Chuyên đề Ôn tập chương 2 (2022) - Toán 9

Chuyên đề Ôn tập chương 2 - Toán 9

A. Lý thuyết

1. Khái niệm hàm số

• Nếu đại lượng y phụ thuộc vào một đại lượng x thay đổi sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số

• Hàm số có thể được cho bằng bảng hoặc bằng công thức, ...

• Hàm số thường được ký hiệu bởi những chữ f, g, h, ... chẳng hạn khi y là hàm số của biến số x, ta viết y = f(x) hoặc y = g(x), ….

• f(a) là giá trị của hàm số y = f(x) tại x = a. Khi hàm số y được cho bởi công thức y = f(x), muốn tính giá trị f(a) của hàm số tại x = a, ta thay x = a vào biểu thức f(x) rồi thực hiện các phép tính trong biểu thức.

• Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì y được gọi là một hàm hằng.

2. Đồ thị của hàm số

Tập hợp các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x; f(x)) trên mặt phẳng tọa độ được gọi là đồ thị của hàm số y = f(x).

3. Hàm số đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc .

• Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị của f(x) tương ứng cũng tăng lên thì hàm số y = f(x) được gọi là hàm số đồng biến trên R (gọi tắt là hàm số đồng biến).

• Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị của f(x) tương ứng giảm đi thì hàm số y = f(x) được gọi là hàm số nghịch biến trên R (gọi tắt là hàm số nghịch biến).

Nói cách khác, cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực R. Với $x_1,x_2\in R$ ta có:

+ Nếu x₁ < x₂ mà f(x₁) < f(x₂) thì hàm số đồng biến.

+ Nếu x₁ < x₂ mà f(x₁) > f(x₂) thì hàm số nghịch biến.

4. Định nghĩa hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b trong đó a, b là các số cho trước và a ≠ 0.

Chú ý: Khi b = 0 ta có hàm số y = ax (đã học ở lớp 7).

5. Tính chất hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có các tính chất như sau:

• Đồng biến trên R khi a > 0.

• Nghịch biến trên R khi a < 0.

6. Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0)

Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) là một đường thẳng:

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b.

- Song song với đường thẳng y = ax nếu b ≠ 0; trùng với đường thẳng y = ax nếu b = 0

Chú ý. Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) còn được gọi là đường thẳng y = ax + b và b được gọi là tung độ gốc của đường thẳng.

7. Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0)

• Khi b = 0 thì y = ax. Đồ thị hàm số y = ax là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và điểm A(1; a).

• Xét trường hợp y = ax + b với a ≠ 0 và b ≠ 0.

Bước 1: Cho x = 0 thì y = b, ta được điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.

Cho y = 0 thì $x=\frac{-b}{a}$, ta được điểm $Q\left(-\frac{b}{a};0\right)$ thuộc trục hoành Ox.

Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0).

 Chú ý: Vì đồ thị y = ax + b (a ≠ 0) là một đường thẳng nên muốn vẽ nó chỉ cần xác định hai điểm phân biệt thuộc đồ thị.

8. Đường thẳng song song

Hai đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và y = a'x + b' (a' ≠ 0) song song với nhau khi và chỉ khi a = a', b ≠ b' và trùng nhau khi và chỉ khi a = a', b = b'.

9. Đường thẳng cắt nhau

Hai đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và y = a'x + b' (a' ≠ 0) cắt nhau khi và chỉ khi a ≠ a'.

Chú ý. Khi a ≠ a' và b = b' thì hai đường thẳng có cùng tung độ gốc, do đó chúng cắt nhau tại một điểm trên trục tung có tung độ là b.

10. Khái niệm hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)

a. Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) với trục Ox

Gọi A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox và M là một điểm thuộc đường thẳng và có tung độ dương.

Khi đó, $\widehat{Max}$ là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b với trục Ox.

11. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)

− Các đường thẳng có cùng hệ số a (a là hệ số của x) thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau.

Khi a > 0, góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc nhọn và nếu a càng lớn thì góc đó càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 90°.

Khi a < 0 góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tù và nếu a càng lớn thì góc đó càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 180°.

Như vậy, góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox phụ thuộc vào a.

Người ta gọi a là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b.

Chú ý. Khi b = 0, ta có hàm số y = ax. Trong trường hợp này, ta có thể nói a là hệ số góc của đường thẳng y = ax.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D . Với x1, x2 ∈ D; x1 < x2 khẳng định nào sau đây là đúng?

