Chuyên đề Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (2022) - Toán 9

Chuyên đề Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn - Toán 9

A. Lý thuyết

1. Khái niệm về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn là ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là:

$\left(\mathrm{I}\right)\left\{\begin{array}{l}\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}\\ \mathrm{a}\text{'}\mathrm{x}+\mathrm{b}\text{'}\mathrm{y}=\mathrm{c}\text{'}\end{array}\right.$

Ví dụ 1:

$\left\{\begin{array}{l}3\mathrm{x}+5\mathrm{y}=3\\ 2\mathrm{x}+\mathrm{y}=4\end{array}\right.$; $\left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}-3\mathrm{y}=3\\ 2\mathrm{x}+2\mathrm{y}=1\end{array}\right.$là các hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

+ Nếu hai phương trình có nghiệm chung là (x₀; y₀) thì (x₀; y₀) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (I).

 + Nếu hai phương trình không có nghiệm chung thì hệ phương trình (I) vô nghiệm.

+ Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

2. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn là ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là:

$\left(\mathrm{I}\right)\left\{\begin{array}{l}\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}\\ \mathrm{a}\text{'}\mathrm{x}+\mathrm{b}\text{'}\mathrm{y}=\mathrm{c}\text{'}\end{array}\right.$

Gọi (d) và (d') là đồ thị hàm số của 2 hàm số rút ra từ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn của (I).

Đối với hệ phương trình (I), ta có:

Nếu (d) cắt (d') thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất.

Nếu (d) song song với (d') thì hệ (I) vô nghiệm.

Nếu (d) trùng với (d') thì hệ (I) có vô số nghiệm.

Ví dụ 2: Xét hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+\mathrm{y}=0\\ \mathrm{x}-\mathrm{y}=0\end{array}\right.$

Ta có: x – y = 0 $\Rightarrow \mathrm{y}=\mathrm{x}$(d)

x + y = 0 $\Rightarrow \mathrm{y}=-\mathrm{x}$ (d’)

Vẽ hai đường thẳng (d) và (d’) lên hệ trục tọa độ ta được:

Ta thấy (d) và (d’) cắt nhau tại O(0; 0) nên (0; 0)  là nghiệm của hệ phương trình.

Chú ý: Với trường hợp $\mathrm{a}\text{'}; \mathrm{b}\text{'}; \mathrm{c}\text{'}\ne 0$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\iff \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}\ne \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}$;

Hệ phương trình vô nghiệm $\iff \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}\ne \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}\text{'}}$;

Hệ phương trình vô số nghiệm $\iff \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}\text{'}}$.

3. Hệ phương trình tương đương

Định nghĩa: Hệ hai phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng một tập nghiệm.

Ta cũng dùng kí hiệu “$\iff$” để chỉ sự tương đương của hai phương trình.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Hệ phương trình  có nghiệm duy nhất khi

Câu 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn  (các hệ số khác ) vô nghiệm khi

Câu 3: Hệ hai phương trình  nhận cặp số nào sau đây là nghiệm

A. (-21; 15)

B. (21; -15)

C. (1; 1)

D. (1; -1)

Câu 4: Cặp số (-2; -3) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây ?

Câu 5: Không giải hệ phương trình, dự đoán số nghiệm của hệ 

A. 0

B. Vô số

C. 1

D. 2

Câu 6: Không cần vẽ hình, cho biết mỗi hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm? 

A. 1

B. Vô số

C. 0

D. 2

Câu 7: Không vẽ hình, hãy cho biết hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm?

A. 1

B. Vô số

C. 0

D. 2

Lời giải:

Ta có:

Nên tập nghiệm của phương trình x – 2y + 10 = 0 được biểu diễn bởi đường thẳng (d1):

Nên tập nghiệm của phương trình -3x +6y – 30= 0 được biểu diễn bởi đường thẳng (d2):

Do đó, nên hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Chọn đáp án B.

Câu 8: Không vẽ hình, hỏi hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm: 

A. Vô số nghiệm

B. 0

C.1

D. 2

Câu 9: Cho hệ phương trình  . Tìm m để hệ phương trình đã cho vô nghiệm

A. m = 3

B. m = 1

C. m = -2

D. m = -1

Câu 10: Cho hệ phương trình  . Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất?

A. m = 3

B. m = -3

C. m ≠ -3

D. m ≠ 3

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Không cần vẽ hình hãy cho biết số nghiệm của hệ phương trình sau và giải thích vì sao.

a) $\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=5\\ 4\mathrm{x}+6\mathrm{y}=7\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}-3\mathrm{y}=2\\ \mathrm{x}-2\mathrm{y}=1\end{array}\right.$

c) $\left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}+3\mathrm{y}=8\\ 2\mathrm{x}+1,5\mathrm{y}=4\end{array}\right.$

Lời giải:

a) $\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=5\\ 4\mathrm{x}+6\mathrm{y}=7\end{array}\right.$

Ta có: a = 2; b = 3; c = 5 và a’ = 4; b’ = 6; c’ = 7

Xét $\frac{a}{a\text{'}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2};$ $\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$; $\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}\text{'}}=\frac{5}{7}$

Vì $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}\ne \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}\text{'}}$ nên hệ đã cho vô nghiệm.

b) $\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}-3\mathrm{y}=2\\ \mathrm{x}-2\mathrm{y}=1\end{array}\right.$

Ta có: a = 2; b = -3; c = 2 và a’ = 1; b’ = -2; c’ = 1

Xét $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}=\frac{2}{1}=2; \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}=\frac{-3}{-2}=1,5$

Vì $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}\ne \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}$ nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

c) $\left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}+3\mathrm{y}=8\\ 2\mathrm{x}+1,5\mathrm{y}=4\end{array}\right.$

Ta có: a = 4; b = 3; c = 8 và a’ = 2; b’ = 1,5; c’ = 4

Xét $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}=\frac{4}{2}=2; \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}=\frac{3}{1,5}=2; \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}\text{'}}=\frac{8}{4}=2$

Vì $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}\text{'}}$nên hệ phương trình có vô số nghiệm.

Câu 2: Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình sau bằng hình học:

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\mathrm{y}=4\\ 2\mathrm{x}-\mathrm{y}=9\end{array}\right.$

Lời giải:

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\mathrm{y}=4\\ 2\mathrm{x}-\mathrm{y}=9\end{array}\right.$(I)

Xét hai đường thẳng d và đường thẳng d’ ứng với hai phương trình trong hệ

Ta kí hiệu đường thẳng d: y = x – 4 ứng với phương trình x – y = 4

Ta kí hiệu đường thẳng d’: y = 2x – 9 ứng với phương trình 2x – y = 9

Vẽ hai đường thẳng d và d’ lên hệ trục tọa độ ta được hình vẽ:

Từ đồ thị ta thấy d và d’ cắt nhau tại điểm A(5; 1) nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (5; 1)

Câu 3: Xác định giá trị của tham số m để hệ phương trình  có nghiệm duy nhất

A. m ≠ 2    

B. m ≠ −2  

C. m = 2     

D. m ≠ ± 2 

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm giá trị a để hai hệ phương trình sau tương đương  và  biết hệ (I) có cặp nghiệm là (x;y) = (2; 1)

Câu 2: Hệ phương trình  có nghiệm duy nhất khi nào?

Câu 3: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn  (các hệ số khác ) vô nghiệm khi?

Câu 4: Hệ phương trình (các hệ số a’; b’; c’ khác 0) vô số nghiệm khi?

Câu 5: Xác định giá trị của tham số m để hệ phương trình vô nghiệm

Câu 6: Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}(m+2)x+y=2m-8\\ m^{2}x+2y=-3\end{array}\right.$

Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình nhận cặp số (−1; 3) làm nghiệm

Câu 7: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn  (các hệ số khác 0) vô nghiệm khi?

Câu 8: Giải hệ phương trình, dự đoán số nghiệm của hệ

$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2}x-2y=3\\ 3\sqrt{2}x-6y=5\end{array}\right.$ 

Câu 9: Minh họa hình học tập nghiệm của mỗi hệ phương trình sau:

a) $\left\{\begin{array}{l}2x+3y=7\\ x-y=6\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}3x+2y=13\\ 2x-y=-3\end{array}\right.$

c) $\left\{\begin{array}{l}x+y=1\\ 3x+0y=12\end{array}\right.$

d) $\left\{\begin{array}{l}x+2y=6\\ 0x-5y=10\end{array}\right.$

Câu 10: Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+0y=-2\\ 5x-y=-9\end{array}\right.$

a) Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình đã cho. Từ đó xác định nghiệm của hệ.

b) Nghiệm của hệ phương trình này có phải là nghiệm của phương trình 3x – 7y = 1 hay không?

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Chuyên đề Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Chuyên đề Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Chuyên đề Ôn tập chương 3

Chuyên đề Hàm số y = ax^2 (a khác 0)