Chuyên đề Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau (2022) - Toán 9

Chuyên đề Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau - Toán 9

A. Lý thuyết

1. Đường thẳng song song

Hai đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và y = a'x + b' (a' ≠ 0) song song với nhau khi và chỉ khi a = a', b ≠ b' và trùng nhau khi và chỉ khi a = a', b = b'.

Ví dụ 1. Tìm giá trị của m để hai đường thẳng y = 4x + 1 và y = (m − 1)x + 2 song song với nhau?

Lời giải:

Theo đề bài ta có: b ≠ b' vì 1 ≠ 2

Để hai đường thẳng y = 4x + 1 và y = (m − 1)x + 2 song song thì:

4 = m − 1 hay m = 5.

Vậy để hai đường thẳng đã cho song song thì m = 5.

2. Đường thẳng cắt nhau

Hai đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và y = a'x + b' (a' ≠ 0) cắt nhau khi và chỉ khi a ≠ a'.

Chú ý. Khi a ≠ a' và b = b' thì hai đường thẳng có cùng tung độ gốc, do đó chúng cắt nhau tại một điểm trên trục tung có tung độ là b.

Ví dụ 2. Tìm giá trị của m để hai đường thẳng y = mx + 1 và y = (3m − 4)x − 2 cắt nhau.

Lời giải:

Để hai đường thẳng y = mx + 1 và y = (3m − 4)x − 2 cắt nhau thì:

m ≠ 3m − 4

$\iff$ −2m ≠ −4

$\iff$ m ≠ 2.

Vậy để hai đường thẳng đã cho cắt nhau thì m ≠ 2.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Hai đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và d': y = a'x + b'(a' ≠ 0) cắt nhau khi:

Lời giải:

Cho hai đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và d': y = a'x + b'(a' ≠ 0)

d cắt d' ⇔ a ≠ a'

Chọn đáp án A.

Câu 2: Hai đường thẳng d: y = ax + b(a ≠ 0) và d': y = a'x + b'(a' ≠ 0) có a = a' và b ≠ b' . Khi đó:

A. d // d'

B. d ≡ d'

C. d cắt d'

D. d ⊥ d'

Lời giải:

Cho hai đường thẳng d: y = ax + b(a ≠ 0) và d': y = a'x + b'(a' ≠ 0)

Chọn đáp án A.

Câu 3: Cho hai đường thẳng d: y = x + 3 và d': y = -2x . Khi đó:

A. d // d'

B. d ≡ d'

C. d cắt d'

D. d ⊥ d'

Lời giải:

Ta thấy d: y = x + 3 có a = 1 và d': y = -2x có a' = -2 ⇒ a ≠ a' (1 ≠ -2) nên d cắt d'

Chọn đáp án C.

Câu 4: Cho hai đồ thị của hàm số bậc nhất là hai đường thẳng d: y = (m + 2)x - m và d': y = -2x - 2m + 1. Với giá trị nào của m thì d cắt d' ?

A. m ≠ -2

B. m ≠ -4

C. m ≠ -2; m ≠ -4

D. m ≠ 2; m ≠ 4

Lời giải:

• Ta thấy d: y = (m + 2)x - m có a = m + 2 và d': y = -2x - 2m + 1 có a' = -2

• Để y = (m + 2)x - m là hàm số bậc nhất thì m + 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ -2

• Để d cắt d' ⇔ a ≠ a' ⇔ m + 2 ≠ -2 ⇔ m ≠ -4

Vậy m ≠ -2; m ≠ -4

Chọn đáp án C.

Câu 5: Cho hai đồ thị của hàm số bậc nhất là hai đường thẳng d: y = (m + 2)x - m và d': y = -2x - 2m + 1. Với giá trị nào của m thì d // d' ?

A. m = -2

B. m = -4

C. m = 2

D. m ≠ 2; m ≠ -4

Lời giải:

• Ta thấy d: y = (m + 2)x - m có a = m + 2; b = -m và d': y = -2x - 2m + 1 có

• Để y = (m + 2)x - m là hàm số bậc nhất thì m + 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ -2

• Để d // d' ⇔ a = a'; b ≠ b'

a = a' ⇔ m + 2 = -2 ⇔ m = -4

b ≠ b' ⇔ -m ≠ -2m + 1 ⇔ m ≠ 1

Vì m = -4 thỏa mãn m ≠ -2; m ≠ 1 nên giá trị m cần tìm là m = -4

Vậy m = -4

Chọn đáp án B.

Câu 6: Cho hàm số y = (2m + 1) x + n . Biết rằng đồ thị hàm số trùng với đường thẳng y = 3x - 2. Tính m + n?

A. -1

B. 0

C. 1

D.2

Lời giải:

Để đồ thị hàm số y = (2m + 1)x + n trùng với đường thẳng y = 3x - 2 thì:

Chọn đáp án A.

Câu 7: Cho hàm số bậc nhất y = (2m + 1)x + 3.Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = x + 1 tại điểm có tung độ bằng 2?

A. m = 1

B . m = 0

C. m = -1

D. m = 2

Lời giải:

Điều kiện để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất là: 2m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ (-1)/2

* Ta tìm tọa độ điểm A thuộc đường thẳng y= x + 1 có tung độ bằng 2:

⇒ 2 = x + 1 ⇔ x = 1 ⇒ A(1; 2)

* vì đồ thị hàm số y = (2m + 1)x + 3 cắt đường thẳng y = x + 1 tại điểm có tung độ bằng 2 nên đồ thị hàm số y = (2m + 1)x + 3 đi qua A(1;2).

⇒ 2 = (2m + 1).1 + 3 ⇔ 2 = 2m + 4

⇔ -2m = 2 ⇔ m = -1

Chọn đáp án C.

Câu 8: Cho ba đường thẳng d1: y = 2x +1; d2: y = x – 1 và d3: y = (m + 1)x – 2. Tìm m để ba đường thẳng đã cho đồng quy.

Lời giải:

Hoành độ giao điểm của d1 và d2 là nghiệm phương trình:

2x + 1 = x -1 nên x = -2

Với x = -2 thì y = 2. (-2) + 1 = -3

Vậy 2 đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại A(-2; -3).

Để ba đường thẳng đã cho đồng quy thì điểm A(-2; -3) thuộc đồ thị hàm số y = (m + 1)x – 2

Suy ra: -3 = (m + 1).(-2) - 2

Chọn đáp án C.

Câu 9: Cho đồ thị hàm số y = (m -2)x + 8. Tìm m biết rằng đồ thị hàm số cắt trục hoành tại tại điểm có hoành độ là 2?

A. m = -2

B. m = 2

C. m = 1

D. m = -1

Lời giải:

Vì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại tại điểm có hoành độ là 2 nên điểm A(2; 0) thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Thay xc= 2; y =c0 ta được: 0 = (m -2).2 + 8

⇔ 0 = 2m - 4 + 8 ⇔ 0 = 2m + 4 ⇔ m = -2

Chọn đáp án A.

Câu 10: Cho hai hàm số y = 3x + k và y = (m -2)x + (2k + 3). Biết rằng đồ thị hai hàm số đã cho trùng nhau. Tính m + k ?

A. 1

B. -2

C.3

D. 2

Lời giải:

Vì đồ thị hai hàm số đã cho trùng nhau nên:

Chọn đáp án D.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Cho đường thẳng (d) y = ax + b. Tìm giá trị của a và b trong mỗi trường hợp sau:

    a) (d) // (d1): y = 2x + 3

    b) (d) trùng (d2): y= -x + 1

    c) (d) cắt (d3): y = 1/2 x

    d) (d) ⊥ (d4): y = (-1)/2.x

Lời giải:

a) (d) // (d1) ⇔ a = 2; b ≠ 3

    b) (d) trùng (d2) ⇔ a = -1; b = 1

    c) (d) cắt (d3) ⇔ a ≠ 1/2; b ∈ R

    d) (d) ⊥ (d4) ⇔ a.a' = -1 ⇔ a = 2; b ∈ R

Câu 2: Viết phương trình đường thẳng (d') song song với đường thẳng (d) y = -4x + 5 và đi qua điểm M (1; -1)

Lời giải:

 (d') song song với đường thẳng (d) nên phương trình (d') có dạng: y = -4x + b (b ≠ 5)

    Do (d') đi qua M(1; -1) nên ta có: -1 = -4.1 + b ⇔ b = 3

    Vậy phương trình đường thẳng (d') là y = -4x + 3

Câu 3: Cho hai đường thẳng (d1): y = (m + 2)x + 5

    (d2): y = (2m + 1)x + m - 4

    Xác định m để hai đường thẳng

    a) Cắt nhau

    b) song song với nhau

    c) vuông góc với nhau

    d) Trùng nhau

Lời giải:

 (d1): y = (m + 2)x + 5

    (d2): y = (2m + 1)x + m - 4

    a) (d1) cắt (d2) ⇔ m + 2 ≠ 2m + 1 ⇔ m ≠ 1

    b) (d1) // (d2) ⇔ 

    c) (d1) ⊥ (d2) ⇔ (m + 2).(2m + 1) = -1 ⇔ 2m2 + 5m + 3 = 0

    ⇔ (m + 1)(2m + 3) = 0 

    d) (d1)trùng (d2)  (không tồn tại m)

Câu 4: Cho hai đường thẳng (d1):y = mx + m và (d2): y = √3x + m2 + √3

    Chứng minh rằng (d1) và (d2)không trùng nhau với mọi giá trị của m.

Lời giải:

 (d1) trùng (d2) 

    Thay m = √3 vào (*) ta được: √3 = 3 + √3 (vô lí)

    Vậy (d1) và (d2)không trùng nhau với mọi giá trị của m

Câu 5: Cho hàm số y = (2m - 1)x + 3 - m có đồ thị (d). Xác định m để

 a) Đường thẳng (d) song song với đồ thị y = 2x + 5

    b) Đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc nhọn.

    c) Đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc tù.

Lời giải:

    y = (2m - 1)x + 3 - m có đồ thị (d).

    a) Đường thẳng (d) song song với đồ thị y = 2x + 5

    ⇔ 2m - 1 = 2 ⇔ m = 3/2

    b) Đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc nhọn.

    ⇔ 2m - 1 > 0 ⇔ m > 1/2

    c) Đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc tù.

    ⇔ 2m - 1 < 0 ⇔ m < 1/2

Câu 6: Lập phương trình đường thẳng (d) biết:

    a) (d) đi qua điểm A (-2; 1) và có hệ số góc là -2

    b) (d) đi qua điểm (-3; 4) và song song với đường thẳng (d'): y = 2x – 1

    c) (d) đi qua điểm (2; -3) và vuông góc với đường thẳng (d''): y = - 2x + 3

    d) (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 2 và song song với đường thẳng y = 2x + 1

Lời giải:

 a) y = -2x + 3

    b) y = 2x + 10

    c) y = 1/2.x - 4

    d) (d) song song với đường thẳng y = 2x + 1 nên (d) có dạng: y = 2x + b

    (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 2 nên:

    0 = 2.2 + b ⇒ b = -4

    Vậy phương trình (d) là y = 2x – 4

Câu 7: Cho hàm số y = (3 – 2m)x + 4m – 4 (1)

a) Tìm m để (1) là hàm số đồng biến trên R.

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng y = 3x – 5.

Lời giải:

a) Hàm số (1) đồng biến trên  khi và chỉ khi:

3 – 2m > 0

$\iff$ −2m > −3

$\iff$ m < $\frac{3}{2}$.

b) Đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng y = 3x – 5 khi:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}3-2m=3\\ 4m-3\ne -5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m=0\\ m\ne \frac{-1}{2}\end{array}\right. \\ \iff m=0 \end{gathered}$$

Vậy đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng y = 3x – 5 thì m = 0.

Câu 8: Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng (d) : y = $\frac{1}{2}$x + 1 và đi qua điểm M(2 ; −5).

Lời giải:

Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là (d’): y = ax + b.

Vì d // d’ nên a = $\frac{1}{2}$.

Ta có (d’): y = $\frac{1}{2}$x + b (b ≠ 1).

Mặt khác vì (d’) đi qua điểm M(2 ; −5) nên −5 = $\frac{1}{2}$. 2 + b.

Do đó b = −6.

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y = $\frac{1}{2}$x – 6.

Câu 9: Viết phương trình đường thẳng

a) Đi qua hai điểm A(−2 ; −5) và B(1 ; 4);

b) Đi qua điểm M(6 ; 2) và vuông góc với đường thẳng y = $\frac{-1}{3}x$ + 1.

Lời giải:

a) Gọi phương trình đường thẳng AB là y = ax + b.

Vì đường thẳng đi qua A (−2; −5) nên −5 = −2a + b.

Do đó b = 2a – 5.

Vì đường thẳng đi qua B (1; 4) nên 4 = a + b.

Do đó b = 4 – a.

Từ đó: 2a – 5 = 4 – a nên 3a = 9.

Suy ra a = 3; b = 1.

Vậy phương trình đường thẳng AB là y = 3x + 1.

b) Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là y = ax +b.

Vì đường thẳng này vuông góc với đường thẳng y = $\frac{-1}{3}$x + 1 nên $\frac{-1}{3}$. a = −1.

Do đó a = 3.

Vì đường thẳng đi qua điểm M(6 ; 2) nên:

2 = 3.6 + b $\iff$ b = −16.

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y = 3x – 16.

Câu 10: Biết rằng với x = 4 thì hàm số y = 2x + b có giá trị là 5.

a) Tìm b.

b) Vẽ đồ thị của hàm số ứng với giá trị của b tìm được ở câu a.

Lời giải:

a) Với x = 4 thì hàm số y = 2x + b có giá trị là 5, ta có:

5 = 2.4 + b

$\iff$b + 8 = 5

⇔ b = 5 – 8

⇔ b = -3

Với b = -3 thì hàm số là y = 2x – 3

b) Vẽ đồ thị hàm số y = 2x – 3

Cho x = 0 thì y = -3 $\Rightarrow$ A(0; -3)

Cho y = 0 thì x = 1,5 $\Rightarrow$B(1,5; 0)

Đồ thị của hàm số y = 2x - 3 là đường thẳng đi qua hai điểm A, B

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Xác định các hệ số a và b để đường thẳng y = ax + b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2 và song song với đường thẳng OA, trong đó O là góc tọa độ và điểm A(2; 1)

Câu 2: Với những giá trị nào của m thì đồ thị các hàm số y = 2x+(m+3) và y = 3x+(5-m) cắt nhau tại một điểm trên trục tung ?

Câu 3: Cho hai đường thẳng d: y = (2m − 3)x – 2 và d’: y = −x + m + 1 là đồ thị của hai hàm số bậc nhất. Với giá trị nào của m thì d // d’?

Câu 4: Viết phương trình đường thẳng d biết d vuông góc với đường thẳng y = 4x + 1 và cắt đường thẳng y = x – 1 tại điểm có tung độ bằng 3.

Câu 5: Cho tam giác ABC có đường thẳng

BC: y$=-\frac{1}{3}$x + 1 và A (1; 2).

Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC.

Câu 6: Cho hàm số bậc nhất y = (2m – 3) x + 7 có đồ thị là đường thẳng d. Tìm m để d // d’: y = 3x + 2

Câu 7: Cho đường thẳng d: y = mx + m – 1. Tìm m để d cắt Ox tại A và cắt Oy tại B sao cho tam giác AOB vuông cân.

Câu 8: Cho hai đồ thị của hàm số bậc nhất là hai đường thẳng d: y = (3 – 2m)x – 2 và d’: y = 4x − m + 2. Với giá trị nào của m thì d cắt d’?

Câu 9: Cho đường thẳng (d) y = ax + b. Tìm giá trị của a và b trong mỗi trường hợp sau:

    a) (d) // (d₁): y = 2x + 3

    b) (d) trùng (d₂): y= -x + 1

    c) (d) cắt (d₃): y = 1/2 x

    d) (d) ⊥ (d₄): y = (-1)/2.x

Câu 10: Cho hai đường thẳng (d₁):y = mx + m và (d₂): y = √3x + m² + √3

Chứng minh rằng (d₁) và (d₂)không trùng nhau với mọi giá trị của m.

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b

Chuyên đề Ôn tập chương 2

Chuyên đề Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Chuyên đề Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Chuyên đề Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông