Chuyên đề Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn (2022) - Toán 9

Với Chuyên đề Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn (2022) - Toán 9 mới nhất được biên soạn bám sát chương trình Toán 9 giúp các bạn học tốt môn Toán hơn.

1 1239 lượt xem
Tải về


Chuyên đề Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn - Toán 9

A. Lý thuyết

1. Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

a) Đường thẳng và đường tròn cắt nhau

Khi một đường thẳng có hai điểm chung A, B với đường tròn (O) ta nói đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt. Khi đó ta có những kết quả quan trọng sau:

Lý thuyết Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn - Lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ nhất

Lý thuyết Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn - Lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ nhất

Lý thuyết Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn - Lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ nhất

Theo định lý Pitago ta có: OH2 = MO2 - MH2

Mặt khác ta cũng có: OH2 = R2 - AH2 nên suy ra

MO2 - MH2 = R2 - AH2 ⇔ MH2 - AH2 = MO2 - R2

⇔ (MH - AH)(MH + AH) = MO2 - R2

    + Nếu M nằm ngoài đoạn AB thì MA.MB = MO2 - R2

    + Nếu M nằm trong đoạn AB thì MA.MB = R2 - MO2

Mối liên hệ khoảng cách và dây cung: R2 = OH2 + AB2/4

b) Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau.

Khi một đường thẳng Δ chỉ có một điểm chung H với đường tròn (O), ta nói đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, hay Δ là tiếp tuyến của đường tròn (O). Điểm H gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến với đường tròn (O)

Như vậy nếu Δ là tiếp tuyến của (O) thì Δ vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm

Ta có OH = R

Lý thuyết Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn - Lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ nhất

Lý thuyết Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn - Lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ nhất

c) Đường thẳng và đường tròn không giao nhau

Khi một đường thẳng Δ và đường tròn (O) không có điểm chung ta nói đường thẳng Δ và đường tròn (O) không giao nhau. Khi đó OH > R

Lý thuyết Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn - Lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ nhất

2. Hệ thức giữa khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng và bán kính của đường tròn

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Số điểm chung Hệ thức giữa d và R
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau 2 d < R
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau 1 d = R
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau 0 d > R

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Đường thẳng và đường tròn có nhiều nhất bao nhiêu điểm chung

A. 1

B. 2

C.3

D. 4

Đường thẳng và đường tròn có nhiều nhất hai điểm chung

Chọn đáp án B

Câu 2: Nếu đường thẳng và đường tròn có duy nhất một điểm chung thì

A. đường thẳng tiếp xúc với đường tròn

B. đường thẳng cắt đường tròn

C. đường thẳng không cắt đường tròn

D. đáp án khác

Đường thẳng và đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng tiếp xúc với đường tròn

Chọn đáp án A

Câu 3: Nếu đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A thì

A. d // OA

B. d ≡ OA

C. d ⊥ OA tại A

D. d ⊥ OA tại O

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm

Nên d ⊥ OA tại tiếp điểm A

Chọn đáp án C

Câu 4: Cho đường tròn (O) và đường thẳng a. Kẻ OH ⊥ a tại H, biết OH > R khi đó đường thẳng a và đường tròn (O)

A. cắt nhau

B. không cắt nhau

C. tiếp xúc

D. đáp án khác

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Vì OH > R nên α không cắt (O)

Chọn đáp án B

 

Câu 5: Điền vào các vị trí (1); (2) trong bảng sau (R là bán kính của đường tròn, d là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng):

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

A. (1): cắt nhau; (2): 8cm

B. (1): 9cm ; (2): cắt nhau

C. (1): không cắt nhau; (2): 8cm

D. (1): cắt nhau; (2): 6cm

+ Vì d < R (4cm < 5cm) nên đường thẳng cắt đường tròn

+ Vì đường thẳng tiếp xúc với đường tròn nên d = R = 8cm

Chọn đáp án A

Câu 6: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A( 5; 6). Xác định vị trí tương đối của đường tròn (A; 5) với các trục tọa độ?

A. Đường tròn tiếp xúc trục Oy.

B. Đường tròn tiếp xúc với trục Ox.

C. Đường tròn không cắt trục Ox.

D. Đường tròn không cắt trục Oy.

Ta có khoảng cách từ A đến trục Ox bằng 6 > R.

Đường tròn (A; R) cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt .

Khoảng cách từ A đến trục Oy bằng 5 = R..

Do đó, đường tròn (A; R) tiếp xúc với trục Oy.

Chọn đáp án A

Câu 7: Cho đường tròn tâm (O; 3) và điểm A cách O một khoảng 5 cm. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Tính AB

A. AB = 3cm

B. AB = 5cm

C. AB = 4cm

D. Đáp án khác

Do AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) với B là tiếp điểm nên ta có:

OA2 = OB2 + AB2

⇒ AB2 = OA2 - OB2 = 52 - 32 = 16

⇒ AB = 4cm

Chọn đáp án C.

Câu 8: Cho đường tròn (O; 6cm). Điểm M cách điểm O một khoảng 4cm. Hỏi qua M kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đường tròn?

A. 1

B.2

C. Vô số

D. 0

Ta có: OM = 4 cm và R = 6 cm nên OM < R

Do đó, điểm M nằm trong đường tròn (O).

Suy ra, qua điểm M không kẻ được tiếp tuyến nào đến đường tròn

Chọn đáp án D.

Câu 9: Cho đường tròn Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án, cho điểm A thỏa mãn: IA = 2√2. Hỏi qua điểm A kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đường tròn?

A. 1

B. 0

C. 2

D. Vô số

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Do đó, điểm A nằm trên đường tròn đã cho. Khi đó, qua điểm A ta vẽ được đúng 1 tiếp tuyến đến đường tròn (I).

Chọn đáp án A.

Câu 10: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm và BC = 10 cm . Vẽ đường tròn ( A; 6). Hỏi qua C dựng được bao nhiêu tiếp tuyến đến đường tròn?

A. 0

B. 1

C.2

D. Vô số

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC ta có:

BC2 = AB2 + AC2

⇒ AC2= BC2 - AB2 = 102 - 62 = 64

⇒ AC = 8cm

Ta có: AC > R (8 > 6) nên điểm C nằm ngoài đường tròn (A ; 6).

Do đó, qua điểm C ta vẽ được hai tiếp tuyến đến đường tròn.

Chọn đáp án C.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Cho đường tròn tâm O bán kính bằng 6cm và một điểm A cách O 10cm. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Tính độ dài đoạn AB.

Lời giải:

Lý thuyết Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn - Lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ nhất

OA = 10cm ⇒ A nằm ngoài đường tròn

Ta có: AB là tiếp tuyến, B là tiếp điểm, khi đó OB = R = 6cm.

AB ⊥ OB áp dụng định lý Py – ta – go ta có:

AB2 + OB2 = OA2

Lý thuyết Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn - Lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ nhất

Vậy AB = 8cm

Câu 2: Cho hình vuông ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm H sao cho BH = BA , qua H vẽ đường thẳng vuông góc với BD cắt AD tại O

a) So sánh OA, OH và HD

b) Xác định vị trí tương đối của BD với (O; OA)

Lời giải:

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Câu 3: Cho đường tròn (O; 5) . Từ M ngoài O vẽ hai tiếp tuyến MA, MB sao cho MA ⊥ MB tại M.

a) Tính MA, MB

b) Gọi I là giao điểm của OM với (O) . Kẻ tiếp tuyến với (O) tại I cắt OA, OB lần lượt ở C và D. Tính CD

Lời giải:

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

a) Ta có: MA, MB là hai tiếp tuyến nên khoảng cách từ O đến MA và MB lần lượt là OA và OB (do A, B là các tiếp điểm duy nhất với (O))

Từ đó ta có: OA ⊥ MA, OB ⊥ MB

Tứ giác OAMB có 3 góc vuông và OA = OB = R nên OAMB là hình vuông

⇒ MA = MB = R = 5

b) Dễ dàng chứng minh

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Câu 4: Cho đường tròn tâm O bán kính bằng 6cm và một điểm A cách O 10cm. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Tính độ dài đoạn AB.

Lời giải:

Lý thuyết Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn - Lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ nhất

OA = 10cm ⇒ A nằm ngoài đường tròn

Ta có: AB là tiếp tuyến, B là tiếp điểm, khi đó OB = R = 6cm.

AB ⊥ OB áp dụng định lý Py – ta – go ta có:

AB2 + OB2 = OA2

Lý thuyết Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn - Lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ nhất

Vậy AB = 8cm

Câu 5: Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm I có tọa độ (-3; 2). Nếu vẽ đường tròn tâm I bán kính bằng 2 thì đường tròn đó có vị trí như thế nào đối với các trục tọa độ ?

Lời giải:

Tài liệu VietJack

Kẻ IAOx tại A

Ta có: IA = 2 = R (do điểm I có tọa độ (-3; 2))

Do đó, đường tròn (I) tiếp xúc với trục hoành

Kẻ IBOy tại B

Ta có IB = 3 > R (do điểm I có tọa độ (-3; 2))

Do đó, đường tròn (I) và trục tung không có điểm chung

Câu 6: Cho đường thẳng a. Tâm I của tất cả các đường tròn có bán kính 5cm và tiếp xúc với đường thẳng a nằm trên đường nào ?

Lời giải:

Tài liệu VietJack

Vì đường tròn tâm I bán kính 5cm tiếp xúc với đường thẳng a nên khoảng cách từ I đến a là 5cm.

Vậy I nằm trên hai đường thẳng x và y song song với a, cách a một khoảng bằng 5cm.

Câu 7: Cho điểm A cách đường thẳng xy là 12cm. Vẽ đường tròn (A ; 13cm)

a) Chứng minh rằng đường tròn (A) có hai giao điểm với đường thẳng xy

b) Gọi hai giao điểm nói trên là B và C. Tính độ dài BC.

Lời giải:

Cho điểm A cách đường thẳng xy là 12cm (ảnh 1)

a)

Kẻ AHxy tại H

Ta có: AH = 12cm

Bán kính đường tròn (I) là 13cm hay R = 13cm

Mà ta có: AH = d = 12cm < R = 13cm

Do đó, đường tròn (A; 13cm) cắt đường thẳng xy tại hai điểm phân biệt B và C

b)

Xét tam giác AHC vuông tại H

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

AC2=AH2+HC2HC2=AC2AH2=132122=25

HC=25=5 (cm)

Mặt khác, AH là một phần của đường kính, BC là dây cung, AH vuông góc với BC tại H

Do đó, H là trung điểm của BC

BC=2CH=2.5=10 (cm)

Câu 8: Cho đường tròn (O) bán kính bằng 2cm. Một đường thẳng đi qua điểm A nằm bên ngoài đường tròn và cắt đường tròn tại B và C, trong đó AB = BC. Kẻ đường kính COD. Tính độ dài AD.

Lời giải:

Tài liệu VietJack

Xét tam giác ACD, ta có :

B là trung điểm của AC (gt)

O là trung điểm của CD (tâm – đường kính)

Do đó, OB là đường trung bình của tam giác ACD

OB=12AD

AD=2OB=2.2=4 (cm)

Câu 9: Cho hình thang vuông ABCD A^=D^=90o, AB = 4cm, BC = 13cm, CD = 9cm.

a) Tính độ dài AD

b) Chứng minh rằng đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn có đường kính là BC

Lời giải:

Cho hình thang vuông ABCD, AB = 4cm, BC = 13cm, CD = 9cm (ảnh 1)

a)

Kẻ BE vuông góc với CD tại E

Xét tứ giác ABED có:

BAD^=ADE^=90o (theo đề bài)

BED^=90o (do BE vuông góc với CD tại E)

Do đó, ABED là hình chữ nhật

AD=EB, AB = DE = 4cm

 CE = CD – DE = 9 – 4 = 5 (cm)

Xét tam giác BCE vuông tại E

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

BC2=BE2+CE2BE2=BC2CE2=13252=144

BE=144=12 (cm)

AD=EB=12 cm

b)

Gọi I là trung điểm của BC

IB=IC=BC2=132=6,5 (cm) (1)

Kẻ IH vuông góc với AD tại H

Xét hình thang ABCD có:

I là trung điểm của BC

Mà CD, AB vuông góc với AD A^=D^=90o

 IH // CD // AB

Do đó, H là trung điểm của AD

 Hay IH là đường trung bình của hình thang ABCD

IH=AB+CD2=4+92=6,5 (cm) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra IB = IH = IC = BC2.

