Chuyên đề Ôn tập chương 4 (2022) - Toán 9

Chuyên đề Ôn tập chương 4 - Toán 9

A. Lý thuyết

1. Hình trụ

a) Định nghĩa

Khi quay hình chữ nhật ABCD một vòng quanh cạnh AB cố định, ta được một hình trụ.

- Hai hình tròn (A) và (B) bằng nhau và nằm trong hai mặt phẳng song song được gọi là hai đáy của hình trụ.

- Đường thẳng AB được gọi là trục của hình trụ.

- Mỗi vị trí của CD được gọi là một đường sinh. Các đường sinh vuông góc với hai mặt phẳng đáy. Độ dài của đường sinh là chiều cao của hình trụ.

b) Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng

- Khi cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với đáy, thì phần mặt phẳng nằm trong hình trụ (mặt cắt – thiết diện) là một hình tròn bằng hình tròn đáy.

c) Công thức diện tích và thể tích hình trụ

Cho hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao h.

- Diện tích xung quanh: S_xq = 2πRh.

- Diện tích toàn phần: S_tp = 2πRh + 2πR².

- Thể tích: V = πR²h.

2. Hình nón

a) Định nghĩa

Khi quay tam giác vuông AOC một vòng quanh cạnh OA cố định thì được một hình nón.

- Điểm A được gọi đỉnh của hình nón.

- Hình tròn (O) được gọi là đáy của hình nón.

- Mỗi vị trí của AC được gọi là một đường sinh của hình nón.

- Đoạn AO được gọi là đường cao của hình nón.

b) Công thức tính diện tích và thể tích của hình nón

Đặt AC = l; l là đường sinh.

Cho hình nón có bán kính đáy R và đường sinh l, chiều cao h.

- Diện tích xung quanh: S_xq = πRl.

- Diện tích toàn phần: S_tp = πRl + πR².

- Thể tích: $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h$.

3. Hình nón cụt

a) Định nghĩa

Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần hình nón nằm giữa mặt phẳng nói trên và mặt phẳng đáy được gọi là một hình nón cụt.

- Hai hình tròn (O) và (O') được gọi là hai đáy.

- Đoạn OO' được gọi là trục. Độ dài OO' là chiều cao.

- Đoạn AC được gọi là đường sinh.

b) Công thức tính diện tích và thể tích hình nón cụt

Cho hình nón cụt có các bán kính đáy R và r, chiều cao h, đường sinh l.

- Diện tích xung quanh: S_xq = π (R + r) l.

- Thể tích: $V=\frac{1}{3}\pi h(R^2+Rr+r^2)$.

4. Hình cầu

a) Định nghĩa

Khi quay nửa hình tròn tâm O, bán kính R một vòng quanh đường kính AB cố định thì được một hình cầu.

- Nửa đường tròn trong phép quay nói trên tạo thành một mặt cầu.

- Điểm O được gọi tâm, R là bán kính của hình cầu hay mặt cầu đó.

b) Cắt hình cầu bởi một mặt phẳng

Khi cắt hình cầu bởi một mặt phẳng ta được một hình tròn.

Khi cắt mặt cầu bán kính R bởi một mặt phẳng ta được một đường tròn:

- Đường tròn đó có bán kính R nếu mặt phẳng đi qua tâm (gọi là đường tròn lớn).

- Đường tròn đó có bán kính bé hơn R nếu mặt phẳng không đi qua tâm.

c) Công thức tính diện tích và thể tích hình cầu

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho hình trụ có chu vi đáy là 8π và chiều cao h = 10. Tính thể tích hình trụ:

A. 80π

B. 40π

C. 160π

D. 150π

Lời giải:

Chọn đáp án C.

Câu 2: Cho hình trụ có bán kính đáy R = 4 (cm) và chiều cao h = 5 (cm). Diện tích xung quanh của hình trụ là:

A. 40π

B. 30π

C. 20π

D. 50π

Lời giải:

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

S_xq = 2πRh = 2π.4.5 = 40π (cm²)

Chọn đáp án A.

Câu 3: Cho hình trụ có bán kính đáy R = 8cm và diện tích toàn phần 564π cm². Tính chiều cao của hình trụ:

A. 27cm

B. 27,25cm

C. 25cm

D. 25,27cm

Lời giải:

Ta có diện tích toàn phần của hình trụ:

Chọn đáp án B.

Câu 4: Cho hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao h. Nếu ta tăng chiều cao lên hai lần và giảm bán kính đáy đi hai lần thì:

A. Thể tích hình trụ không đổi

B. Diện tích toàn phần không đổi

C. Diện tích xung quanh không đổi

D. Chu vi đáy không đổi

Lời giải:

Chọn đáp án C.

Câu 5: Hộp sữa Ông Thọ có dạng hình trụ (đã bỏ nắp) có chiều cao h = 12cm và đường kính đáy h = 8cm. Tính diện tích toàn phần của hộp sữa. Lấy π ≃ 3,14

A. 110π (cm²)

B. 128π (cm²)

C. 96π (cm²)

D. 112π (cm²)

Lời giải:

Diện tích toàn phần của hộp sữa:

Chọn đáp án D.

Câu 6: Cho hình nón có bán kính đáy R = 3(cm) và chiều cao h = 4(cm). Diện tích xung quanh của hình nón là:

A. 25π (cm²)

B. 12π (cm²)

C. 20π (cm²)

D. 15π (cm²)

Lời giải:

Chọn đáp án D.

Câu 7: Cho hình nón có đường kính đáy d = 10 cm và diện tích xung quanh 65π (cm²) . Tính thể tích khối nón:

A. 100π (cm³)

B. 120π (cm³)

C. 300π (cm³)

D. 200π (cm³)

Lời giải:

Chọn đáp án A.

Câu 8: Cho hình nón có chiều cao h = 10cm và thể tích V = 1000π (cm³). Tính diện tích toàn phần của hình nón:

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án B.

Câu 9: Một chiếc xô hình nón cụt làm bằng tôn để đựng nước. Các bán kính đáy là 10cm và 5cm, chiều cao là 20cm. Tính dung tích của xô:

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án A.

Câu 10: Cho tam giác ABC vuông tại A có: BC = 20cm; AC = 12cm. Quay tam giác ABC cạnh AB ta được một hình nón có thể tích là:

A. 2304π (cm³)

B. 1024π (cm³)

C. 786π (cm³)

D. 768π (cm³)

Lời giải:

Chọn đáp án D.

Câu 11: Cho hình cầu có đường kính d = 6cm. Diện tích mặt cầu là:

A. 36π (cm²)

B. 9π (cm²)

C. 12π (cm²)

D. 36π (cm²)

Lời giải:

Chọn đáp án A.

Câu 12: Cho mặt cầu có thể tích V = 288π (cm³). Tính đường kính mặt cầu:

A. 6cm

B. 12cm

C. 8cm

D. 16cm

Lời giải:

Chọn đáp án B.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Cho hình trụ có bán kính đáy R =12 cm và diện tích toàn phần 672 cm². Tính chiều cao của hình trụ.

Lời giải:

Diện tích toàn phần của hình trụ là: 24πh + 2π . 12² = 672 π

Vậy chiều cao của hình trụ là 16 cm.

Câu 2: Cho hình trụ bị cắt bỏ một phần OABB’A’O’ như hình vẽ. Tính thể tích phần còn lại.

Lời giải:

Phần hình trụ bị cắt đi chiếm $\frac{{60}^o}{{360}^o}=\frac{1}{6}$ (hình trụ)

Thể tích phần còn lại là: V = $\frac{5}{6}\pi R^{2}h=\frac{5}{6}\pi .5^2.9$ = 187,5π (cm³).

Vậy thể tích phần còn lại là 187,5π cm³.

Câu 3: Một trục lăn có dạng hình trụ nằm ngang (như hình vẽ), hình trụ có diện tích một đáy S = 25π cm² và chiều cao h = 10 cm. Nếu trục lăn đủ 12 vòng thì diện tích tạo trên sân phẳng là bao nhiêu?

Lời giải:

Bán kính R của đường tròn đáy là πR² = 25π$\iff$ R = 5 cm.

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

S_xq = 2πRh = 2π . 5 . 10 = 100 (cm²)

Vì trục lăn 12 vòng nên diện tích tạo trên sân phẳng là:

12 . 100π  = 1200π (cm²)

Vậy nếu trục lăn đủ 12 vòng thì diện tích tạo trên sân phẳng là 1200π cm².

Câu 4: Mặt cắt chứa trục của một hình nón là một tam giác đều có diện tích $9\sqrt{3}$cm². Tính thể tích của hình nón đó.

Lời giải:

Gọi mặt cắt là tam giác đều ABC, đáy của hình nón có tâm là O.

Ta đặt AB = AC = BC = a thì bán kính đáy hình nón là $R=\frac{a}{2}$ và chiều cao của hình nón là $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Vì diện tích của tam giác đều là $9\sqrt{3}$ cm² nên ta có:

Do đó bán kính đáy là R = 3 cm và chiều cao hình nón là:

$h=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$(cm)

Thể tích của hình nón là:

$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h$$=\frac{1}{3}\pi .3^2.3\sqrt{3}=9\sqrt{3}\pi$ (cm³)

Vậy thể tích của hình nón là: $9\sqrt{3}$ cm³.

Câu 5: Một hình nón cụt có các bán kính đáy là 21 cm và 49 cm. Biết diện tích xung quanh của nó là 3710π cm². Tính thể tích của hình nón cụt.

Lời giải:

Gọi mặt cắt chứa trục của hình nón cụt là hình thang cân ABCD.

Trong mặt phẳng này vẽ $BH\perp CD$.

Ta đặt O’B= R₁, OC = R₂, OO’ = h và BC = 1.

Ta có: BH = OO’ = h; HC = R₂ – R₁ = 49 – 21 = 28 (cm).

Vì diện tích xung quanh của hình nón cụt là 3710π cm² nên:

π(R₁  +R₂)l = 3710π

Suy ra: $l=\frac{3710\pi }{\pi (21+49)}=53$  (cm)

Xét ∆BHC vuông tại H, ta có:

$BH=\sqrt{B{C}^2-H{C}^2}$$=\sqrt{{53}^2-{28}^2}=45\left(cm\right)$

Thể tích của hình nón cụt là:

$$\begin{gathered} V=\frac{1}{3}\pi h(R_1^2+R_2^2+R_1{R}_2) \\ =\frac{1}{3}\pi .45({21}^2+{49}^2+21.49) \\ =58065\pi \left(c{m}^3\right) \end{gathered}$$

Vậy thể tích của hình nón cụt là 58 065π cm³.

Câu 6: Một chao đèn có dạng mặt xung quanh của một hình nón cụt. Các bán kính đáy lần lượt là R1 = 5 cm, R2 = 13 cm. Biết diện tích xung quanh của chao đèn là 306π cm². Tính chiều cao của chao đèn.

Lời giải:

Gọi mặt cắt chứa trục của chao đèn là hình thang cân ABCD.

Chiều cao OO’ = h và đường sinh BC = l.

Vì diện tích xung quanh của chao đèn là 306π cm² nên ta có:

π(R₁ + R₂)l = 306 π

$\Rightarrow$ π(5 + 13)l = 306 π

$\Rightarrow$ l = 17 (cm)

Trong mặt phẳng ABCD ta vẽ $BH\perp CD$.

Ta có BH = OO’ = h; OH = O’B = R₁.

Do đó HC = R₂ – R₁ = 8 (cm).

Xét ∆BHC vuông tại H, ta có:

$BH=\sqrt{B{C}^2-H{C}^2}$$=\sqrt{{17}^2-8^2}=15$ (cm)

Vậy chiều cao của chao đèn là 15 cm.

Câu 7: Hai hình cầu có hiệu các bán kính bằng 3 cm và hiệu các thể tích bằng 1332π cm³. Tính hiệu các diện tích của hai mặt cầu.

Lời giải:

Gọi bán kính của hình cầu lớn là R và bán kính của hình cầu nhỏ là r.

Ta có R – r = 3 hay R = r + 3.

Nên:

Do đó (r + 3)³ – r³ = 999$\iff$  r² + 3r – 108 = 0.

Giải ra được r₁ = –12 (loại), r₂ = 9 (chọn).

Do đó bán kính hình cầu nhỏ là 9 cm, bán kính hình cầu lớn là 12 cm.

Diện tích mặt cầu lớn là:

S₁ = 4πR² = 4π . 12² = 576π (cm²).

Diện tích mặt cầu nhỏ là:

S₂ = 4πr² = 4π . 9² = 324π (cm²).

Hiệu diện tích hai mặt cầu là:

S = S₁ – S₂ = 576π – 324π = 252π (cm²)

Vậy hiệu diện tích hai mặt cầu là 252π cm².

Câu 8: Một hình cầu có bán kính bằng bán kính đáy của một hình nón. Biết đường sinh của hình nón bằng 12 cm và diện tích xung quanh của hình nón bằng diện tích mặt cầu. Tính thể tích hình cầu.

Lời giải:

Gọi bán kính hình cầu cũng như bán kính đáy hình nón là R.

Diện tích xung quanh hình nón là: πRl = 12πR.

Diện tích mặt cầu là: 4πR².

Vì diện tích xung quanh hình nón bằng diện tích mặt cầu nên:

12πR = 4πR² $\Rightarrow$ R = 3 (cm).

Thể tích hình cầu là: $V=\frac{4}{3}\pi R^3$$=\frac{4}{3}\pi .3^3=36\pi$ (cm³).

Vậy thể tích hình cầu là 36π cm³.

Câu 9: Cho một hình cầu nội tiếp một hình trụ. Chứng minh rằng:

a) Thể tích hình cầu bằng $\frac{2}{3}$ thể tích hình trụ;

b) Diện tích mặt cầu bằng $\frac{2}{3}$ diện tích toàn phần hình trụ.

Lời giải:

Gọi bán kính hình cầu là R thì bán kính đáy hình trụ là R và chiều cao hình trụ là 2R.

Vậy thể tích hình cầu bằng $\frac{2}{3}$ thể tích hình trụ.

b) Diện tích mặt cầu là: S₁ = 4πR².

Diện tích hình trụ là: S₂ = 2πR(h + R) = 2πR(2R + R) = 6πR².

Ta có: $\frac{S_1}{S_2}=\frac{4\pi R^2}{6\pi R^2}=\frac{2}{3}$.

Vậy diện tích mặt cầu bằng $\frac{2}{3}$ diện tích toàn phần hình trụ.

Câu 10: Thể tích và diện tích của hình cầu thay đổi thế nào nếu bán kính hình cầu:

a) Tăng gấp 2 lần?

b) Tăng gấp 3 lần?

c) Giảm đi 2 lần?

Lời giải:

III. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Hãy tính diện tích toàn phần của các hình tương ứng theo các kích thước đã cho trên hình 115.

Câu 2:

Cho ba điểm A; O; B thẳng hàng theo thứ tự đó, OA = a; OB = b (a; b cùng đơn vị: cm) Qua A và B vẽ theo thứ tự các tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Qua O vẽ hai tia vuông góc với nhau và cắt Ax ở C, By ở D.

a) Chứng minh AOC và BDO là hai tam giác đồng dạng; từ đó suy ra tích AC.BD không đổi?

b) Tính diện tích hình thang ABCD khi ∠COA = 60º ?

c) Với ∠COA = 60 cho hình vẽ quay xung quanh AB. Hãy tính tỉ số thể tích các hình do các tam giác AOC và BOD tạo thành?

Câu 3:

Hãy tính thể tích các hình dưới đây theo kích thước đã cho (h.117)

Câu 4:

Hãy tính thể tích các hình dưới đây theo kích thước đã cho (h.118) (đơn vị: cm).

Câu 5:

Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và GEF là đường tròn nội tiếp đường tròn đó, EF là dây song song với AB. Cho hình đó quay xung quanh trục GO.

Chứng minh rằng:

a. Bình phương thể tích của hình trụ sinh ra bởi hình vuông bằng tích của thể tích hình cầu sinh ra bởi hình tròn và thể tích hình nón do tam giác đều sinh ra.

b. Bình phương diện tích toàn phần của hình trụ bằng tích diện tích hình cầu và diện tích toàn phần của hình nón.

Câu 6:

Hình 120 mô tả một hình cầu được đặt khít vào trong một hình trụ , các kích thước cho trên hình vẽ .

Hãy tính :

a) Thể tích hình cầu ;

b) Thể tích hình trụ;

c) Hiệu giữa thể tích hình trụ và thể tích hình cầu ;

d) Thể tích của một hình nón có bán kính đường tròn đáy là r cm và chiều cao 2r cm ;

e) Từ kết quả a) b) c) d) hãy tìm mối liên hệ giữa chúng.

Câu 7:

Một hình chữ nhật ABCD có AB > AD, diện tích và chu vi của nó theo thứ tự là 2a² và 6a. Cho hình vẽ quay xung quanh cạnh AB, ta được một hình trụ. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ này.

Câu 8:

Hình chữ nhật ABCD có AB = a ; BC = 2a. Quay hình chữ nhật quanh AB ta được hình có thể tích ; quay hình chữ nhật quanh BC ta được hình có thể tích . So sánh   và .

Câu 9:

Cho hình chữ nhật MNPQ có MN = 2NP, MN =  cm. Tính diện tích xung quanh của hình tạo thành khi quay hình chữ nhật một vòng xung quanh PQ

Câu 10: Các quả ten-nít thường được bán theo từng hộp hình trụ (hình dưới đây). Các quả ten-nít chiếm mấy phần của thể tích hình tru ?

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Phương trình bậc nhất hai ẩn

Chuyên đề Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Chuyên đề Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Chuyên đề Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Chuyên đề Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình