Chuyên đề Ứng dụng thực tế các tỉ số lượng giác của góc nhọn (2022) - Toán 9

Chuyên đề Ứng dụng thực tế các tỉ số lượng giác của góc nhọn - Toán 9

A. Lý thuyết

1. Xác định chiều cao

a) Nhiệm vụ

Xác định chiều cao của một tháp mà không cần lên đỉnh của tháp.

b) Chuẩn bị 

Giác kế, thước cuộn, máy tính bỏ túi (hoặc bảng lượng giác).

c) Hướng dẫn thực hiện (h.34)

Đặt kế giác thẳng đứng cách chân tháp một khoảng a (CD=a), giả sử chiều cao của giác kế là b (OC=b).

Quay thanh giác kế sao cho khi ngắm theo thanh ta nhình thấy đỉnh A của tháp. Đọc trên giác kế số đo $\alpha$ của góc AOB.

Dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi để tính $tg\alpha$. Tính tổng $b+a\cdot tg\alpha$ và báo kết quả.

2. Xác định khoảng cách 

a) Nhiệm vụ

Xác định chiều rộng của một khúc sông mà việc đo đạc chỉ tiến hành tại một bờ sông.

b) Chuẩn bị 

Ê-ke đạc, giác kế, thước cuộn, máy tính bỏ túi hoặc bảng lượng giác.

c) Hướng dẫn thực hiện

Ta có hai bờ sông song song với nhau.

Chọn một điểm B phía bên kia sông. Lấy một điểm A bên này sông sao cho vuông góc với các bờ sông.

Dùng ê-ke đạc kẻ đường thẳng Ax phía bên này sông sao cho $Ax\perp AB$.

Lấy điểm C trên Ax, giả sử AC=a. Dùng giác kế đo góc ACB, giả sử

$\widehat{ACB}=\alpha$.

Dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng lượng giác để tính $tg\alpha$ .

Tính tích $a\cdot tg\alpha$ và báo kết quả.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 7,5 m. Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 42°. Tính chiều cao của cột đèn (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba)

A. 6,753 m

B. 6,75 m

C. 6,751 m

D. 6,755 m

Lời giải:

Chọn đáp án A

Câu 2: Một cầu trượt trong công viên có độ dốc là 28° và có độ cao là 2,1 m. Tính độ dài của mặt cầu trượt (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

A. 3,95 m

B. 3,8 m

C. 4,5 m

D. 4,47 m

Lời giải:

Chọn đáp án D

Câu 3: Một cột đèn điện AB cao 6m có bóng in trên mặt đất là AC dài 3,5m . Hãy tính góc (làm tròn đến phút) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất

A. 58°45'

B. 59°50'

C. 59°45'

D. 58°4'

Lời giải:

Chọn đáp án C

Câu 4: Một cây tre cao 9m bị gió bão làm gãy ngang thân, ngọn cây chạm đất cách gốc 3m . Hỏi điểm gãy cách gốc bao nhiêu?

A. 6m

B. 5m

C. 4m

D. 3m

Lời giải:

Chọn đáp án C

Câu 5: Nhà bạn Minh có một chiếc thang dài 4m . Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng cách bằng bao nhiêu để nó tạo được với mặt đất một góc “an toàn ” là 65° (tức là đảm bảo thang không bị đổ khi sử dụng). (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

A. 1,76 m

B. 1,71 m

C. 1,68 m

D. 1,69 m

Lời giải:

Chọn đáp án D

Câu 6: Một cột đèn điện AB cao 7m có bóng in trên mặt đất là AC dài 4m. Hãy tính góc  (làm tròn đến phút) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất.

A. 59o45’

B. 62o

C. 61o15’

D. 60o15’   

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 7: Tính chiều cao của cây trong hình vẽ bên (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

A. 14,3m

B. 15,7m

C. 16,8m

D. 17,2m

Lời giải:

Chiều cao của cây là: h = 1,7 + 20. tan35o ≈ 15,7m

Đáp án cần chọn là: B

Câu 8: Một cây tre cao 9m bị gió bão làm gãy ngang thân cây, ngọn cây chạm đất cách gốc 3m. Hỏi điểm gãy cách gốc bao nhiêu? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

A. 6m

B. 5m

C. 4m

D. 3m

Lời giải:

Giả sử AB là độ cao của cây tre, C là điểm gãy.

Đặt AC = x (0 < x < 9) ⇔ CB = CD = 9 – x. Vì ∆ACD vuông tại A

Suy ra AC2 + AD2 = CD2

⇔ x2 + 32 = (9 – x)2 ⇔ x = 4 (TM)

Vậy điểm gãy cách gốc cây 4m

Đáp án cần chọn là: C

Câu 9: Một cây tre cao 8m bị gió bão làm gãy ngang thân cây, ngọn cây chạm đất cách gốc 3,5m. Hỏi điểm gãy cách gốc bao nhiêu? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

A. 3,32m

B. 3,23m

C. 4m

D. 3m

Lời giải:

Giả sử AB là độ cao của cây tre, C là điểm gãy.

Đặt AC = x ⇔ CB = CD = 8 – x.

Vậy điểm gãy cách gốc cây 3,23m

Đáp án cần chọn là: B

Câu 10: Nhà bạn Minh có một chiếc thang dài 4m. Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng cách bằng bao nhiêu để nó tạo được với mặt đất một góc “an toàn” là 65o (tức là đảm bảo thang không bị đổ khi sử dụng). (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

A. 1,76m

B. 1,71m

C. 1,68m

D. 1,69m

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: D

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Tính chiều cao của một cây xanh biết rằng một người là 1,7m đứng nhìn lên đỉnh cây thì hướng nhìn tạo với mặt đất một góc 35° và khoảng cách từ người đó đến cây là 20m.

Lời giải:

Ta xem đề bài được biểu diễn như hình vẽ trên với  = 90°

Khi đó chiều cao của cây xanh cần tính là:

CF = BF + BC = AE + AB.tan35° = 1,7 + 20.tan35° ≈ 15,7 (m)

Vậy chiều cao của cây xanh cần tính là ≃ 15,7 (m)

Câu 2: Một chiếc thang gấp đôi dài 6m được người ta sử dụng để leo lên một mái nhà. Biết rằng lúc leo lên mỗi chân thanh tạo với mặt đất một góc 60° . Tính chiều cao của căn nhà đó.

Lời giải:

Xem đề bài như hình vẽ trên

Khi đó tam giác ABC đều và 

Vậy chiều cao của căn nhà đó là 3√3 (m)

Câu 3: Tính chiều cao của một cây xanh biết rằng một người cao $1,7m$ đứng nhìn lên đỉnh cây thì hướng nhìn tạo với mặt đất góc $35$ độ và khoảng cách từ người đó đến cây là $20m$.

Lời giải:

Ta xem đề bài giống như hình vẽ trên $\widehat{ABC}={90}^{\circ }$

Khi đó chiều cao cây cần tính là đoạn:

$CF=CB+BF=AB.tan{35}^{\circ }+AE$

$=20.tan{35}^{\circ }+1,7\simeq 15,7(m)$

Câu 4:

Một cái cây bị sét đánh trúng giữa thân cây làm thân cây ngã xuống đất tạo với mặt đất một góc là ${40}^{\circ }$. Biết rằng khúc thân cây còn đứng cao $3m$

Tính chiều cao lúc đầu của cây.

Lời giải:

Ta xem đề bài như hình vẽ với $\widehat{ABC}={90}^{\circ }$

Khi đó chiều dài cây lúc đầu chính là:

$BC+AC=BC+\frac{BC}{sinA}$

$=3.(1+\frac{1}{sin{40}^{\circ }})\simeq 7,67(m)$

Câu 5:

Một chiếc thang gấp đôi dài $6m$ được người ta sử dụng để leo lên một mái nhà. Biết rằng lúc leo lên mỗi chân thang tạo với mặt đất góc ${60}^0$ độ.

Tính chiều cao của căn nhà đó.

Lời giải:

Ta xem đề bài như hình vẽ trên:

Khi đó ta có $\mathrm{\Delta }ABC$ đều và $CD=AC.sin{60}^{\circ }=6.\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$

Câu 6:

Ở một cái thang đơn dài $3m$ có ghi “để đảm bảo an toàn cần đặt thang sao cho góc tạo thành so với mặt đất là $\alpha$ thì phải thỏa mãn ${60}^{\circ }<\alpha <{75}^{\circ }$. Vậy phải đặt thang cách vật thang dựa khoảng bao nhiêu để đảm bảo an toàn.

Lời giải:

Ta xem đề bài như hình vẽ trên:

Khi đó: Khoảng an toàn là nằm trong khoảng từ $C$ đến $D$.

Ta có:

$BC=AC.cos{75}^{\circ }=3.cos{75}^{\circ }\simeq 0,776(m)$;

$BD=ED.cos{60}^{\circ }=3.cos{60}^{\circ }=1,5(m)$

Vậy phải đặt thang cách vật dựa một đoạn là $l(m)$ thỏa mãn: $0,776(m)<l<1,5(m)$

Câu 7:

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có $BC=20m,\widehat{BCA}={50}^{\circ }$. Một đường thẳng song song với $BC$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $D,E.$

Biết rằng $BD=5m$. Độ dài $AE$ là:?

Lời giải:

Khi đó:

$AC=\frac{BC}{cos{50}^{\circ }}=\frac{20}{cos{50}^{\circ }}\simeq 31,11(m)$, $BD=EF$

$EC=\frac{EF}{sin{50}^{\circ }}=\frac{5}{sin{50}^{\circ }}\simeq 6,53(m)$

$\Rightarrow AE=AC-EC=24,58(m)$

Câu 8: Bài toán cột cờ.

Làm dây kéo cờ: Tìm chiều dài của dây kéo cờ, biết bóng của cột cờ (chiếu bởi ánh sáng mặt trời) dài 11,6m và góc nhìn mặt trời là ${36}^{o}50\text{'}$ (h.27).

Lời giải:

Kí hiệu hình vẽ như sau:

Xét tam giác ABC vuông tại C

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

$BC=AC.\tan A=11,6.\tan {36}^{o}50\text{'}\approx 8,688$ (m)

Độ dài của dây kéo cờ phải gấp đôi độ dài của cột cờ BC nên:

Chiều dài dây kéo cờ là:

2.8,688 = 17,376 (m)

Câu 9: Bài toán đài quan sát.

Đài quan sát ở Toronto, Ontario, Canada cao 533m. Ở một thời điểm nào đó vào ban ngày, Mặt Trời chiếu tạo thành bóng dài 1100m. Hỏi lúc đó góc tạo bởi tia sáng mặt trời và mặt đất là bao nhiêu ?

Lời giải:

Minh họa như hình vẽ : AC là mặt đất, AB là đài quan sát .Góc cần tìm là góc C

Xét tam giác ABC vuông tại A

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

$\tan C=\frac{533}{1100}\Rightarrow \widehat{C}=\alpha ={25}^{o}51\text{'}$

Câu 10: Bài toán máy bay hạ cánh.

Một máy bay đang bay ở độ cao 10km. Khi bay hạ cánh xuống mặt đất, đường đi của máy bay tạo một góc nghiêng so với mặt đất.

a) Nếu phi công muốn tạo góc nghiêng $3^o$ thì cách sân bay bao nhiêu kilomet phải bắt đầu cho máy bay hạ cánh ?

b) Nếu cách sân bay 300km máy bay bắt đầu hạ cánh thì góc nghiêng là bao nhiêu ?

Lời giải:

a)

Minh họa như hình vẽ : Độ cao của máy bay là AB = 10km, góc nghiêng $\widehat{C}=3^o$. Ta cần tìm BC

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

$\sin C=\frac{AB}{BC}$

$\Rightarrow BC=\frac{AB}{\sin C}=\frac{10}{\sin 3^o}\approx 191,073$ (km)

Vậy nếu phi công muốn tạo góc nghiêng  thì cách sân bay khoảng 191 kilomet phải bắt đầu cho máy bay hạ cánh .

b)

Minh họa như hình vẽ: AB = 10km,

BC = 300km. Góc cần tìm là C

Xét tam giác ABC vuông tại A

Ta có: $\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{10}{300}=\frac{1}{30}$

$\Rightarrow \widehat{C}=1^{o}55\text{'}$

Vậy nếu cách sân bay 300km máy bay bắt đầu hạ cánh thì góc nghiêng là $1^{o}55\text{'}$

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Ở một cái thang đơn dài có ghi “để dảm bảo an toàn cần đặt thang sao cho tạo với mặt đất một góc α thì phải thỏa mãn 60° < α < 75° . Vậy phải đặt thang cách vật thang dựa khoảng bao nhiêu để đảm bảo an toàn?

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại B có BC = 20 m,  = 50° . Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại D, E. Biết BD = 5 m . Tính độ dài AE là?

Câu 3: Ở một cái thang đơn dài có ghi “để dảm bảo an toàn cần đặt thang sao cho tạo với mặt đất một góc α thì phải thỏa mãn 60° < α < 75° . Vậy phải đặt thang cách vật thang dựa khoảng bao nhiêu để đảm bảo an toàn?

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại B có BC = 20 m,  = 50° . Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại D, E. Biết BD = 5 m . Tính độ dài AE là?

Câu 5: Vì sao kết quả trên là chiều rộng AB của khúc sông.

Câu 6: Bài toán hải đăng.

Một người quan sát ở đài hải đăng cao 80 feet (đơn vị đo lường Anh) so với mặt nước biển, nhìn một chiếc tàu ở xa với góc $0^{o}42\text{'}$. Hỏi khoảng cách từ tàu đến chân hải đăng tính theo đơn vị hải lí là bao nhiêu ? (1 hải lí = 5280 feet) (h.28).

Câu 7: Bài toán con mèo.

Một con mèo ở trên cành cây cao 6,5m. Để bắt mèo xuống cần phải đặt thang sao cho đầu thang đạt độ cao đó, khi đó góc của thang với mặt đất là bao nhiêu, biết chiếc thang dài 6,7m ?

Câu 8: Bài toán tàu ngầm.

Tàu ngầm đang ở trên mặt biển bỗng đột ngột lặn xuống theo phương tạo với mặt nước biển một góc ${21}^o$ (h.30).

a) Nếu tàu chuyển động theo phương lặn xuống được 300m thì nó ở độ sâu bao nhiêu ? Khi đó khoảng cách theo phương nằm ngang so với nơi xuất phát là bao nhiêu ?

b) Tàu phải chạy bao nhiêu mét để đạt đến độ sâu 1000m ?

Câu 9: Tính chiều cao của một cây xanh biết rằng một người là 1,7m đứng nhìn lên đỉnh cây thì hướng nhìn tạo với mặt đất một góc 35° và khoảng cách từ người đó đến cây là 20m.

Câu 10: Một chiếc thang gấp đôi dài 6m được người ta sử dụng để leo lên một mái nhà. Biết rằng lúc leo lên mỗi chân thanh tạo với mặt đất một góc 60° . Tính chiều cao của căn nhà đó.

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Ôn tập chương 1

Chuyên đề Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn

Chuyên đề Đường kính và dây của đường tròn

Chuyên đề Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Chuyên đề Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn