Chuyên đề Đồ thị của hàm số y = ax + b (2022) - Toán 9

Chuyên đề Đồ thị của hàm số y = ax + b - Toán 9

A. Lý thuyết

1. Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0)

Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) là một đường thẳng:

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b.

- Song song với đường thẳng y = ax nếu b ≠ 0; trùng với đường thẳng y = ax nếu b = 0

Chú ý. Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) còn được gọi là đường thẳng y = ax + b và b được gọi là tung độ gốc của đường thẳng.

Ví dụ 1. Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng y = x − 1 và y = 3x + 1, tìm tọa độ của điểm A?

Lời giải:

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình:

x − 1 = 3x + 1

$\iff$ 3x − x = − 1 − 1

$\iff$ 2x = − 2

$\iff$ x = − 1.

Với x = − 1 thì y = − 1 − 1 = − 2. Khi đó, A(− 1; − 2).

Vậy tọa độ giao điểm A(− 1; − 2).

2. Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0)

• Khi b = 0 thì y = ax. Đồ thị hàm số y = ax là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và điểm A(1; a).

• Xét trường hợp y = ax + b với a ≠ 0 và b ≠ 0.

Bước 1: Cho x = 0 thì y = b, ta được điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.

Cho y = 0 thì $x=\frac{-b}{a}$, ta được điểm $Q\left(-\frac{b}{a};0\right)$ thuộc trục hoành Ox.

Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0).

 Chú ý: Vì đồ thị y = ax + b (a ≠ 0) là một đường thẳng nên muốn vẽ nó chỉ cần xác định hai điểm phân biệt thuộc đồ thị.

Ví dụ 2. Vẽ đồ thị hàm số y = 2x – 1.

Bước 1: Cho x = 0 thì y = −1, ta được điểm A(0; −1) ∈ Oy.

Cho y = 1 thì 2x – 1 = 1 $\iff$ x = 1, ta được điểm B(1; 1)

Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A và B, ta được đồ thị hàm số y = 2x – 1.

Ta có đồ thị hàm số:

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Chọn khẳng định đúng về đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) .

A. Là đường thẳng đi qua gốc tọa độ

B. Là đường thẳng song song với trục hoành

C. Là đường thẳng đi qua hai điểm  với b ≠ 0

D. Là đường cong đi qua gốc tọa độ

Lời giải:

Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) là một đường thẳng

Trường hợp 1: Nếu b = 0 ta có hàm số y = ax .

Đồ thị y = ax là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và điểm A(1; a) .

Trường hợp 2: Nếu b ≠ 0 thì đồ thị y = ax là đường thẳng đi qua các điểm .

Chọn đáp án C.

Câu 2: Trong các hình vẽ sau, hình vẽ nào là đồ thị hàm số y = 2x + 1

A. Hình 4

B. Hình 2

C. Hình 3

D. Hình 1

Lời giải:

* Cho x = 0 ⇒ y = 1 ta được điểm A(0; 1) thuộc trục tung

Cho x = 1 ⇒ y = 3 ta được điểm B (1; 3)

*Đồ thị hàm số y = 2x + 1 đi qua hai điểm có tọa độ (0; 1) và (1; 3) nên hình 1 là đồ thị hàm số y = 2x + 1

Chọn đáp án D.

Câu 3: Đồ thị hàm số  đi qua điểm nào dưới đây:

Lời giải:

Chọn đáp án C.

Câu 4: Cho hai đường thẳng d1 = 2x -2 và d2 = 3 - 4x . Tung độ giao điểm của d1; d2 có tọa độ là:

Lời giải:

Chọn đáp án A.

Câu 5: Cho đường thẳng  . Giao điểm của với trục tung là:

Lời giải:

Chọn đáp án D.

Câu 6: Cho hai đường thẳng d1: y = 2x + 4 và d2: y = -x + 7. Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị?

A. (1; 6)

B. (2 ; 8)

C. ( -1 ;2)

D. ( -2; 0)

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

2x + 4 = -x + 7

⇒ 2x + x = 7 -4

⇒ 3x = 3 ⇔ x = 1

Thay x = 1 vào phương trình đường thẳng y = 2x + 4 ta được: y = 2.1+ 4 = 6

Do đó, hai đồ thị đã cho cắt nhau tại A(1; 6)

Chọn đáp án A.

Câu 7: Biết rằng với x = 2 thì hàm số y = 2x + b có giá trị là 10. Tìm b?

A. b = 3

B. b = 6

C. b = -3

D. b = 2

Lời giải:

Thay x = 2; y = 10 vào y = 2x + b ta được:

10 = 2.2 + b

Suy ra: b = 6

Chọn đáp án C.

Câu 8: Biết rằng đồ thị hàm số y = ax - 10 đi qua điểm A( 1; -8). Tìm a?

A. 8

B.12

C. -8

D. 2

Lời giải:

Vì đồ thị hàm số đã cho đi qua A(1; -8) nên ta thay x = 1; y = -8 vào y = ax -10 ta được:

-8 = a.1 - 10 ⇔ a = 2

Chọn đáp án D.

Câu 9: Cho hàm số y = 3x + 12. Hỏi đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm nào?

A. ( -4; 0)

B. (0;12)

C. (0; 4)

D. (12; 0)

Lời giải:

Cho y = 0 ⇒ 3x + 12 = 0 ⇔ x = -4

Do đó, đồ thị hàm số y = 3x + 12 cắt trục hoành tại điểm A( -4; 0)

Chọn đáp án A.

Câu 10: Cho đồ thị hàm số y = -x + 4. Đồ thị hàm số cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A; B. Tính khoảng cách AB?

A. 4

B. 4√2

C. 8

D. 6√2

Lời giải:

Cho x = 0 ⇒ y = 4 ta được điểm B(0;4) thuộc trục Oy.

Cho y = 0 ⇒ x = 4 ta được điểm A(4; 0) thuộc trục Ox.

Tam giác OAB vuông tại O có OA = 4 và OB = 4 nên:

Chọn đáp án B.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1:

Đồ thị hàm số y = 2x đi qua 2 điểm A(1; 2); O(0; 0).

Đồ thị hàm số y = 2x + 3 đi qua 2 điểm C(-1; 1); B(0; 3).

Nhận thấy đồ thị hàm số y = 2x song song với đồ thị hàm số y = 2x + 3.

Câu 2: Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng y = x + 1 và y = 2x + 1, tìm tọa độ của điểm A?

Lời giải:

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình:

x + 1 = 2x + 1 ⇒ x - 2x = 1 - 1

⇒ -x = 0 ⇒ x = 0

Với x = 0 thì y = 0 + 1 = 1

Suy ra, tọa độ điểm A(0; 1)

Câu 3: Vẽ đồ thị hàm số y = 3x - 1

Lời giải:

    + Bước 1: Cho x = 0 thì y = -1, ta được điểm P(0; -1) ∈ Oy.

         Cho y = 2 thì x = 1 ta được điểm Q(1; 2)

    + Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y = 3x - 1

Câu 4: Cho hàm số y = (m – 3)x

a) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến? Nghịch biến?

b) Xác định giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1; 2)

c) Xác định giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm B(1; -2)

d) Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với giá trị của m tìm được ở các câu b, c.

Lời giải:

Hàm số y = (m – 3)x có a = m – 3

Điều kiện: m – 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3

a)

*Hàm số đồng biến khi hệ số

a = m – 3 > 0 ⇔ m > 3

Vậy với m > 3 thì hàm số

y = (m – 3)x đồng biến.

*Hàm số nghịch biến khi hệ số

a = m – 3 < 0 ⇔ m < 3

Vậy với m < 3 thì hàm số

y = (m – 3)x nghịch biến.

b) Đồ thị của hàm số y = (m – 3)x đi qua điểm A(1; 2) nên ta thay x = 1 và y = 2 vào hàm số

Ta có: 2 = (m – 3).1

⇔ 2 = m – 3

⇔ m = 2 + 3 $\iff$ m = 5 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy với m = 5 thì đồ thị hàm số y = (m – 3)x đi qua điểm A(1; 2).

c) Đồ thị của hàm số y = (m – 3)x đi qua điểm B(1; -2) nên ta thay x = 1; y = -2 vào hàm số

Ta có: -2 = (m – 3).1

⇔ -2 = m – 3

⇔ m = -2 + 3 $\iff$ m = 1 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy với m = 1 thì đồ thị hàm số y = (m – 3)x đi qua điểm B(1; -2)

d) Khi m = 5 thì ta có hàm số: y = 2x

Khi m = 1 thì ta có hàm số: y = -2x

*Vẽ đồ thị của hàm số y = 2x

Cho x = 0 thì y = 0. Ta có: O(0; 0)

Cho x = 1 thì y = 2. Ta có: A(1; 2)

Đường thẳng OA là đồ thị hàm số y = 2x

*Vẽ đồ thị của hàm số y = -2x

Cho x = 0 thì y = 0. Ta có: O(0; 0)

Cho x = 1 thì y = -2. Ta có: B(1; -2)

Đường thẳng OB là đồ thị hàm số y = -2x

Câu 5: Cho hàm số bậc nhất y = (m – 1,5)x + 5 (1)

a) Khi m = 3, đồ thị của hàm số (1) đi qua điểm:

A) (2; 7);

B) (2,5; 8);

C) (2; 8);

D) (-2; 3).

b) Khi m = 2, đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại điểm:

A) (1; 0);

B) (2; 0);

C) (-1; 0);

D) (-10; 0).

Lời giải:

a) Chọn C vì khi thay m = 3; x = 2 vào hàm số ta được y = (3 – 1,5).2 + 5 = 8

Các điểm còn lại thay vào không thỏa mãn.

b) Chọn D vì khi thay m = 2; x = -10 vào hàm số ta được y = (2 – 1,5).(-10) + 5 = 0

Các điểm còn lại thay vào không thỏa mãn.

Câu 6: Cho hàm số y = (a – 1)x + a

a) Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.

b) Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -3.

c) Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với giá trị của a tìm được ở các câu a, b trên cùng hệ trục tọa độ Oxy và tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng vừa vẽ được.

Lời giải:

Điều kiện để y = (a – 1)x + a là hàm số bậc nhất là a - 1 $\ne$ 0 hay a $\ne$ 1

a) Hàm số y = (a – 1)x + a cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên hàm số đi qua điểm A(0; 2)

Thay x = 0; y = 2 vào hàm số ta có:

2 = (a – 1).0 + a

$\iff a=2$(thỏa mãn điều kiện)

Vậy hàm số y = (a – 1)x + a cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 khi a = 2.

b) Hàm số y = (a – 1)x + a cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = -3 nên hàm số đi qua điểm D (-3; 0). Thay x = -3; y = 0 vào hàm số ta được.

0 = (a – 1)(-3) + a

⇔ -3a + 3 + a = 0

⇔ -2a = -3 ⇔ a = 1,5

Vậy hàm số y = (a – 1)x +a cắt trục hoành tại điểm có tung độ bằng -3 khi a = 1,5

c) Khi a = 2 thì ta có hàm số: y = x + 2

Khi a = 1,5 thì ta có hàm số: y = 0,5x + 1,5

*Vẽ đồ thị của hàm số y = x + 2

Cho x = 0 thì y = 2. Ta có: A(0; 2)

Cho y = 0 thì x = -2. Ta có: B(-2; 0)

Đường thẳng AB là đồ thị hàm số y = x + 2

*Vẽ đồ thị hàm số y = 0,5x + 1,5

Cho x = 0 thì y = 1,5. Ta có: C(0; 1,5)

Cho y = 0 thì x = -3. Ta có: D(-3; 0)

Đường thẳng CD là đồ thị hàm số

y = 0,5x + 1,5.

*Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng:

Gọi E(x; y) là giao điểm của  hai đường thẳng.

Phương trình hoành độ giao điểm:

x + 2 = 0,5x + 1,5

$$\begin{gathered} \iff x-0,5x=2-1,5 \\ \iff -0,5x=0,5 \\ \iff x=-1 \\ \Rightarrow y=-1+2=1 \end{gathered}$$

Vậy giao điểm hai đường thẳng là E(-1; 1)

Câu 7: Vẽ đồ thị hàm số của các hàm số

a, y= 2x

b, y=-3x+3

Lời giải:

a, y=2x

Đồ thị hàm số y=2x đi qua điểm O(0; 0) và điểm A(1; 2)

b, y=-3x+3

Cho x=0 thì y=3, ta được điểm P(0; 3) thuộc trục tung Oy

Cho y=0 thì x=1, ta được điểm Q(1; 0) thuộc trục hoành Ox

Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y=-3x+3

Câu 8: a, Cho đồ thị hàm số y=ax+7 đi qua M(2; 11). Tìm a

b, Biết rằng khi x=3 thì hàm số y=2x+b có giá trị bằng 8, tìm b

c, Cho hàm số y=(m+1)x. Xác định m để đồ thị hàm số đi qua A(1; 2)

Lời giải:

a, Vì đồ thị hàm số y=ax+7 (1) đi qua M(2; 11) nên thay x=2; y=11 vào (1) ta được:11=2a+7. Từ đó suy ra a=2.

Vậy a=2

b, Thay y=8; x=3 vào hàm số y=2x+b ta được: 8=6+b. Suy ra b=2

Vậy b=2

c, Vì đồ thị hàm số y=(m+1)x (2) đi qua A(1; 2) nên thay x=1; y=2 vào (2) ta được: 2=(m+1).1. Từ đó suy ra m=1

Vậy m=1

Câu 9: Xác định hàm số y=ax+b trong mỗi trường hợp sau, biết đồ thị của hàm số là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và:

a, Đi qua điểm A(3;2)

b, Có hệ số a= √3

c, Song song với đường thẳng y=3x+1

Lời giải:

Nhắc lại: Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0;0) có dạng y=ax (a ≠0)

a, Vì đồ thị hàm số y=ax+b (a ≠ 0) đi qua gốc tọa độ O(0;0) nên có dạng y=ax (a ≠ 0)

Vì đồ thị hàm số đi qua điểm A(3;2) nên ta có: 2=3.a ⇔ a = 2/3

Vậy hàm số cần tìm là y = 2/3x

b, Vì đồ thị hàm số y=ax+b (a ≠ 0) đi qua gốc tọa độ O(0;0) nên có dạng y=ax(a ≠ 0)

Vì hàm số đã cho có hệ số góc là a= √3 nên hàm số cần tìm là y= √3x

c, Vì đồ thị hàm số y=ax+b (a ≠ 0) đi qua gốc tọa độ O(0;0) nên có dạng y=ax( a ≠ 0)

Vì đồ thị hàm số y=ax (a ≠ 0) song song với đường thẳng y=3x+1 nên a=3.

Vậy hàm số cần tìm là y=3x.

Câu 10: Cho đường thẳng y=(k+1)x+k. (1)

a, Tìm giá trị của k để đường thẳng (1) đi qua gốc tọa độ.

b, Tìm giá trị của k để đường thẳng (1) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.

c, Tìm giá trị của k để đường thẳng (1) song song với đường thẳng y=5x-5.

Lời giải:

a, Đường thẳng y=ax+b đi qua gốc tọa độ khi b=0, nên đường thẳng y=(k+1)x+k qua gốc tọa độ khi k=0, khi đó hàm số là y=x.

b, Đường thẳng y=ax+b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b. Do đó, đường thẳng y=(k+1)x+k cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 khi k=2.

Vậy k=2 và đường thẳng cần tìm là y=3x+2

c, Đường thẳng y=(k+1)x+k song song với đường thẳng y=5x-5 khi và chỉ khi k+1=5 và. Từ đó suy ra k=4.

Vậy hàm số cần tìm là y=5x+4.

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho đường thẳng d xác định bởi y = 2x + 11 . Đường thẳng d' đối xứng với đường thẳng d qua trục hoành. Vậy phương trình đường thẳng d' là?

Câu 2: Cho đường thẳng d có phương trình y = mx + m - 1 (m là tham số). Chứng minh rằng đường thẳng đã cho luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m

Câu 3:

Cho hàm số y =-x – 3. (1)

a) Vẽ đồ thị hàm số (1) ;

b) Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành, trục tung tại các điểm   A. Tính chu vi và diện tích tam giác AOB.

Câu 4:

Biết đồ thị hàm số y = –x + m đi qua điểm P(6 ; -2).

a) Tìm m ;

b) Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị m vừa tìm được.

Câu 5:

Cho hàm sốf(x) = (2– 3)x + 2+ 3. (1)

a) Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến trên R ? Vì sao?

b) Xác định a biết f(a) = 0.

c) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho bởi ( 1 ) và đồ thị y = 2x + m – 1 cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

Câu 6:

Cho đường thẳng có phương trình

3m – my = (2m + 1)x – 3 (m ≠ 0, m ≠ ).                                  (1)

a) Với m = 1, hàm số biểu thị bởi (1) đồng biến hay nghịch biến trên R ? Vì sao ?

b) Vẽ đồ thị hàm số ( 1 ) khi m = 1 ;

c) Chứng minh rằng khi m thay đổi, các đường thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố định. Tính toạ độ điểm cố định đó.

Câu 7:

Biết hai đường thẳng mx + 2y = -1 và my = nx – 5 (m, n ≠ 0) cắt nhau tại điểm M(3 ; -2).

a) Tìm 2 số m, n ;

b) Vẽ đồ thị hai hàm số ứng với m, n vừa tìm được ở câu a) trên cùng một hệ trụẹ toạ độ.

Câu 8:

Cho ba đường thẳng :

x + 3y = 0 (); 2x + y = 0 () ; x – 2y =-10 ().

a) Trên cùng một hệ trục toạ độ hãy vẽ ba đường thẳng , , .

b) Chứng minh rằng tam giác tạo bởi ba đường thẳng đó là tam giác vuông cân.

Câu 9:

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau

Chuyên đề Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b

Chuyên đề Ôn tập chương 2

Chuyên đề Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Chuyên đề Tỉ số lượng giác của góc nhọn