Chuyên đề Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau (2022) - Toán 9

Chuyên đề Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau - Toán 9

A. Lý thuyết

1. Định lý về hai tiếp tuyến cắt nhau

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

    + Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

    + Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

    + Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm

Ta có:

2. Đường tròn nội tiếp của tam giác.

Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn, khi đó tam giác đó gọi là tam giác ngoại tiếp đường tròn.

Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác các góc trong của tam giác

3. Đường tròn bàng tiếp tam giác.

Đường tròn bàng tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia.

Tâm của đường tròn bàng tiếp trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C, giao điểm này cùng nằm trên đường phân giác góc A.

Với một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Tâm đường tròn nội tiếp của tam giác là

A. giao của ba đường phân giác góc trong tam giác

B. giao ba đường trung trực của tam giác

C. trọng tâm tam giác

D. trực tâm của tam giác

Lời giải:

Tâm đường tròn nội tiếp của tam giác là giao của ba đường phân giác góc trong tam giác

Chọn đáp án A

Câu 2: Mỗi một tam giác có bao nhiêu đường tròn bàng tiếp

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải:

Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh còn lại gọi là đường tròn bàng tiếp của tam giác

Với một tam giác có ba đường tròn bàng tiếp

Chọn đáp án C

Câu 3: Cho hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm. Chọn khẳng định sai?

A. Khoảng cách từ điểm đó đến hai tiếp điểm là bằng nhau

B. Tia nối từ điểm đó tới tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính

C. Tia nối từ tâm tới điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính

D. Tia nối từ điểm đó tới tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến

Lời giải:

Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

+ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm

+ Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của các góc tạo bởi hai tiếp tuyến

+ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm

Chọn đáp án B

Câu 4: Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại A. Vẽ đường kính CD của (O). Khi đó:

A. BD // OA

B. BD // AC

C. BD ⊥ OA

D. BD cắt OA

Lời giải:

*Xét tam giác BOC có OB = OC = R nên tam giác OBC cân tại O có OH là đường phân giác của góc  ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Do đó, OH đồng thời là đường cao: (1)

Chọn đáp án A

Câu 5: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Dựng các tiếp tuyến Ax và By với đường tròn. Lấy điểm I bất kì trên nửa đường tròn, tiếp tuyến tại I cắt Ax, By lần lượt tại C và D.

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. AC + BD = CD

B. AC . BD = R2

C. OD2 = DB. (AC + DB)

D. Có 2 khẳng định sai

Lời giải:

* Do AC và CI là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại C nên: CA = CI ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

* Do BD và DI là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại D nên: DB = DI ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra: AC + BD = CI + DI = CD.

+) AC.BD = CI.DI (1)

Xét tam giác COD vuông tại O có đường cao OI nên:

CI.ID = IO2 = R2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AC.BD = R2

Và OD2 = DI.DC = DB . (AC + BD)

Chọn đáp án D.

Câu 6: Cho đường tròn (O; 6cm) . Gọi A là điểm nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 10cm.

Qua A dựng hai tiếp tuyến AM và AN đến (O), với M và N là tiếp điểm. Gọi giao điểm của AO và MN là H. Tìm khẳng định đúng?

A. OH = 3,6cm

B. AH = 4,8cm

C. MH = 6,4 cm

D.Tất cả sai

Lời giải:

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OH là đường phân giác của góc MON

Tam giác MON có OM = ON (= R) nên đây là tam giác cân tại O có OH là đường phân giác nên đồng thời là đường cao.

AH = AO – OH = 10 – 3,6 = 6,4 cm

Xét tam giác AMO vuông tại M có MH là đường cao.Áp dụng hệ thức cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

MH2 = OH.AH = 3,6.6,4 = 23,04 ⇒ MH = 4,8cm

Chọn đáp án A.

Câu 7: Cho đường tròn (O), điểm nằm ngoài đường tròn,kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B và C là các tiếp điểm ). Lấy điểm M trên cung nhỏ BC, qua M dựng tiếp tuyến với đường tròn cắt các tiếp tuyến AB và AC theo thứ tự D và E. Khi đó, chu vi tam giác ADE bằng?

A. AB

B. 2AB

C. AC

D. 3AC

Lời giải:

* Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

AB = AC; DB = DM; EM = EC

suy ra: DE = DM + ME = DB + EC.

* Chu vi tam giác ADE là:

AD + AE + DE = AD + AE + DB + EC

= (AD + DB ) + ( AE + EC ) = AB + AC = 2AB ( vì AB = AC )

Chọn đáp án B.

Câu 8: Cho đường tròn (O); điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Từ M dựng hai tiếp tuyến MA và MB. Tia MO cắt đường tròn tại N ( N nằm trên cung lớn AB). Khi đó, tam giác NAB là:

A. Tam giác vuông

B. Tam giác đều

C. Tam giác cân

D. Tam giác tù

Lời giải:

Xét tam giác AOB có AO = OB = R nên tam giác AOB cân tại O (1)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau có OM là đường phân giác của góc AOB (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OM là đường trung trực của AB.

Ta có điểm N thuộc đường trung trực của AB nên NA = NB

Suy ra, tam giác NAB là tam giác cân tại N

Chọn đáp án C.

Câu 9: Cho đường tròn tâm O, điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB đến đường tròn (A; B là 2 tiếp điểm. Đường thẳng OM cắt AB tại H. Biết rằng OA = 10 cm; R = 5 cm . Tìm khẳng định đúng?

Lời giải:

Ta có: OA = OB = R nên tam giác ABO là cân tại O (1)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OH là tia phân giác của góc AOB (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OH là đường cao trong tam giác AOB hay OH ⊥ Ab.

* Xét tam giác vuông AOM có :

Chọn đáp án A.

Câu 10: Cho đường tròn (O; 6cm) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB đến đường tròn (A và B là tiếp điểm), biết MO = 12cm . Tính 

A. 30°

B. 90°

C. 60°

D. 120°

Lời giải:

Chọn đáp án C

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MA và MB sao cho góc AMB bằng 120o. Biết chu vi tam giác MAB là 6 (3 + 2√3)cm, tính độ dài dây AB.

Lời giải:

Xét (O) có  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Câu 2: Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MA và MB sao cho góc AMB bằng 60o. Biết chu vi tam giác MAB là 24cm, tính độ dài bán kính đường tròn.

Lời giải:

Xét (O) có MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Lại có  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Câu 3: Cho tam giác ABC cân tại A, I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A. Gọi O là trung điểm của IK. Tâm của đường tròn đi qua bốn điểm B, I, C, K là:

Lời giải:

Vì tam giác ABC cân tại A nên I; K ∈ đường thẳng AH với {H} = BC ∩ AI

Nên bốn điểm B; I; C; K nằm trên đường tròn 

Câu 4: Cho đường tròn (O), bán kính OA. Dây CD là đường trung trực của OA. Tứ giác OCAD là hình gì?

Lời giải:

Gọi H là giao của OA và CD

Xét (O) có OA ⊥ CD tại H nên H là trung điểm của CD

Xét tam giác OCAD có hai đường chéo OA và CD vuông góc với nhau và giao nhau tại trung điểm H mỗi đường nên OCAD là hình thoi

Câu 5: Cho tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn bán kính bằng 1cm. Tính diện tích của tam giác ABC ?

Lời giải:

Ta có: ΔABC đều nên đường cao đồng thời là đường trung trực, trung tuyến của tam giác

    + AH, CE, BF là ba đường trung trực giao nhau tại O.

⇒ O là tâm đường trong ngoại tiếp ΔABC.

