Chuyên đề Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn (2022) - Toán 9

Chuyên đề Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn - Toán 9

A. Lý thuyết

1. Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

a) Đường thẳng và đường tròn cắt nhau

Khi một đường thẳng có hai điểm chung A, B với đường tròn (O) ta nói đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt. Khi đó ta có những kết quả quan trọng sau:

Theo định lý Pitago ta có: OH² = MO² - MH²

Mặt khác ta cũng có: OH² = R² - AH² nên suy ra

MO² - MH² = R² - AH² ⇔ MH² - AH² = MO² - R²

⇔ (MH - AH)(MH + AH) = MO² - R²

    + Nếu M nằm ngoài đoạn AB thì MA.MB = MO² - R²

    + Nếu M nằm trong đoạn AB thì MA.MB = R² - MO²

Mối liên hệ khoảng cách và dây cung: R² = OH² + AB²/4

b) Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau.

Khi một đường thẳng Δ chỉ có một điểm chung H với đường tròn (O), ta nói đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, hay Δ là tiếp tuyến của đường tròn (O). Điểm H gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến với đường tròn (O)

Như vậy nếu Δ là tiếp tuyến của (O) thì Δ vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm

Ta có OH = R

c) Đường thẳng và đường tròn không giao nhau

Khi một đường thẳng Δ và đường tròn (O) không có điểm chung ta nói đường thẳng Δ và đường tròn (O) không giao nhau. Khi đó OH > R

2. Hệ thức giữa khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng và bán kính của đường tròn

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Đường thẳng và đường tròn có nhiều nhất bao nhiêu điểm chung

A. 1

B. 2

C.3

D. 4

Câu 2: Nếu đường thẳng và đường tròn có duy nhất một điểm chung thì

A. đường thẳng tiếp xúc với đường tròn

B. đường thẳng cắt đường tròn

C. đường thẳng không cắt đường tròn

D. đáp án khác

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Cho đường tròn tâm O bán kính bằng 6cm và một điểm A cách O 10cm. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Tính độ dài đoạn AB.

Lời giải:

OA = 10cm ⇒ A nằm ngoài đường tròn

Ta có: AB là tiếp tuyến, B là tiếp điểm, khi đó OB = R = 6cm.

AB ⊥ OB áp dụng định lý Py – ta – go ta có:

AB² + OB² = OA²

Vậy AB = 8cm

Câu 2: Cho hình vuông ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm H sao cho BH = BA , qua H vẽ đường thẳng vuông góc với BD cắt AD tại O

a) So sánh OA, OH và HD

b) Xác định vị trí tương đối của BD với (O; OA)

Lời giải:

Câu 3: Cho đường tròn (O; 5) . Từ M ngoài O vẽ hai tiếp tuyến MA, MB sao cho MA ⊥ MB tại M.

a) Tính MA, MB

b) Gọi I là giao điểm của OM với (O) . Kẻ tiếp tuyến với (O) tại I cắt OA, OB lần lượt ở C và D. Tính CD

Lời giải:

a) Ta có: MA, MB là hai tiếp tuyến nên khoảng cách từ O đến MA và MB lần lượt là OA và OB (do A, B là các tiếp điểm duy nhất với (O))

Từ đó ta có: OA ⊥ MA, OB ⊥ MB

Tứ giác OAMB có 3 góc vuông và OA = OB = R nên OAMB là hình vuông

⇒ MA = MB = R = 5

b) Dễ dàng chứng minh

Câu 4: Cho đường tròn tâm O bán kính bằng 6cm và một điểm A cách O 10cm. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Tính độ dài đoạn AB.

Lời giải:

OA = 10cm ⇒ A nằm ngoài đường tròn

Ta có: AB là tiếp tuyến, B là tiếp điểm, khi đó OB = R = 6cm.

AB ⊥ OB áp dụng định lý Py – ta – go ta có:

AB2 + OB2 = OA2

Vậy AB = 8cm

Câu 5: Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm I có tọa độ (-3; 2). Nếu vẽ đường tròn tâm I bán kính bằng 2 thì đường tròn đó có vị trí như thế nào đối với các trục tọa độ ?

Lời giải:

Kẻ $IA\perp Ox$ tại A

Ta có: IA = 2 = R (do điểm I có tọa độ (-3; 2))

Do đó, đường tròn (I) tiếp xúc với trục hoành

Kẻ $IB\perp Oy$ tại B

Ta có IB = 3 > R (do điểm I có tọa độ (-3; 2))

Do đó, đường tròn (I) và trục tung không có điểm chung

Câu 6: Cho đường thẳng a. Tâm I của tất cả các đường tròn có bán kính 5cm và tiếp xúc với đường thẳng a nằm trên đường nào ?

Lời giải:

Vì đường tròn tâm I bán kính 5cm tiếp xúc với đường thẳng a nên khoảng cách từ I đến a là 5cm.

Vậy I nằm trên hai đường thẳng x và y song song với a, cách a một khoảng bằng 5cm.

Câu 7: Cho điểm A cách đường thẳng xy là 12cm. Vẽ đường tròn (A ; 13cm)

a) Chứng minh rằng đường tròn (A) có hai giao điểm với đường thẳng xy

b) Gọi hai giao điểm nói trên là B và C. Tính độ dài BC.

Lời giải:

a)

Kẻ $AH\perp xy$ tại H

Ta có: AH = 12cm

Bán kính đường tròn (I) là 13cm hay R = 13cm

Mà ta có: AH = d = 12cm < R = 13cm

Do đó, đường tròn (A; 13cm) cắt đường thẳng xy tại hai điểm phân biệt B và C

b)

Xét tam giác AHC vuông tại H

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

$$\begin{gathered} A{C}^2=A{H}^2+H{C}^2 \\ \Rightarrow H{C}^2=A{C}^2-A{H}^2={13}^2-{12}^2=25 \end{gathered}$$

$\Rightarrow HC=\sqrt{25}=5$ (cm)

Mặt khác, AH là một phần của đường kính, BC là dây cung, AH vuông góc với BC tại H

Do đó, H là trung điểm của BC

$\Rightarrow BC=2CH=2.5=10$ (cm)

Câu 8: Cho đường tròn (O) bán kính bằng 2cm. Một đường thẳng đi qua điểm A nằm bên ngoài đường tròn và cắt đường tròn tại B và C, trong đó AB = BC. Kẻ đường kính COD. Tính độ dài AD.

Lời giải:

Xét tam giác ACD, ta có :

B là trung điểm của AC (gt)

O là trung điểm của CD (tâm – đường kính)

Do đó, OB là đường trung bình của tam giác ACD

$\Rightarrow OB=\frac{1}{2}AD$

$\Rightarrow AD=2OB=2.2=4$ (cm)

Câu 9: Cho hình thang vuông ABCD $\left(\widehat{A}=\widehat{D}={90}^o\right)$, AB = 4cm, BC = 13cm, CD = 9cm.

a) Tính độ dài AD

b) Chứng minh rằng đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn có đường kính là BC

Lời giải:

a)

Kẻ BE vuông góc với CD tại E

Xét tứ giác ABED có:

$\widehat{BAD}=\widehat{ADE}={90}^o$ (theo đề bài)

$\widehat{BED}={90}^o$(do BE vuông góc với CD tại E)

Do đó, ABED là hình chữ nhật

$\Rightarrow AD=EB$, AB = DE = 4cm

$\Rightarrow$ CE = CD – DE = 9 – 4 = 5 (cm)

Xét tam giác BCE vuông tại E

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

$$\begin{gathered} B{C}^2=B{E}^2+C{E}^2 \\ \Rightarrow B{E}^2=B{C}^2-C{E}^2 \\ ={13}^2-5^2=144 \end{gathered}$$

$\Rightarrow BE=\sqrt{144}=12$ (cm)

$\Rightarrow AD=EB=12$cm

b)

Gọi I là trung điểm của BC

$\Rightarrow IB=IC=\frac{BC}{2}=\frac{13}{2}=6,5$ (cm) (1)

Kẻ IH vuông góc với AD tại H

Xét hình thang ABCD có:

I là trung điểm của BC

Mà CD, AB vuông góc với AD $\left(\widehat{A}=\widehat{D}={90}^o\right)$

$\Rightarrow$ IH // CD // AB

Do đó, H là trung điểm của AD

 Hay IH là đường trung bình của hình thang ABCD

$\Rightarrow IH=\frac{AB+CD}{2}=\frac{4+9}{2}=6,5$ (cm) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra IB = IH = IC = $\frac{BC}{2}$.

Vậy đường tròn (I; $\frac{BC}{2}$) tiếp xúc với đường thẳng AD

Câu 10: Cho đường tròn (O), bán kính OA, dây CD là đường trung trực của OA.

a) Tứ giác OCAD là hình gì? Vì sao?

b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại C, tiếp tuyến này cắt đường thẳng OA tại I. Tính độ dài CI biết OA = R.

Lời giải:

a)

Gọi H là giao điểm của OA và CD

Vì CD là đường trung trực của OA nên:

$CD\perp OA$ tại H và HA = HO

Mà OH là một phần của đường kính, CD là dây cung nên H là trung điểm của CD

$\Rightarrow$ HC = HD

Vì tứ giác ACOD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là H và cũng vuông góc với nhau tại H nên ACOD là hình thoi

b)

Vì ACOD là hình thoi nên AC = OC

Mà OC = OA = R nên AC = OC = OA

Do đó, tam giác OAC đều

$\Rightarrow \widehat{OAC}={60}^o$ hay $\widehat{COI}={60}^o$

Mà $CI\perp OC$ (tính chất của tiếp tuyến)

Xét tam giác OCI vuông tại C

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

$CI=OC.\tan \widehat{COI}=R.\tan {60}^o=R\sqrt{3}$

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho a, b là hai đường thẳng song song và cách nhau một khoảng 2,5cm. Lấy điểm I trên a và vẽ đường tròn (I; 2,5cm). Khi đó đường tròn với đường thẳng b

Câu 2: Cho a, b là hai đường thẳng song song và cách nhau một khoảng 3cm. Lấy điểm I trên a và vẽ đường tròn (I; 3,5cm). Khi đó đường tròn với đường thẳng b

Câu 3: Cho  Đường tròn (I) là đường tròn tiếp xúc với cả hai cạnh Ox; Oy. Khi đó điểm I chạy trên đường nào?

Câu 4: Cho đường tròn tâm O bán kính 3cm và một điểm A cách O là 5cm. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Tính độ dài AB.

Câu 5: Cho đường tròn tâm O bán kính 6cm và một điểm A cách O là 10cm. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Tính độ dài AB.

Câu 6: Cho hình vuông ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm H sao cho BH = BA , qua H vẽ đường thẳng vuông góc với BD cắt AD tại O

a) So sánh OA, OH và HD

b) Xác định vị trí tương đối của BD với (O; OA)

Câu 7: Cho đường tròn (O; 5) . Từ M ngoài O vẽ hai tiếp tuyến MA, MB sao cho MA ⊥ MB tại M.

a) Tính MA, MB

b) Gọi I là giao điểm của OM với (O) . Kẻ tiếp tuyến với (O) tại I cắt OA, OB lần lượt ở C và D. Tính CD

Câu 8: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Vẽ các tia tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Lấy điểm M di động trên tía Ax, điểm N di động trên tia Oy sao cho AM.BN = R². Chứng minh rằng

    a) MN là tiếp tuyến của đường tròn (O)

    b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.

Câu 9: Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Trên AO lấy điểm M sao cho AM = AB. Các tia BM và CM lần lượt cắt đường tròn tại một điểm thứ hai là D và E. Chứng minh rằng:

    a) M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OBC

    b) DE là đường kính của đường tròn (O)

Câu 10: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R; bán kính OC vuông góc với AB. Lấy điểm F thuộc đoạn OB. Kẻ CF cắt đường tròn (O) tại D. Vẽ tiếp tuyến tại D của (O) cắt AB tại E. Chứng minh rằng EF = ED

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Chuyên đề Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Chuyên đề Vị trí tương đối của hai đường tròn

Chuyên đề Ôn tập chương 2

Chuyên đề Phương trình bậc nhất hai ẩn