Chuyên đề Ôn tập chương 3 (2022) - Toán 9

Chọn đáp án A

Phương trình  là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Chọn đáp án C

Chọn đáp án B

+ Thay x = 0; y = 1 vào phương trình x - 5y + 7 = 0 ta được 0 - 5.1 + 7 = 0 ⇔ 2 = 0 (vô lí) nên loại A

+ Thay x = -1; y = 2 vào phương trình x - 5y + 7 = 0 ta được -1 – 5.2 + 7 = 0 hay – 4 = 0 ⇒ (vô lí) nên loại B

+ Thay x = 2; y = 4 vào phương trình x - 5y + 7 = 0 ta được 2 - 5.4 + 7 = 0 ⇔ -11 = 0 (vô lí) nên loại D

+ Thay x = 3; y = 2 vào phương trình x - 5y + 7 = 0 ta được 3 - 5.2 + 7 = 0 ⇔ 0 = 0 (luôn đúng) nên chọn C

Chọn đáp án C

Chọn đáp án A

Câu 3: Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên 

Lời giải:

Câu 4: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số 

Lời giải:

Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm là (x; y) = (144; 36)

Câu 5: Viết phương trình bậc nhất hai ẩn có hai nghiệm là (2; 0) và (-1; -2).

Lời giải:

Vì nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn nằm trên một đường thẳng nên ta gọi đường thẳng đó là d: y = ax + b.

+ Thay x = 2; y = 0 vào đường thẳng d ta có: 0 = 2.a + b (1)

+ Thay x = -1; y = -2 vào đường thẳng d ta có: -2 = -1.a + b (2)

Từ (2) ta có: b = -2 + a thay vào (1) ta có:

2.a + a – 2 =0

$\iff$3a – 2 = 0

$\iff$3a = 2

$\iff \mathrm{a}=\frac{2}{3}\Rightarrow \mathrm{b}=-2+\frac{2}{3}=\frac{-4}{3}$

Đường thẳng d cần tìm là y = $\frac{2}{3}\mathrm{x}-\frac{4}{3}$

$\Rightarrow$Phương trình bậc nhất hai ẩn là 2x – 3y – 4 = 0.

Câu 6: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\mathrm{y}=3\\ 3\mathrm{x}-4\mathrm{y}=2\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}\frac{4,8}{\mathrm{x}}+\frac{4,8}{\mathrm{y}}=1\\ \frac{4}{\mathrm{x}}+\frac{3}{\mathrm{y}}=\frac{3}{4}\end{array}\right.$

Lời giải:

a) $\left\{\begin{array}{l}x-y=3\\ 3x-4y=2\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=3+\mathrm{y}\\ 3\mathrm{x}-4\mathrm{y}=2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=3+\mathrm{y}\\ 3\left(3+\mathrm{y}\right)-4\mathrm{y}=2\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=3+\mathrm{y}\\ 9+3\mathrm{y}-4\mathrm{y}=2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\mathrm{y}+3\\ 9-\mathrm{y}=2\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\mathrm{y}+3\\ \mathrm{y}=9-2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\mathrm{y}+3\\ \mathrm{y}=7\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=7+3\\ \mathrm{y}=7\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=10\\ \mathrm{y}=7\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (10; 7)

b) $\left\{\begin{array}{l}\frac{4,8}{\mathrm{x}}+\frac{4,8}{\mathrm{y}}=1\\ \frac{4}{\mathrm{x}}+\frac{3}{\mathrm{y}}=\frac{3}{4}\end{array}\right.\left(\mathrm{x}, \mathrm{y}\ne 0\right)$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\mathrm{x}}=\mathrm{a}\\ \frac{1}{\mathrm{y}}=\mathrm{b}\end{array}\right.$khi đó hệ trở thành $\left\{\begin{array}{l}4,8\mathrm{a}+4,8\mathrm{b}=1\\ 4\mathrm{a}+3\mathrm{b}=0,75\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}4,8\mathrm{a}+4,8\mathrm{b}=1\\ 4\mathrm{a}=0,75-3\mathrm{b}\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}4,8\mathrm{a}+4,8\mathrm{b}=1\\ \mathrm{a}=\frac{0,75-3\mathrm{b}}{4}\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=\frac{0,75-3\mathrm{b}}{4}\\ 4,8.\frac{0,75-3\mathrm{b}}{4}+4,8\mathrm{b}=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=\frac{0,75-3\mathrm{b}}{4}\\ 1,2.\left(0,75-3\mathrm{b}\right)+4,8\mathrm{b}=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=\frac{0,75-3\mathrm{b}}{4}\\ 0,9-3,6\mathrm{b}+4,8\mathrm{b}=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=\frac{0,75-3\mathrm{b}}{4}\\ 1,2\mathrm{b}=1-0,9\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=\frac{0,75-3\mathrm{b}}{4}\\ 1,2\mathrm{b}=0,1\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=\frac{0,75-3\mathrm{b}}{4}\\ \mathrm{b}=0,1:1,2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=\frac{0,75-3\mathrm{b}}{4}\\ \mathrm{b}=\frac{1}{12}\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=\frac{0,75-3.{\displaystyle \frac{1}{12}}}{4}\\ \mathrm{b}=\frac{1}{12}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=\frac{1}{8}\\ \mathrm{b}=\frac{1}{12}\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\mathrm{x}}=\frac{1}{8}\\ \frac{1}{\mathrm{y}}=\frac{1}{12}\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=8\\ \mathrm{y}=12\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

Câu 7: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

a) $\left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}+3\mathrm{y}=6\\ 2\mathrm{x}+\mathrm{y}=4\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}\left|\mathrm{x}-2\right|+\left|\mathrm{y}-1\right|=22\\ -3\left|\mathrm{x}-2\right|+4\left|\mathrm{y}-1\right|=18\end{array}\right.$

Lời giải:

a) $\left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}+3\mathrm{y}=6\\ 2\mathrm{x}+\mathrm{y}=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}+3\mathrm{y}=6\\ 4\mathrm{x}+2\mathrm{y}=8\end{array}\right.$ 

(nhân cả hai vế phương trình thứ hai với 2)

$\iff \left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}+3\mathrm{y}=6\\ \left(4\mathrm{x}+3\mathrm{y}\right)-\left(4\mathrm{x}+2\mathrm{y}\right)=6-8\end{array}\right.$

(Trừ vế với vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai)

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}+3\mathrm{y}=6\\ 4\mathrm{x}+3\mathrm{y}-4\mathrm{x}-3\mathrm{y}=-2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}+3\mathrm{y}=6\\ \mathrm{y}=-2\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}+3.\left(-2\right)=6\\ \mathrm{y}=-2\end{array} \iff \left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}=6+6\\ \mathrm{y}=-2\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}=12\\ \mathrm{y}=-2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=3\\ \mathrm{y}=-2\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (3; -2).

b) $\left\{\begin{array}{l}\left|\mathrm{x}-2\right|+\left|\mathrm{y}-1\right|=22\\ -3\left|\mathrm{x}-2\right|+4\left|\mathrm{y}-1\right|=18\end{array}\right.$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}\left|\mathrm{x}-2\right|=\mathrm{a}\left( \mathrm{a}\ge 0\right)\\ \left|\mathrm{y}-1\right|=\mathrm{b}\left(\mathrm{b}\ge 0\right)\end{array}\right.$

Khi đó hệ phương trình trở thành $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}+\mathrm{b}=22 \left(1\right)\\ -3\mathrm{a}+4\mathrm{b}=18 \left(2\right)\end{array}\right.$

Nhân cả hai vế của phương trình (1) với 3 ta được hệ mới:

$\left\{\begin{array}{l}3\mathrm{a}+3\mathrm{b}=66 \left(3\right)\\ -3\mathrm{a}+4\mathrm{b}=18 \left(4\right)\end{array}\right.$

Lấy (3) + (4) ta được:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}3\mathrm{a}+3\mathrm{b}=66\\ 7\mathrm{b}=84\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}3\mathrm{a}+3\mathrm{b}=66\\ \mathrm{b}=84:7\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}3\mathrm{a}+3\mathrm{b}=66\\ \mathrm{b}=12\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}3\mathrm{a}+3.12=66\\ \mathrm{b}=12\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}3\mathrm{a}=66-36\\ \mathrm{b}=12\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}3\mathrm{a}=30\\ \mathrm{b}=12\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=10\\ \mathrm{b}=12\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

+ Với a = 10 $\Rightarrow \left|\mathrm{x}-2\right|=10$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-2=10\\ \mathrm{x}-2=-10\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=10+2\\ \mathrm{x}=-10+2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=12\\ \mathrm{x}=-8\end{array}\right.\right.\right.$

+ Với b = 12 $\Rightarrow \left|\mathrm{y}-1\right|=12$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}-1=12\\ \mathrm{y}-1=-12\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=12+1\\ \mathrm{y}=-12+1\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=13\\ \mathrm{y}=-11\end{array}\right.\right.\right.$

Vậy ta tìm được 4 cặp nghiệm (x; y) là (12; 13); (-8; 13); (12; -11); (-8; -11).

Câu 8: Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ 1 may trong 3 ngày, tổ thứ 2 may trong 5 ngày thì hai tổ may được 1310 chiếc áo. Biết rằng, trong một ngày tổ thứ 1 may được nhiều hơn tổ thứ 2 là 10 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ trong một ngày may được bao nhiêu chiếc áo?

Lời giải:

Gọi lần lượt số áo tổ thứ 1, thứ 2 may trong một ngày là x, y.

Đk: x, y $\in$ N*

Trong 3 ngày tổ thứ 1 may được là 3x (cái áo), trong 5 ngày tổ thứ 2 may được là 5y (cái áo) và cả hai tổ may được 1310 cái áo nên ta có phương trình: 3x + 5y = 1310 (1)

Mặt khác mỗi ngày tổ 1 may được nhều hơn tổ 2 10 chiếc áo nên ta có phương trình: x – y = 10 (2)

Theo bài ra ta có HPT: $\left\{\begin{array}{l}3\mathrm{x}+5\mathrm{y}=1310\\ \mathrm{x}-\mathrm{y}=10\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}3\mathrm{x}+5\mathrm{y}=1310\\ 3\mathrm{x}-3\mathrm{y}=30\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\mathrm{y}=10\\ \left(3\mathrm{x}+5\mathrm{y}\right)-\left(3\mathrm{x}-3\mathrm{y}\right)=1310-30\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\mathrm{y}=10\\ 8\mathrm{y}=1280\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\mathrm{y}=10\\ \mathrm{y}=160\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\mathrm{y}+10\\ \mathrm{y}=160\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=170\\ \mathrm{y}=160\end{array}\left(\mathrm{thỏa} \mathrm{mãn}\right)\right.\right. \end{gathered}$$

Vậy tổ thứ 1 may được 170 chiếc áo trong một ngày, tổ thứ hai may được 160 chiếc áo trong một ngày

Câu 9: Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc trong 4h thì xong. Nếu mỗi đội làm một mình xong công việc thì đội thứ nhất làm ít thời gian hơn so với đội thứ hai là 6h. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình xong công việc ấy thì trong bao lâu?

Lời giải:

Gọi thời gian đội 1 làm một mình xong công việc là x (h)

Gọi thời gian đội 2 làm một mình xong công việc là y (h)

Điều kiện: (x > 0 ; y > 6 ; y > x)

Trong 1h đội 1 làm được $\frac{1}{\mathrm{x}}$(công việc)

Trong 1h đội 2 làm được $\frac{1}{\mathrm{y}}$(công việc)

Vì cả hai đội làm trong 4h thì xong công việc nên 1 h cả hai đội làm được $\frac{1}{4}$ công việc

Ta có phương trình: $\frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{\mathrm{y}}=\frac{1}{4}$ (1)

Vì mỗi đội làm một mình thì đội 1 làm ít hơn đội 2 6h nên ta có phương trình :

x – y = -6 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{\mathrm{y}}=\frac{1}{4}\\ \mathrm{x}-\mathrm{y}=-6\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{\mathrm{y}}=\frac{1}{4}\\ \mathrm{y}=\mathrm{x}+6\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{\mathrm{x}+6}=\frac{1}{4}\\ \mathrm{y}=\mathrm{x}+6 \left(2\right)\end{array}\right. \left(1\right) \end{gathered}$$

Giải (1): $\frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{\mathrm{x}+6}=\frac{1}{4}$

$$\begin{gathered} \iff \frac{\mathrm{x}+6}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+6\right)}+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+6\right)}=\frac{1}{4} \\ \iff \frac{\mathrm{x}+6+\mathrm{x}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+6\right)}=\frac{1}{4} \\ \iff \frac{2\mathrm{x}+6}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+6\right)}=\frac{1}{4} \\ \iff 4\left(2\mathrm{x}+6\right)={\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x} \\ \iff 8\mathrm{x}+24={\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x} \\ \iff {\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}-8\mathrm{x}-24=0 \\ \iff {\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-24=0 \\ \iff \left(\mathrm{x}-6\right)\left(\mathrm{x}+4\right)=0 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-6=0\\ \mathrm{x}+4=0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=6 \left(\mathrm{tm}\right)\\ \mathrm{x}=-4 \left(\mathrm{ktm}\right)\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

Với x = 6 thì y = 6 + 6 = 12

Vậy đội 1 làm một mình thì 6 giờ xong công việc

Đội 2 làm một mình thì 12 giờ xong công việc.

Câu 10: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 60m. Nếu tăng chiều dài lên 4 lần và chiều rộng lên 3 lần thì chu vi khu vườn sẽ tăng 162m. Tìm diện tích khu vườn.

Lời giải:

Gọi chiều dài của khu vườn là x (m); chiều rộng của khu vườn là y (m)

Vì chu vi khu vườn là 60m nên ta có phương trình:

2.(x + y) = 60

$\iff$x + y = 60:2

$\iff$x + y = 30  (1)

Nếu tăng chiều dài lên 4 lần thì chiều dài mới là 4x (m); nếu tăng chiều rộng lên 3 lần thì chiều rộng mới là 3y (m).

Chu vi khu vườn mới là: 2(4x + 3y) = 8x + 6y (m)

Vì chu vi khu vườn mới hơn chu vi khu vườn cũ 162m nên ta có phương trình:

(8x + 6y) – 2(x + y) = 162

$\iff$8x + 6y – 2x – 2y = 162

$\iff$6x + 4y = 162        (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+\mathrm{y}=30\\ 6\mathrm{x}+4\mathrm{y}=162\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=30-\mathrm{y}\\ 6\left(30-\mathrm{y}\right)+4\mathrm{y}=162\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=30-\mathrm{y}\\ 180-6\mathrm{y}+4\mathrm{y}=162\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=30-\mathrm{y}\\ -2\mathrm{y}=162-180\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=30-\mathrm{y}\\ -2\mathrm{y}=-18\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=30-\mathrm{y}\\ \mathrm{y}=9\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=21\\ \mathrm{y}=9\end{array}\left(\mathrm{tm}\right)\right.\right. \end{gathered}$$

Diện tích khu vườn ban đầu là:

S = 21.9 = 189${\mathrm{m}}^2$