Khi đó ta có: OH = OF = OE = R = 1cm

⇒ AH = BF = CE = 3R = 3cm

Câu 6: Cho đường tròn (O), bán kính OA. Dây CD là đường trung trực của OA. Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại C, tiếp tuyến này cắt đường thẳng OA tại I. Biết OA = R. Tính CI theo R.

Lời giải:

Gọi H là giao của OA và CD

Xét (O) có OA ⊥ CD tại H nên H là trung điểm của CD

Xét tam giác OCAD có hai đường chéo OA và CD vuông góc với nhau và giao nhau tại trung điểm H mỗi đường nên OCAD là hình thoi

Xét tam giác COA có OC = OA = R và OC = AC (do OCAD là hình thoi theo chứng minh trên) nên ΔCOA là tam giác đều.

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tia Ax vuông góc với AB, By vuông góc với AB ở cùng phía với nửa đường tròn. I là một điểm thuộc trên nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại I cắt Ax, By tại C và D.

a) CMR: Tam giác COD là tam giác vuông

b) Tìm vị trí điểm I để chu vi tứ giác ACDB là nhỏ nhất. Tính chu vi theo R.

Câu 2: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) . Các tiếp tuyến của (O) vẽ từ A và C cắt nhau tại M. Trên tia AM lấy điểm D sao cho AD = BC . Chứng minh: AC, BD, OM đồng quy

Câu 3: Cho đường tròn  và điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Qua M kẻ hai tiếp tuyến  tới đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Từ điểm C trên cung nhỏ AB kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt  lần lượt ở P và Q. Biết $AM\mathrm{\perp }BM$.

a) Tứ giác MAOB là hình gì ? Vì sao ?

b) Tính chu vi $\mathrm{\Delta }MPQ$;                                                     

c) Tính góc $\widehat{POQ}$.

Câu 4: Cho $\mathrm{\Delta }ABC$ cân ở A. Vẽ đường tròn tâm D đường kính BC cắt AC và AB lần lượt ở E và F. Gọi H là giao điểm của BE và CF. Chứng minh rằng :

a) Bốn điểm A,E,H,F cùng thuộc một đường tròn.

b) DE là tiếp tuyến của đường tròn nói trong câu a).

Câu 5: Cho đường tròn (O; 5cm), đường kính AB, tiếp tuyến Bx. Gọi C là một điểm trên đường tròn sao cho $\widehat{BAC}={30}^o$, tia AC cắt Bx ở E.

a) Chứng minh rằng: $B{C}^2=AC.CE$

b) Tính độ dài đoạn BE.

Câu 6: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến xy của nửa đường tròn. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A và điểm B trên xy. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C xuống AB. Chứng minh :

a) C là trung điểm của MN;                                                          b) $C{H}^2=AM.BN$

Câu 7: Cho đường tròn  và đường thẳng (d) không giao nhau. Dựng tiếp tuyến của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d).

Câu 8: Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Qua M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn; A, B là các tiếp điểm sao cho $\widehat{AMB}={90}^0$. Qua điểm C trên cung nhỏ AB kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt MA và MB lần lượt ở P và Q. Chứng minh rằng: ${\displaystyle \frac{1}{3}}(MA+MB)<PQ<{\displaystyle \frac{1}{2}}(MA+MB)$..

Câu 9: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB, hai tiếp tuyến Ax, By.  Trên Ax, By lấy theo thứ tự hai điểm C và D. Biết AC+BD=CD. Chứng minh rằng :

a) $\widehat{COD}={90}^o$;

b) Đường thẳng AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\mathrm{\Delta }COD$, còn đường thẳng CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Câu 10: Cho  khác góc bẹt. Chứng minh rằng: Có thể tìm được vô số các điểm B và C trên hai cạnh Ax, Ay sao cho chu vi  luôn luôn bằng 2l (với l là một độ dài cho trước).

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Vị trí tương đối của hai đường tròn

Chuyên đề Ôn tập chương 2

Chuyên đề Phương trình bậc nhất hai ẩn

Chuyên đề Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Chuyên đề Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế