Chuyên đề Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (2022) - Toán 9

Chuyên đề Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn - Toán 9

A. Lý thuyết

1. Khái niệm về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn là ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là:

$\left(\mathrm{I}\right)\left\{\begin{array}{l}\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}\\ \mathrm{a}\text{'}\mathrm{x}+\mathrm{b}\text{'}\mathrm{y}=\mathrm{c}\text{'}\end{array}\right.$

Ví dụ 1:

$\left\{\begin{array}{l}3\mathrm{x}+5\mathrm{y}=3\\ 2\mathrm{x}+\mathrm{y}=4\end{array}\right.$; $\left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}-3\mathrm{y}=3\\ 2\mathrm{x}+2\mathrm{y}=1\end{array}\right.$là các hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

+ Nếu hai phương trình có nghiệm chung là (x₀; y₀) thì (x₀; y₀) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (I).

 + Nếu hai phương trình không có nghiệm chung thì hệ phương trình (I) vô nghiệm.

+ Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

2. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn là ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là:

$\left(\mathrm{I}\right)\left\{\begin{array}{l}\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}\\ \mathrm{a}\text{'}\mathrm{x}+\mathrm{b}\text{'}\mathrm{y}=\mathrm{c}\text{'}\end{array}\right.$

Gọi (d) và (d') là đồ thị hàm số của 2 hàm số rút ra từ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn của (I).

Đối với hệ phương trình (I), ta có:

Nếu (d) cắt (d') thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất.

Nếu (d) song song với (d') thì hệ (I) vô nghiệm.

Nếu (d) trùng với (d') thì hệ (I) có vô số nghiệm.

Ví dụ 2: Xét hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+\mathrm{y}=0\\ \mathrm{x}-\mathrm{y}=0\end{array}\right.$

Ta có: x – y = 0 $\Rightarrow \mathrm{y}=\mathrm{x}$(d)

x + y = 0 $\Rightarrow \mathrm{y}=-\mathrm{x}$ (d’)

Vẽ hai đường thẳng (d) và (d’) lên hệ trục tọa độ ta được:

Ta thấy (d) và (d’) cắt nhau tại O(0; 0) nên (0; 0)  là nghiệm của hệ phương trình.

Chú ý: Với trường hợp $\mathrm{a}\text{'}; \mathrm{b}\text{'}; \mathrm{c}\text{'}\ne 0$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\iff \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}\ne \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}$;

Hệ phương trình vô nghiệm $\iff \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}\ne \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}\text{'}}$;

Hệ phương trình vô số nghiệm $\iff \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}\text{'}}$.

3. Hệ phương trình tương đương

Định nghĩa: Hệ hai phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng một tập nghiệm.

Ta cũng dùng kí hiệu “$\iff$” để chỉ sự tương đương của hai phương trình.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Hệ phương trình  có nghiệm duy nhất khi

Lời giải:

Chọn đáp án A

Câu 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn  (các hệ số khác ) vô nghiệm khi

Lời giải:

Chọn đáp án B

Câu 3: Hệ hai phương trình  nhận cặp số nào sau đây là nghiệm

A. (-21; 15)

B. (21; -15)

C. (1; 1)

D. (1; -1)

Lời giải:

Thay lần lượt các cặp số (21; -15); (1; 1); (1; -1); (-21; 15) vào hệ phương trình ta được

Chọn đáp án A

Câu 4: Cặp số (-2; -3) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây ?

Lời giải:

Chọn đáp án C

Câu 5: Không giải hệ phương trình, dự đoán số nghiệm của hệ 

A. 0

B. Vô số

C. 1

D. 2

Lời giải:

Tập nghiệm phương trình -2x + y = -3 được biểu diễn bởi đường thẳng -2x + y = -3

Tập nghiệm phương trình 3x – 2y = 7 được biểu diễn bởi đường thẳng 3x – 2y = 7

Ta có  ⇒ phương trình có một nghiệm duy nhất

Chọn đáp án C

Câu 6: Không cần vẽ hình, cho biết mỗi hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm? 

A. 1

B. Vô số

C. 0

D. 2

Lời giải:

+ Tập nghiệm của phương trình y = 2x + 10 được biểu diễn bởi đường thẳng d1:y = 2x + 10.

+ Tập nghiệm của phương trình y = x + 100 được biểu diễn bởi đường thẳng d2: y = x + 100.

Lại có: hệ số góc của hai đường thẳng d1; d2 khác nhau (2 ≠ 1) nên hai đường thẳng này cắt nhau.

Suy ra, hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Chọn đáp án A.

Câu 7: Không vẽ hình, hãy cho biết hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm?

A. 1

B. Vô số

C. 0

D. 2

Lời giải:

Ta có:

Nên tập nghiệm của phương trình x – 2y + 10 = 0 được biểu diễn bởi đường thẳng (d1):

Nên tập nghiệm của phương trình -3x +6y – 30= 0 được biểu diễn bởi đường thẳng (d2):

Do đó, nên hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Chọn đáp án B.