Vậy đường tròn (I; BC2) tiếp xúc với đường thẳng AD

Câu 10: Cho đường tròn (O), bán kính OA, dây CD là đường trung trực của OA.

a) Tứ giác OCAD là hình gì? Vì sao?

b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại C, tiếp tuyến này cắt đường thẳng OA tại I. Tính độ dài CI biết OA = R.

Lời giải:

Cho đường tròn (O), bán kính OA, dây CD là đường trung trực của OA (ảnh 1)

a)

Gọi H là giao điểm của OA và CD

Vì CD là đường trung trực của OA nên:

CDOA tại H và HA = HO

Mà OH là một phần của đường kính, CD là dây cung nên H là trung điểm của CD

 HC = HD

Vì tứ giác ACOD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là H và cũng vuông góc với nhau tại H nên ACOD là hình thoi

b)

Vì ACOD là hình thoi nên AC = OC

Mà OC = OA = R nên AC = OC = OA

Do đó, tam giác OAC đều

OAC^=60o hay COI^=60o

Mà CIOC (tính chất của tiếp tuyến)

Xét tam giác OCI vuông tại C

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

CI=OC.tanCOI^=R.tan60o=R3

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho a, b là hai đường thẳng song song và cách nhau một khoảng 2,5cm. Lấy điểm I trên a và vẽ đường tròn (I; 2,5cm). Khi đó đường tròn với đường thẳng b

Câu 2: Cho a, b là hai đường thẳng song song và cách nhau một khoảng 3cm. Lấy điểm I trên a và vẽ đường tròn (I; 3,5cm). Khi đó đường tròn với đường thẳng b

Câu 3: Cho Trắc nghiệm Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn có đáp án Đường tròn (I) là đường tròn tiếp xúc với cả hai cạnh Ox; Oy. Khi đó điểm I chạy trên đường nào?

Câu 4: Cho đường tròn tâm O bán kính 3cm và một điểm A cách O là 5cm. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Tính độ dài AB.

Câu 5: Cho đường tròn tâm O bán kính 6cm và một điểm A cách O là 10cm. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Tính độ dài AB.

Câu 6: Cho hình vuông ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm H sao cho BH = BA , qua H vẽ đường thẳng vuông góc với BD cắt AD tại O

a) So sánh OA, OH và HD

b) Xác định vị trí tương đối của BD với (O; OA)

Câu 7: Cho đường tròn (O; 5) . Từ M ngoài O vẽ hai tiếp tuyến MA, MB sao cho MA ⊥ MB tại M.

a) Tính MA, MB

b) Gọi I là giao điểm của OM với (O) . Kẻ tiếp tuyến với (O) tại I cắt OA, OB lần lượt ở C và D. Tính CD

Câu 8: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Vẽ các tia tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Lấy điểm M di động trên tía Ax, điểm N di động trên tia Oy sao cho AM.BN = R2. Chứng minh rằng

    a) MN là tiếp tuyến của đường tròn (O)

    b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.

Câu 9: Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Trên AO lấy điểm M sao cho AM = AB. Các tia BM và CM lần lượt cắt đường tròn tại một điểm thứ hai là D và E. Chứng minh rằng:

    a) M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OBC

    b) DE là đường kính của đường tròn (O)

Câu 10: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R; bán kính OC vuông góc với AB. Lấy điểm F thuộc đoạn OB. Kẻ CF cắt đường tròn (O) tại D. Vẽ tiếp tuyến tại D của (O) cắt AB tại E. Chứng minh rằng EF = ED

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Chuyên đề Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Chuyên đề Vị trí tương đối của hai đường tròn

Chuyên đề Ôn tập chương 2

Chuyên đề Phương trình bậc nhất hai ẩn

1 1239 lượt xem
Tải về


Xem thêm các chương trình khác: