}+\sqrt{{(3a-1)}^2}$ = a – 1 + |3a – 1|

= a – 1 + 3a – 1 = 4a – 2.

Câu 5: Tính S = x³ + 12x – 8 khi $x=\sqrt[3]{4+\sqrt{80}}-\sqrt[3]{\sqrt{80}-4}$.

Lời giải:

Ta có: 

$\iff x^3=\left[4+\sqrt{80}-(\sqrt{80}-4)\right]$

$x^3={\left(\sqrt[3]{4+\sqrt{80}}-\sqrt[3]{\sqrt{80}-4}\right)}^3$$$\begin{gathered} -3\left(\sqrt[3]{4+\sqrt{80}}-\sqrt[3]{\sqrt{80}-4}\right) \\ .\left(\sqrt[3]{4+\sqrt{80}}.\sqrt[3]{\sqrt{80}-4}\right) \end{gathered}$$

$\iff x^3=8-3x.\left(\sqrt[3]{4+\sqrt{80}}.\sqrt[3]{\sqrt{80}-4}\right)$

$\iff$x³ = 8 – 3x . 4

$\iff$x³ + 12x – 8 = 0.

Vậy khi $x=\sqrt[3]{4+\sqrt{80}}-\sqrt[3]{\sqrt{80}-4}$ thì S = x³ + 12x – 8 = 0.

Câu 6: Tìm x, biết:

a) $\sqrt[3]{x}=-1,5$

b) $\sqrt[3]{x-5}=0,9$

Lời giải:

a) $\sqrt[3]{x}=-1,5$

$\iff x={\left(-1,5\right)}^3\iff x=-3,375$

Vậy x = -3,375

b) $\sqrt[3]{x-5}=0,9$

$$\begin{gathered} \iff x-5={\left(0,9\right)}^3 \\ \iff x-5=0,729 \\ \iff x=0,729+5 \\ \iff x=5,729 \end{gathered}$$

Vậy x = 5,729

Câu 7: Tính (không dùng bảng tính hay máy tính bỏ túi): $\sqrt[3]{-343};\sqrt[3]{0,027};\text{}\sqrt[3]{1,331};\sqrt[3]{-0,512}$

Lời giải:

$$\begin{gathered} \sqrt[3]{-343}=\sqrt[3]{{\left(-7\right)}^3}=-7 \\ \sqrt[3]{0,0027}=\sqrt[3]{0,3^3}=0,3 \\ \sqrt[3]{1,331}=\sqrt[3]{1,1^3}=1,1 \\ \sqrt[3]{-0,512}=\sqrt[3]{{\left(-0,8\right)}^3}=-0,8 \end{gathered}$$

Câu 8: Chứng minh các đẳng thức sau:

 $a) \sqrt[3]{a^3.b}=a\sqrt[3]{b}$

b) $\sqrt[3]{\frac{a}{b^2}}=\frac{1}{b}.\sqrt[3]{ab}$  $\left(b\ne 0\right)$ 

Lời giải:

a) Ta có:

VT = $\sqrt[3]{a^{3}b}=\sqrt[3]{a^3}.\sqrt[3]{b}=a\sqrt[3]{b}=VP$

$\Rightarrow$Điều phải chứng minh.

b) VT = $\sqrt[3]{\frac{a}{b^2}}=\sqrt[3]{\frac{ab}{b^3}}$

$=\frac{\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{b^3}}=\frac{\sqrt[3]{ab}}{b}=\frac{1}{b}\sqrt[3]{ab}$ = VP

$\Rightarrow$Điều phải chứng minh.

Câu 9: Tìm giá trị gần đúng của căn bậc ba mỗi số sau bằng bảng lập phương và kiểm tra bằng máy tính bỏ túi (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba):

a) 12

b) 25,3

c) -37,91

d) -0,08

Lời giải:

a) $\sqrt[3]{12}\approx 2,289$

b) $\sqrt[3]{25,3}\approx 2,936$

c) $\sqrt[3]{-37,91}\approx -3,359$

d) $\sqrt[3]{-0,08}\approx -0,431$

Câu 10: Tìm tập hợp các giá trị x thỏa mãn điều kiện sau và biểu diễn tập hợp đó trên trục số:

a) $\sqrt[3]{x}\ge 2$

b) $\sqrt[3]{x}\le -1,5$

Lời giải:

a) Ta có: 

$$\begin{gathered} \sqrt[3]{x}\ge 2\iff \sqrt[3]{x}\ge \sqrt[3]{2^3} \\ \iff x\ge 2^3\iff x\ge 8 \end{gathered}$$

b) Ta có:

$$\begin{gathered} \sqrt[3]{x}\le -1,5\iff \sqrt[3]{x}\le \sqrt[3]{{\left(-1,5\right)}^3} \\ \iff x\le {\left(-1,5\right)}^3\iff x\le -3,375 \end{gathered}$$

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

Câu 2: Giải phương trình sau đây:

Câu 3: Rút gọn các biểu thức sau

Câu 4: Thực hiện các phép tính sau:

Câu 5: Thực hiện các phép tính sau:

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Ôn tập chương 1

Chuyên đề Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số

Chuyên đề Hàm số bậc nhất

Chuyên đề Đồ thị của hàm số y = ax + b

Chuyên đề Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau