Chuyên đề Ôn tập chương III (2022) - Toán 9

Chuyên đề Ôn tập chương III - Toán 9

A. Lý thuyết

1. Góc ở tâm

Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn.

• Hai cạnh của góc ở tâm cắt đường tròn tại hai điểm, do đó chia đường tròn thành hai cung.

+ Cung nhỏ: cung nằm bên trong góc (với góc α (0 < α < 180°)).

+ Cung lớn: Cung nằm bên ngoài góc.

• Cung AB được kí hiệu là $\stackrel{⏜}{AB}$. Để phân biệt hai cung có chung các mút là A và B như hình vẽ (0 < α < 180°), ta kí hiệu: $\stackrel{⏜}{AmB}, \stackrel{⏜}{AnB}$

    Trong đó: $\stackrel{⏜}{AnB}$ là cung nhỏ, $\stackrel{⏜}{AmB}$ là cung lớn.

    Với α = 180° thì mỗi cung là một nửa đường tròn.

• Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn.

Khi đó, $\stackrel{⏜}{AnB}$ là cung bị chắn bởi góc AOB hay góc AOB chắn cung nhỏ $\stackrel{⏜}{AnB}$.

2. Số đo cung

• Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.

• Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360° và số đo cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn).

• Số đo của nửa đường tròn bằng 180°.

Số đo của cung AB được kí hiệu là sđ $\stackrel{⏜}{AB}$.

3. Liên hệ giữa cung và dây

a) Định lí 1

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

- Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

- Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.

b) Định lí 2

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

- Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

- Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

c) Mở rộng

Trong một đường tròn:

- Hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

- Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.

- Đường kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm) thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.

- Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.

4. Góc nội tiếp

a. Định nghĩa

- Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.

- Cung bị chắn là cung nằm bên trong góc.

b. Định lí

Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

c. Hệ quả

Trong một đường tròn:

- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

- Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90°) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

5. Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

a) Định nghĩa

- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm trên đường tròn, một cạnh là một tia tiếp tuyến còn cạnh kia chứa dây cung của đường tròn.

- Cung nằm bên trong là cung bị chắn.

b) Định lí

Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.

6. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn

- Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn được gọi là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn.

- Định lí: Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

Trong hình vẽ trên, $\widehat{BEC}$ là góc có đỉnh nằm ở bên trong đường tròn chắn hai cung là .

Do đó, 

7. Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn

- Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn và các cạnh đều có điểm chung với đường tròn.

- Định lí: Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

Ví dụ 2. Cho đường tròn (O) có hai dây AB và CD cắt nhau tại E (điểm E nằm bên ngoài đường tròn) như hình vẽ.

Trong hình vẽ trên, $\widehat{BEC}$ là góc có đỉnh nằm ở bên ngoài đường tròn chắn hai cung là $\stackrel{⏜}{BnC},\stackrel{⏜}{AmD}$.

Do đó, 

8. Tứ giác nội tiếp

a) Định nghĩa

Một tứ giác có bốn đỉnh nằm tên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp)

b) Định lí về tứ giác nội tiếp

- Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°.

- Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

c) Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180°.

- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.

- Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α.

- Chú ý: Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta có thể chứng minh tứ giác đó là một trong các hình sau: Hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân.

d) Định lí về đa giác nội tiếp

- Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.

- Trong tam giác đều, tâm của đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm của đường tròn nội tiếp và được gọi là tâm của đa giác đều.

- Tâm này là giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh hoặc là hai đường phân giác của hai góc.

e) Công thức mở rộng

- Bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm đến đỉnh.

- Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm O đến một cạnh.

Cho n-giác đều cạnh a. Khi đó:

- Chu vi của đa giác: 2p = na (p là nửa chu vi).

- Mỗi góc ở đỉnh của đa giác có số đo bằng $\frac{(n-2).{180}^o}{n}$.

- Mỗi góc ở tâm của đa giác có số đo bằng $\frac{{360}^o}{n}$.

- Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{a}{2\sin \frac{{180}^o}{n}}$$\Rightarrow a=2R.\sin \frac{{180}^o}{n}$

- Bán kính đường tròn nội tiếp: 

$$\begin{gathered} r=\frac{a}{2\tan \frac{{180}^o}{n}} \\ \Rightarrow a=2r.\tan \frac{{180}^o}{n} \end{gathered}$$

- Liên hệ giữa bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp: $R^2-r^2=\frac{a^2}{4}$.

- Diện tích đa giác đều: $S=\frac{1}{2}nar$.

10. Độ dài đường tròn

“Độ dài đường tròn” hay còn được gọi là “chu vi đường tròn” được kí hiệu là C.

Công thức tính chu vi hình tròn: C = 2πR hoặc C = πd.

Trong đó: C là độ dài đường tròn;

R là bán kính đường tròn;

d là đường kính của đường tròn;

π (đọc là “pi”) là kí hiệu của một số vô tỉ mà giá trị gần đúng thường được lấy là π ≈ 3,14.

11. Độ dài cung tròn

12. Diện tích hình tròn

Công thức diện tích hình tròn là:

$S=\pi R^2=\pi \frac{d^2}{4}$

Trong đó: S là diện tích của hình tròn;

R là bán kính hình tròn;

d là đường kính của hính tròn.

13. Diện tích của hình quạt tròn

Công thức diện tích hình quạt tròn là:

$S=\frac{\pi R^{2}n}{360}=\frac{lR}{2}$

Trong đó: S là diện tích của hình quạt tròn;

R là bán kính đường tròn;

l là độ dài cung tròn n^o.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Số đo cung lớn BnC trong hình bên là:

A. 280^o      

B. 290^o       

C. 300^o       

D. 310^o

Lời giải:

Ta có tổng số đo cung nhỏ BmC và số đo cung lớn BnC là 360^o

Mặt khác số đo cung nhỏ BmC = 80^o. Từ đó ra suy ra số đo cung lớn BnC là:

360^o – 80^o = 280^o

Đáp án cần chọn là: A

Câu 2: Cho hình vẽ ở bên. Khi đó mệnh đề đúng là:

Lời giải:

Góc   là góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn cung AD và cung BC nên ta có

Đáp án cần chọn là: A

Câu 3: Cho hình vẽ (hai đường tròn có tâm là B, C và điểm B nằm trên đường tròn tâm C). Biết  = 20^o

Khi đó  = ?

A. 60^o         

B. 70^o         

C. 80^o         

D. 90^o

Lời giải:

Ta nhận thấy   nội tiếp đường tròn tâm B, chắn cung nhỏ MN của đường tròn (B) nên:

Ta lại có   là góc nội tiếp đường tròn tâm C và   là góc ở tâm của (C) nên

Đáp án cần chọn là: C

Câu 4: Cho hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là sai?

Lời giải:

Ta có  vì hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB

Ta lại có  (mối liên hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AB)

Đáp án cần chọn là: D

Câu 5: Cho đường tròn (O). Trên (O) lấy ba điểm A, B, D sao cho  = 120^o, AD = BD.

Khi đó ∆ABD là:

A. Tam giác đều                                

B. Tam giác vuông tại D

C. Tam giác vuông cân tại D             

D. Tam giác vuông tại A

Lời giải:

Từ mối liên hệ về số đo góc ở tâm và số đo góc nội tiếp ta có:

∆ABD có AD = BD nên cân tại D, có một góc  = 60^o nên ∆ABD là tam giác đều

Đáp án cần chọn là: A

Câu 6: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Biết 

A. 50^o         

B. 130^o       

C. 15^o         

D. 65^o

Lời giải:

Ta có:

Do đó  (góc nội tiếp bằng một nửa số đo của cung bị chắn)

Đáp án cần chọn là: D

Câu 7: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại A và B. Vẽ cát tuyến CAD vuông góc với AB (C ∈ (O), D ∈ (O’)). Tia CB cắt (O’) tại E, tia DB cắt (O) tại F. Khi đó

Lời giải:

Vậy ba điểm B, O, C thẳng hàng.

Chứng minh tương tự ta nhận được B, O’, D thẳng hàng

Trong (O), các góc  là các góc nội tiếp cùng chắn chung CF nên

 (1)

Trong (O’) các góc  là các góc nội tiếp cùng chắn chung DE nên

 (2)

Mặt khác  là các góc đối đỉnh, do đó  (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra 

Đáp án cần chọn là: C

Câu 8: Cho đường tròn (O; R) và một điểm M bên trong đường tròn đó. Qua M kẻ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau (C thuộc cung nhỏ AB). Vẽ đường kính DE. Khi đó tứ giác ABEC là:

A. Hình bình hành                            

B. Hình thang

C. Hình thang cân                             

D. Hình thoi

Lời giải:

Do DE là đường kính của (O; R) nên  = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Do đó CD ⊥ CE. Mặt khác theo giả thiết ta có CD ⊥ AB

Do đó AB // CE. Vậy tứ giác ABEC là hình thang            (1)

Mặt khác các dây CE, AB là hai dây song song của (O) chắn hai cung AC và BE nên cung AC = cung BE ⇒ AC = BE          (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABEC là hình thang cân

Đáp án cần chọn là: C

Câu 9: Cho hình vẽ dưới đây:

Khi đó mệnh đề đúng là:

Lời giải:

Ta áp dụng công thức về góc có đỉnh ở trong và ở ngoài đường tròn bị chắn bởi cung ta nhận được  

Đáp án cần chọn là: B

Câu 10: Qua điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai cát tuyến ABC và ADE với đường tròn đó (B nằm giữa A và C, D nằm giữa A và E). Kẻ dây BF // DE. Khi đó kết luận đúng là:

A. AC. AE = DC. DF                                  

B. AC. DF = DC. AE

C. AE. CE = DF. CF                                   

D. AC. CE = DC. CF

Lời giải:

Mặt khác ta có  (3). (hai cung bị chắn bởi hai dây song song)

Theo tính chất về góc có đỉnh bên ngoài đường tròn ta có:

Theo tính chất của góc nội tiếp bị chắn bởi cung ta có:

Đáp án cần chọn là: B

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Cho đường tròn (O; R). Trên đường tròn đó lấy hai điểm A và B sao cho $AB=R\sqrt{2}$. Tính số đo của hai cung AB.

Lời giải:

Đặt cung nhỏ AB là $\stackrel{⏜}{AmB}$ và cung lớn AB là $\stackrel{⏜}{AnB}$.

Hai điểm A và B nằm trên đường tròn (O; R) nên OA = OB = R

Nên ΔABC vuông tại A (theo định lý Py – ta – go đảo).

Vậy số đo cung nhỏ và cung lớn AB lần lượt là 90^o và 270^o.

Câu 2: Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và $\left(O;\frac{R\sqrt{3}}{2}\right)$. Trên đường tròn nhỏ lấy một điểm M. Tiếp tuyến tại M của đường tròn nhỏ cắt đường tròn lớn tại A và B. Tia OM cắt đường tròn lớn tại C. Chứng minh rằng $\stackrel{⏜}{CA}=\stackrel{⏜}{CB}$.

Lời giải:

Tiếp tuyến tại M của đường tròn nhỏ cắt đường tròn lớn tại A và B hay AM là tiếp tuyến của đường tròn $\left(O;\frac{R\sqrt{3}}{2}\right)$ nên $OM\perp AB$.

Do đó OM là đường cao của ΔOAB.

Mặt khác, ΔOAB có OA = OB = R nên ΔOAB cân tại O.

Xét ΔOAB cân tại O có OM là đường cao nên OM cũng là đường phân giác hay $\widehat{AOM}=\widehat{BOM}$

Câu 3: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn (O). Biết $\widehat{A}={70}^o$. Hãy so sánh các cung nhỏ AB, AC và BC.

Lời giải:

Câu 4: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Từ A và B vẽ hai dây cung AC và BD song song vs nhau. Qua O vẽ đường thẳng vuông góc AC tại M và BD tại N. So sánh hai cung AC và BD.

Lời giải:

Câu 5: Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) đường kính BD. Biết $\widehat{BAC}$ = 45^o. Tính số đo $\widehat{CBA}$.

Lời giải:

Câu 6: Cho ∆ABC nhọn có $\widehat{BAC}={60}^o$. Vẽ đường tròn đường kính BC tâm O cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Tính số đo $\widehat{ODE}$.

Lời giải:

Câu 7: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và dây AC căng cung AC có số đo bằng 60^o.

a) So sánh các góc tam giác ABC.

b) Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của các cung AC và BC. Hai dây AN và BM cắt nhau tại I. Chứng minh rằng CI là phân giác góc ACB.

Lời giải:

b) Ta có: $\widehat{ABM}=\widehat{CBM}$ (góc nội tiếp chắn cung AM bằng cung MC).

Nên BM là tia phân giác $\widehat{ABC}$.

Tương tự $\widehat{CAN}=\widehat{BAN}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung CN bằng cung BN)

Nên AN là đường phân giác của $\widehat{BAC}$.

Ta thấy ΔABC có AN và BM là hai tia phân giác cắt nhau tại I nên CI là tia phân giác $\widehat{ACB}$ (tính chất ba đường phân giác của tam giác).

Câu 8: Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại P. Biết $\widehat{APB}$ = 55^o. Tính số đo cung lớn AB.

Lời giải:

Câu 9: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M. Kẻ tiếp tuyến MN với đường tròn (O) tại N. Vẽ NH vuông góc với AB.

Chứng minh $\widehat{MNA}=\widehat{ANH}$.

Lời giải:

Câu 10: Cho hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M, biết $\widehat{AMB}={40}^o$.

a) Tính $\widehat{AMO}$ và $\widehat{AOM}$.

b) Tính số đo cung AB nhỏ và số đo cung AB lớn.

Lời giải:

a) Do MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M.

Vậy số đo cung AB nhỏ và số đo cung AB lớn lần lượt là 140^o và 220^o.

Câu 11: Cho đường tròn đường tròn (O) có hai dây AB và CD cắt nhau tại M như hình vẽ. Tính số đo của cung BD, biết $\widehat{AMB}={120}^o$.

Lời giải:

Câu 12: Cho đường tròn đường tròn (O) đường kính BC. Lấy điểm A nằm trên đường tròn, vẽ tiếp tuyến AM (A là tiếp điểm). Tính $\widehat{AMC}$, biết số đo cung AC là 120^o.

Lời giải:

Câu 13: Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD. Vẽ dây BM vuông góc với tia phân giác góc BAC tại H cắt CD tại E. Chứng minh BM là đường phân giác góc CBD.

Lời giải:

∆ABE có AH là đường phân giác đồng thời là đường cao nên ∆ABE cân tại đỉnh A.

Câu 14: Cho một góc vuông xOy, trên tia Ox lấy điểm A cố định, B là điểm chuyển động trên tia Oy. Tìm tập hợp các điểm C sao cho DABC vuông cân tại C.

Lời giải:

Do đó C thuộc tia phân giác Oz của góc vuông xOy.

- Phần đảo: Lấy điểm C bất kỳ thuộc tia C’z.

Vẽ đường thẳng vuông góc CA tại C cắt tia Oy tại B.

Xét ∆CAH vuông tại H và ∆CBK vuông tại K có:

CH = CK và $\widehat{CAH}=\widehat{CBK}$

Nên DCAH = DCBK (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra CA = CB (hai cạnh tương ứng).

Do đó DABC vuông cân tại C.

- Kết luận: Tập hợp các điểm C là tia C’z của tia phân giác Oz của góc xOy.

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hình bình hành ABCD có cạnh AB cố định và cạnh CD chuyển động trên đường thẳng d song song với AB. Gọi I là trung điểm của CD. Tia AI cắt BC tại N. Tìm quỹ tích điểm N khi CD thay đổi trên đường thẳng d.

Câu 2: Cho đường tròn (O; R) cố định. Lấy B, C là hai điểm cố định trên đường tròn và A là một điểm tuỳ ý trên đường tròn. Gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua trung điểm I của AB. Tìm quỹ tích các điểm M.

Câu 3: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BM và CN cắt nhau tại H. Chứng minh các tứ giác AMHN và BNMC là những tứ giác nội tiếp.

Câu 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA, điểm N thuộc đường tròn (O). Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax và By. Đường thẳng qua C và vuông góc với NM cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D.

a) Chứng minh ACNM và BDNM là các tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh ∆ANB đồng dạng với ∆CMD.

Câu 5: Một đa giác đều nội tiếp đường tròn (O; R). Biết độ dài mỗi cạnh của nó là . Hỏi đa giác đó là hình gì?

Câu 6: Cho ∆ABC cân tại A có ; BC = 6 cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.

Câu 7: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm, AC = 4 cm. Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp; r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tính tỉ số .

Câu 8: Cho đường tròn (O) bán kính OA. Từ trung điểm M của OA vẽ dây BC vuông góc OA. Biết độ dài đường tròn (O) là 4π (cm). Tính:

a) Bán kính đường tròn (O).

b) Độ dài hai cung BC của đường tròn.

Câu 9: Tam giác ABC có AB = AC = 3 cm, . Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.

Câu 10: Một tam giác đều và một hình vuông có cùng chu vi là 72 cm. Hỏi độ dài đường tròn ngoại tiếp hình nào lớn hơn? Lớn hơn bao nhiêu?

Câu 11: Một hình tròn có diện tích S = 256π cm². Tính bán kính của hình tròn đó.

Câu 12: Cho đường tròn (O; 8cm) đường kính AB. Điểm M(O) sao cho . Tính diện tích hình quạt AOM.

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Hình trụ - Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ

Chuyên đề Hình nón – Hình nón cụt. Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt

Chuyên đề Hình cầu. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

Chuyên đề Ôn tập chương 4

Chuyên đề Phương trình bậc nhất hai ẩn