A. f(x1) < f(x2) thì hàm số đồng biến trên

B. f(x1) < f(x2) thì hàm số nghịch biến trên

C. f(x1) > f(x2) thì hàm số đồng biến trên

D. f(x1) = f(x2) thì hàm số đồng biến trên

Lời giải:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D. Khi đó:

• Hàm số đồng biến trên D ⇔ ∀ x1, x2 ∈ D : x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)

• Hàm số nghịch biến trên D ⇔ ∀ x1, x2 ∈ D : x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)

Chọn đáp án A.

Câu 2: Cho hàm số f(x) = 3 - x 2 . Tính f(-1)

A. -2

B. 2

C. 1

D. 0

Câu 3: Cho hàm số f(x) = x3 - 3x - 2. Tính 2.f(3)A. 16B. 8C. 32D. 64

Lời giải:

Thay y = 3 vào hàm số ta được: f(3) = (3)3 - 3.3 - 2 = 16 ⇒ 2.f(3) = 2.16 = 32.Chọn đáp án C.

Câu 4: Cho hai hàm số f(x) = -2x3 và h(x) = 10 - 3x . So sánh f(-2) và h(-1)A. f(-2) < h(-1)B. f(-2) ≤ h(-1)C. f(-2) = h(-1)D. f(-2) > h(-1)

Lời giải:

Thay x = -2 vào hàm số f(x) = -2x3 ta được f(-2) = -2.(-2) = 16 .Thay x = -1 vào hàm số h(x) = 10 - 3x ta được h(-1) = 10 - 3.(-1) = 13.Nên f(-2) > h(-1) .Chọn đáp án D.

Câu 5: Cho hai hàm số f(x) = x2 và g(x) = 5x - 4 . Có bao nhiêu giá trị của a để f(a) = g(a)A. 0B. 1C. 2D. 3

Lời giải:

Ta có:Vậy có 2 giá trị của thỏa mãn.Chọn đáp án C.

Câu 6: Chọn đáp án đúng nhất. Hàm số y = ax + b là hàm số bậc nhất khi:A. a = 0B. a < 0C. a > 0D. a ≠ 0

Lời giải:

Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng: y = ax + b (a ≠ 0)Chọn đáp án D.

Câu 7: Chọn đáp án đúng nhất. Hàm số y = ax + b là hàm số đồng biến khi:A. a = 0B. a < 0C. a > 0D. a ≠ 0

Lời giải:

Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của thuộc R và có tính chất sau:• Đồng biến trên R nếu a > 0• Nghịch biến trên R nếu a < 0Chọn đáp án C.

Câu 8: Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc nhất:

Lời giải:

Theo định nghĩa thì hàm số y = 2x + 1 là hàm số bậc nhất.Chọn đáp án A.

Câu 9: Hàm số nào dưới đây không là hàm số bậc nhất?

Lời giải:

Theo định nghĩa thì các hàm số  là hàm số bậc nhất.Hàm số  không là hàm số bậc nhất.Chọn đáp án C.

Câu 10: Tìm để hàm số  là hàm số bậc nhất:A. m < 2B. m > 2C. m = 2D. m ≠ 2

Lời giải:

Chọn đáp án A.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = x - 2 và (d2): y = 2 - x

a) Vẽ hai đường thẳng trên cùng trục

b) Tìm tọa độ giao điểm của (d1), (d2)

c) Vẽ đồ thị hàm số y = |x - 2|

d) Biện luận số nghiệm của phương trình m = |x - 2|

Lời giải:

a) Vẽ (d1):

+ Cho x = 0 ⇒ y = -2

+ Cho y = 0 thì x = 2.

Đồ thị hàm số y = x - 2 là đường thẳng đi qua 2 điểm (0; -2) và (2; 0)

*Vẽ (d2): y = 2 - x

Cho x = 0 thì y = 2

Cho y = 0 thì x = 2

Đồ thị hàm số y = 2 – x là đường thẳng đi qua 2 điểm (0; 2) và (2; 0).

b) Hoành độ giao điểm của 2 đường thẳng đã cho là nghiệm phương trình :

x - 2 = 2 - x ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2

Với x = 2 ⇒ y = 2 - 2 = 0

Vậy tọa độ giao điểm là M(2; 0)

c) Ta có:

Nhận xét: y = x - 2 nếu x ≥ 2 là nửa đường thẳng nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng x = 2

Kết luận: Đồ thị y = |x - 2| như hình vẽ

d) Xét hai đồ thị: y = m, y = |x - 2|

Số nghiệm của phương trình m = |x - 2| là số giao điểm của đồ thị y = m và y = |x - 2|

+ Với m < 0 đường thẳng y = m không cắt đồ thị hàm số y = |x - 2| . Như vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

+ Với m = 0 đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = |x - 2| tại một điểm duy nhất. Như vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất.

+ Với m > 0 đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = |x - 2| tại hai điểm phân biệt. Như vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Câu 2: Xác định các hệ số a và b để đường thẳng y = ax + b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2 và song song với đường thẳng OA, trong đó O là gốc tọa độ và điểm A(2; 1)

Lời giải:

Đường thẳng OA đi qua O nên có dạng: y = ax (a ≠ 0) .

Điểm A nằm trên đường thẳng OA nên: 1 = a.2 ⇒ a = 1/2

Vậy phương trình đường thẳng OA là y = 1/2

Vì đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng OA nên a = 1/2

Mặt khác đường thẳng đó đi qua điểm có tọa độ là (0; -2)

Khi đó ta có: -2 = 0.1/2 + b ⇒ b = -2

Vậy giá trị cần tìm là a = 1/2; b = -2

Câu 3: Tìm số a, biết đồ thị hàm số y = 2x² – ax – 1 đi qua điểm M(2; 3).

Lời giải:

Vì đồ thị hàm số y = 2x² – ax – 1 đi qua điểm M(2; 3) nên:

2 . 2² – a . 2 – 1 = 3

$\iff$ 8 – 2a – 1 = 3

$\iff$ 7 – 2a = 3

$\iff$ 2a = 4

$\iff$ a = 2.

Vậy với a = 2 thì đồ thị hàm số đi qua M(2; 3).

Câu 4: Cho hàm số f(x) = x³ – 3x + 5. Hãy tính f(−1); $f\left(\frac{2}{3}\right)$; $f\left(\frac{-1}{2}\right)$

Lời giải:

Ta có: f(−1) = (−1)³ – 3. (−1) + 5 = −1 + 3 + 5 = 7;

$$\begin{gathered} f\left(\frac{2}{3}\right)={\left(\frac{2}{3}\right)}^3-3\cdot \frac{2}{3}+5 \\ =\frac{8}{27}-2+5=\frac{89}{27}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} f\left(-\frac{1}{2}\right)={\left(\frac{-1}{2}\right)}^3-3\cdot \left(\frac{-1}{2}\right)+5 \\ =\frac{-1}{8}+\frac{3}{2}+5 \end{gathered}$$

$=\frac{-1}{8}+\frac{12}{8}+\frac{40}{8}=\frac{51}{8}.$

Vậy f(−1) = 7; $f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{89}{27}$; $f\left(\frac{-1}{2}\right)=\frac{51}{8}$.

Câu 5: Cho hàm số f(x) = 4x² – 5x + 2. Các điểm A(0; 2), B(−l; 4), C(1; 1) có thuộc đồ thị hàm số không? Tại sao?

Lời giải:

Vì f(0) = 4 . 0 – 5 . 0 + 2 = 2 nên điểm A(0 ; 2) thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Vì f(−1) = 4 . 1 + 5 . 1 + 2 = 11 nên điểm B(−1 ; 4) không thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Vì f(1) = 4 . 1 – 5 . 1 + 2 nên điểm C(1; 1) thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Vậy điểm A(0; 2), C(1; 1) thuộc đồ thị hàm số và điểm B(−l; 4) không thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Câu 6: Cho hàm số y = ax + 1. Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 2). Tìm giá trị của a.

Lời giải:

Đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 2) nên ta có:

2 = a . 1 + 1

$\iff$ a + 1 = 2

$\iff$ a = 1.

Vậy với a = 1 thì đồ thị hàm số đi qua A(1; 2).

Câu 7: Cho hai hàm số f(x) = 5x – 3 và g(x) = − 4x +1. Tính:

a) $f(-2)-g\left(\frac{1}{2}\right)$;

b) 2f ²(–3) – 3g³(–2).

Lời giải:

a) Ta có: f(−2) = 5. (−2) – 3 = –10 – 3 = –13;

$$\begin{gathered} g\left(\frac{1}{2}\right)=(-4).\frac{1}{2}+1 \\ =-2+1=-1 \end{gathered}$$

Do đó $f(-2)-g\left(\frac{1}{2}\right)$ = –13 – (–1) = –13 + 1 = –12.

Vậy $f(-2)-g\left(\frac{1}{2}\right)=-12$

b) f(−3) = 5. (−3) – 3 = –15 – 3 = –18;

g(−2) = (−4) . (−2) + 1 =8 + 1 = 9.

2f ²(–3) – 3g³(–2) = 2 . (–18)² – 3 . 9³

= 2 . 324 – 3. 729 = 648 − 2187 = −1539.

Vậy 2f ²(–3) – 3g³(–2) = −1539.

Câu 8: Cho các hàm số y = 2mx + m + 1 (1) và hàm số y = (m − 1)x + 3 (2). Xác định m để hàm số (1) đồng biến, hàm số (2) nghịch biến.

Lời giải:

Để hàm số (1) đồng biến, hàm số (2) nghịch biến thì m thỏa mãn:

− Hàm số (1) đồng biến (tức a > 0) hay 2m > 0 $\iff$ m > 0 (1)

− Hàm số (2) nghịch biến (tức a < 0) hay m − 1 < 0 $\iff$ m < 1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 0 < m < 1.

Vậy để hàm số (1) đồng biến và hàm số (2) nghịch biến thì m thỏa mãn: 0 < m < 1.

Câu 9: Vẽ đồ thị hàm số y = 2x – 3.

Lời giải:

Vẽ đồ thị hàm số y = 2x – 3.

Bước 1: Cho x = 0 thì y = −3, ta được điểm M(0; −3) ∈ Oy.

Cho y = 0 thì x = 2x – 3 = 0 $\iff x=\frac{3}{2}$, ta được điểm $N\left(\frac{3}{2};0\right)$.

Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm M và N, ta được đồ thị hàm số y = 2x – 3.

Ta có đồ thị hàm số:

Câu 10: Cho tọa độ hai điểm $A\left(\frac{-1}{3};5\right);B\left(\frac{5}{2};2\right)$.

Hỏi điểm nào thuộc đồ thị hàm số y = − 3x + 4?

Lời giải:

* Với $A\left(\frac{-1}{3};5\right)$: Thay $x_A=\frac{-1}{3}$ vào hàm số y = − 3x + 4.

Ta được: $y=(-3).\frac{-1}{3}+4=1+4=5$.

Do đó, điểm $A\left(\frac{-1}{3};5\right)$ thuộc đồ thị hàm số y = − 3x + 4.

* Với $B\left(\frac{5}{2};2\right)$: Thay $x_A=\frac{5}{2}$ vào hàm số y = − 3x + 4.

Ta được: $y=(-3).\frac{5}{2}+4=\frac{-15}{2}+4=\frac{-7}{2}$ ≠ 2.

Do đó, điểm $B\left(\frac{5}{2};2\right)$ không thuộc đồ thị hàm số y = − 3x + 4.

Vậy điểm $A\left(\frac{-1}{3};5\right)$ thuộc đồ thị hàm số y = − 3x + 4.

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hai hàm số y = (m + 3)x - 1 (1) và y = (1 - 2m)x + 5 (2)

Với giá trị nào của m thì đồ thị hai hàm số là hai đường thẳng

a) Song song

b) Cắt nhau

c) Trùng nhau

Câu 2: Cho hàm số y = (m - 1)x + m (d)

a) Tìm điểm M cố định mà đồ thị đi qua với mọi m

b) Viết đường thẳng đi qua điểm M và gốc tọa độ

c) Tìm m để khoảng cách từ O đến (d) là lớn nhất.

Câu 3: Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc góc phần tư thứ nhất; góc phần tư thứ hai với mx + 2y = 5 (1) và 2x + y = 1 (2)

Câu 4: Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng (d) : y = x + 1 và đi qua điểm M(2 ; −5).

Câu 5: Viết phương trình đường thẳng

a) Đi qua hai điểm A(−2 ; −5) và B(1 ; 4);

b) Đi qua điểm M(6 ; 2) và vuông góc với đường thẳng y = $\frac{-1}{3}x$ +1

Câu 6: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(1; 2) và có hệ số góc là 3.

Câu 7:

a) Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm A(2; 1).

b) Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm B(1; −2).

Câu 8: Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(4; 0) và B(0; 3). Khi đó, hãy tính:

a) Vẽ đồ thị hàm số (d) vừa tìm được và tính góc α tạo bởi đường thẳng (d) và trục Ox.

b) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d).

c) Tính diện tích tam giác OAB.

Câu 9: Cho 3 đường thẳng (d): y = (m + 2)x – 3m; (d’): y = 2x + 4; (d’’): y = −3x – 1. Tìm m để 3 đường thẳng trên đồng quy

Câu 10: Cho đường thẳng d vuông góc với d’: và d đi qua P (1; −1). Tìm phương trình đường thẳng d

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Chuyên đề Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Chuyên đề Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Chuyên đề Ứng dụng thực tế các tỉ số lượng giác của góc nhọn

Chuyên đề Ôn tập chương 1