Câu 8: Không vẽ hình, hỏi hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm: 

A. Vô số nghiệm

B. 0

C.1

D. 2

Lời giải:

Ta có: 

Nên tập nghiệm của phương trình – 2x + 5y = 10 được biểu diễn bởi đường thẳng (d1):

Nên tập nghiệm của phương trình 16x – 40y = 20 được biểu diễn bởi đường thẳng (d2):

Hai đường thẳng d1; d2 có cùng hệ số góc và có tung độ góc khác nhau nên d1// d2.

Suy ra, hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Chọn đáp án B.

Câu 9: Cho hệ phương trình  . Tìm m để hệ phương trình đã cho vô nghiệm

A. m = 3

B. m = 1

C. m = -2

D. m = -1

Lời giải:

Nghiệm phương trình y = 2x + 20 được biểu diễn bởi đường thẳng (d1): y =2x +20.

Nghiệm phương trình y = (2m - 4)x + 10 được biểu diễn bởi đường thẳng (d2): y = (2m – 4)x + 10.

Để hệ phương trình đã cho vô nghiệm khi 2 đường thẳng d1 // d2

Chọn đáp án A.

Câu 10: Cho hệ phương trình  . Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất?

A. m = 3

B. m = -3

C. m ≠ -3

D. m ≠ 3

Lời giải:

Nghiệm phương trình y = (-2 - m)x + 2 được biểu diễn bởi đường thẳng (d1): y =(-2 - m)x + 2

Nghiệm phương trình y = (m + 4)x + 19 được biểu diễn bởi đường thẳng (d2): y = (m +4)x +19

Để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hai đường thẳng cắt nhau nên:

-2 - m ≠ m + 4 ⇔ -2m ≠ 6 ⇔ m ≠ -3

Chọn đáp án D.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Không cần vẽ hình hãy cho biết số nghiệm của hệ phương trình sau và giải thích vì sao.

a) $\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=5\\ 4\mathrm{x}+6\mathrm{y}=7\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}-3\mathrm{y}=2\\ \mathrm{x}-2\mathrm{y}=1\end{array}\right.$

c) $\left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}+3\mathrm{y}=8\\ 2\mathrm{x}+1,5\mathrm{y}=4\end{array}\right.$

Lời giải:

a) $\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=5\\ 4\mathrm{x}+6\mathrm{y}=7\end{array}\right.$

Ta có: a = 2; b = 3; c = 5 và a’ = 4; b’ = 6; c’ = 7

Xét $\frac{a}{a\text{'}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2};$ $\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$; $\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}\text{'}}=\frac{5}{7}$

Vì $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}\ne \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}\text{'}}$ nên hệ đã cho vô nghiệm.

b) $\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}-3\mathrm{y}=2\\ \mathrm{x}-2\mathrm{y}=1\end{array}\right.$

Ta có: a = 2; b = -3; c = 2 và a’ = 1; b’ = -2; c’ = 1

Xét $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}=\frac{2}{1}=2; \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}=\frac{-3}{-2}=1,5$

Vì $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}\ne \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}$ nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

c) $\left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}+3\mathrm{y}=8\\ 2\mathrm{x}+1,5\mathrm{y}=4\end{array}\right.$

Ta có: a = 4; b = 3; c = 8 và a’ = 2; b’ = 1,5; c’ = 4

Xét $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}=\frac{4}{2}=2; \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}=\frac{3}{1,5}=2; \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}\text{'}}=\frac{8}{4}=2$

Vì $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}\text{'}}$nên hệ phương trình có vô số nghiệm.

Câu 2: Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình sau bằng hình học:

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\mathrm{y}=4\\ 2\mathrm{x}-\mathrm{y}=9\end{array}\right.$

Lời giải:

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\mathrm{y}=4\\ 2\mathrm{x}-\mathrm{y}=9\end{array}\right.$(I)

Xét hai đường thẳng d và đường thẳng d’ ứng với hai phương trình trong hệ

Ta kí hiệu đường thẳng d: y = x – 4 ứng với phương trình x – y = 4

Ta kí hiệu đường thẳng d’: y = 2x – 9 ứng với phương trình 2x – y = 9

Vẽ hai đường thẳng d và d’ lên hệ trục tọa độ ta được hình vẽ:

Từ đồ thị ta thấy d và d’ cắt nhau tại điểm A(5; 1) nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (5; 1)

Câu 3: Xác định giá trị của tham số m để hệ phương trình  có nghiệm duy nhất

A. m ≠ 2    

B. m ≠ −2  

C. m = 2     

D. m ≠ ± 2 

Lời giải:

Để hệ phương trình  có nghiệm duy nhất thì  

Câu 4: Xác định giá trị của tham số m để hệ phương trình  có nghiệm duy nhất.

A. m ≠ 0    

B. m ≠ 2    

C. m ≠ {0;3}

D. m = 0; m = 3

Lời giải:

Nhận thấy hệ này có nghiệm duy nhất vì hai đường thẳng  cắt nhau

Để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì hai đường thẳng:

 cắt nhau

Suy ra m ≠ {0; 2; 3}

Kết hợp cả TH1 và TH2 ta có m ≠ {0; 3}

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi m ≠ {0; 3}

Câu 5: Cho hệ phương trình . Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình nhận cặp (1; 2) làm nghiệm

A. m = 0     

B. m = −1   

C. m = −2   

D. m = 3

Lời giải:

Để hệ phương trình  nhận cặp (1; 2) làm nghiệm thì

Vậy m = −2

Câu 7: Cho hai hệ phương trình  (I) và  (II) . Hỏi hai hệ này có tương đương nhau không?

Lời giải:

Xét hệ  (I) có (1; 0) là một cặp nghiệm của hệ (I)

Nhưng với cặp nghiệm (1; 0) lại không phải là nghiệm của hệ  (II)

Khi đó hai hệ này không tương đương với nhau (dù cả hai hệ đều có vô số nghiệm)

Câu 8: Hãy kiểm tra xem mỗi cặp số sau có phải là một nghiệm của hệ phương trình tương ứng hay không?

a) (-4; 5)     $\left\{\begin{array}{l}7x-5y=-53\\ -2x+9y=53\end{array}\right.$

b) (3; -11)     $\left\{\begin{array}{l}0,2x+1,7y=-18,1\\ 3,2x-y=20,6\end{array}\right.$

c) (1,5; 2), (3; 7)   $\left\{\begin{array}{l}10x-3y=9\\ -5x+1,5y=-4,5\end{array}\right.$

d) (1; 8)     $\left\{\begin{array}{l}5x+2y=9\\ x-14y=5\end{array}\right.$

Lời giải:

a) Thay x = -4; y = 5 vào từng phương trình của hệ:

7.(-4) – 5.5 = -28 – 25 = -53

-2.(-4) + 9.5 = 8 + 45 = 53

Vậy (-4; 5) là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}7x-5y=-53\\ -2x+9y=53\end{array}\right.$

b) Thay x = 3; y = -11 vào từng phương trình của hệ:

0,2.3 + 1,7.(-11) = 0,6 – 18,7 = -18,1

3,2.3 – 1.(-11) = 9,6 + 11 = 20,6

Vậy (3; -11) là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}0,2x+1,7y=-18,1\\ 3,2x-y=20,6\end{array}\right.$

c) Thay x = 1,5; y = 2 vào từng phương trình của hệ:

10.1,5 – 3.2 = 15 – 6 = 9

-5.1,5 + 1,5.2 = -7,5 + 3 = -4,5

Vậy (1,5; 2) là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}10x-3y=9\\ -5x+1,5y=-4,5\end{array}\right.$

Thay x = 3, y = 7 vào từng phương trình của hệ:

10.3 – 3.7 = 30 – 21 = 9

-5.3 + 1,5.7 = -15 + 10,5 = -4,5

Vậy (3; 7) là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}10x-3y=9\\ -5x+1,5y=-4,5\end{array}\right.$

d) Thay x = 1, y = 8 vào từng phương trình của hệ:

5.1 + 2.8 = 5 + 16 = 21 ≠ 9

Vậy (1; 8) không là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}5x+2y=9\\ x-14y=5\end{array}\right.$

Câu 9: Hãy biểu diễn y qua x ở mỗi phương trình (nếu có thể) rồi đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao (không vẽ đồ thị).

a) $\left\{\begin{array}{l}4x-9y=3\\ -5x-3y=1\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}2,3x+0,8y=5\\ 2y=6\end{array}\right.$

c) $\left\{\begin{array}{l}3x=-5\\ x+5y=-4\end{array}\right.$

d) $\left\{\begin{array}{l}3x-y=1\\ 6x-2y=5\end{array}\right.$

Lời giải:

a) Ta có:$\left\{\begin{array}{l}4x-9y=3\\ -5x-3y=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}9y=4x-3\\ 3y=-5x-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{4}{9}x-\frac{1}{3}\\ y=\frac{-5}{3}x-\frac{1}{3}\end{array}\right.$

Hai đường thẳng $y=\frac{4}{9}x-\frac{1}{3}$ và $y=\frac{-5}{3}x-\frac{1}{3}$ cắt nhau vì chúng có hệ số góc khác nhau.

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất.

b) Ta có: $\left\{\begin{array}{l}2,3x+0,8y=5\\ 2y=6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}0,8y=-2,3x+5\\ y=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{-23}{8}x+\frac{25}{4}\\ y=3\end{array}\right.$

Vì đường thẳng y = 3 song song với trục hoành còn đường thẳng $y=\frac{-23}{8}x+\frac{25}{4}$ cắt hai trục tọa độ nên chúng cắt nhau.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

c) Ta có: $\left\{\begin{array}{l}3x=-5\\ x+5y=-4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{-5}{3}\\ y=\frac{-1}{5}x-\frac{4}{5}\end{array}\right.$

Vì đường thẳng x = $\frac{-5}{3}$ song song với trục tung còn đường thẳng $y=\frac{-1}{5}x-\frac{4}{5}$ cắt hai trục tọa độ nên chúng cắt nhau. Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất

d) Ta có: $\left\{\begin{array}{l}3x-y=1\\ 6x-2y=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=3x-1\\ 2y=6x-5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=3x-1\\ y=3x-\frac{5}{2}\end{array}\right.$

Vì hai đường thẳng có hệ số góc đều bằng 3 nhưng tung độ gốc khác nhau $\left(1\ne \frac{-5}{2}\right)$ nên chúng song song với nhau.

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

Câu 10: Cho phương trình 3x – 2y = 5.

a) Hãy cho thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn để được một hệ có nghiệm duy nhất.

b) Hãy cho thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn để được một hệ vô nghiệm.

c) Hãy cho thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn để được một hệ có vô số nghiệm.

Lời giải:

Ta có: 3x – 2y = 5 ⇔ $2y=3x-5\iff y=\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}$

a) Để được một hệ có nghiệm duy nhất thì cần thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn mà đường thẳng biểu diễn nghiệm của nó có hệ số góc khác $\frac{3}{2}$.

Ví dụ: y = 3x + 1. Khi đó phương trình cần thêm là 3x – y + 1 = 0.

Hệ chúng ta có được là: $\left\{\begin{array}{l}3x-2y=5\\ 3x-y=-1\end{array}\right.$.

b) Để được một hệ vô nghiệm thì cần thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn mà đường thẳng biểu diễn nghiệm của nó có hệ số góc bằng $\frac{3}{2}$ và tung độ gốc khác $\frac{-5}{2}$.

Ví dụ: $y=\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$, khi đó phương trình cần thêm là 3x – 2y + 1 =0

Hệ phương trình ta có được là:

$\left\{\begin{array}{l}3x-2y=5\\ 3x-2y=-1\end{array}\right.$.

c) Để được một hệ có vô số nghiệm thì cần thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn mà đường thẳng biểu diễn nghiệm của nó có hệ số góc bằng $\frac{3}{2}$và tung độ gốc bằng $\frac{-5}{2}$.

Ví dụ: y = $\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}$, khi đó phương trình cần thêm là $\frac{3}{2}x-y=\frac{5}{2}$

Hệ phương trình ta có được là: $\left\{\begin{array}{l}3x-2y=5\\ \frac{3}{2}x-y=\frac{5}{2}\end{array}\right.$.

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm giá trị a để hai hệ phương trình sau tương đương  và  biết hệ (I) có cặp nghiệm là (x;y) = (2; 1)

Câu 2: Hệ phương trình  có nghiệm duy nhất khi nào?

Câu 3: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn  (các hệ số khác ) vô nghiệm khi?

Câu 4: Hệ phương trình (các hệ số a’; b’; c’ khác 0) vô số nghiệm khi?

Câu 5: Xác định giá trị của tham số m để hệ phương trình vô nghiệm

Câu 6: Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}(m+2)x+y=2m-8\\ m^{2}x+2y=-3\end{array}\right.$

Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình nhận cặp số (−1; 3) làm nghiệm

Câu 7: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn  (các hệ số khác 0) vô nghiệm khi?

Câu 8: Giải hệ phương trình, dự đoán số nghiệm của hệ

$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2}x-2y=3\\ 3\sqrt{2}x-6y=5\end{array}\right.$ 

Câu 9: Minh họa hình học tập nghiệm của mỗi hệ phương trình sau:

a) $\left\{\begin{array}{l}2x+3y=7\\ x-y=6\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}3x+2y=13\\ 2x-y=-3\end{array}\right.$

c) $\left\{\begin{array}{l}x+y=1\\ 3x+0y=12\end{array}\right.$

d) $\left\{\begin{array}{l}x+2y=6\\ 0x-5y=10\end{array}\right.$

Câu 10: Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+0y=-2\\ 5x-y=-9\end{array}\right.$

a) Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình đã cho. Từ đó xác định nghiệm của hệ.

b) Nghiệm của hệ phương trình này có phải là nghiệm của phương trình 3x – 7y = 1 hay không?

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Chuyên đề Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Chuyên đề Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Chuyên đề Ôn tập chương 3

Chuyên đề Hàm số y = ax^2 (a khác 0)