Chuyên đề Căn bậc hai và hằng đẳng thức (2022) - Toán 9

Chuyên đề Căn bậc hai và hằng đẳng thức - Toán 9

A. Lý thuyết

1. Căn thức bậc hai

Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi $\sqrt{A}$ là căn thức bậc hai của A, còn A là biểu thức lấy căn hay còn gọi là biểu thức dưới dấu căn.

$\sqrt{A}$ xác định (có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm.

Ví dụ 1. $\sqrt{5x}$ là căn thức bậc hai của 5x;

$\sqrt{5x}$ xác định khi 5x ≥ 0, tức là khi x ≥ 0.

2. Hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=\left|A\right|$

Định lí. Với mọi số a, ta có $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$.

Ví dụ 2. Tính

a) $\sqrt{{14}^2}$;

b) $\sqrt{{(-20)}^2}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{{14}^2}=\left|14\right|=14$.

b) $\sqrt{{(-20)}^2}=\left|-20\right|=20$.

Chú ý. Một cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có $\sqrt{A^2}=\left|A\right|$, có nghĩa là:

$\sqrt{A^2}=A$ nếu A ≥ 0 (tức là A lấy giá trị không âm);

$\sqrt{A^2}=-A$ nếu A < 0 (tức là A lấy giá trị âm).

Ví dụ 3. Rút gọn

a) $\sqrt{{(x-4)}^2}$ với x < 4;

b) $\sqrt{a^6}$ với a ≥ 0.

Lời giải:

a) $\sqrt{{(x-4)}^2}=\left|x-4\right|=4-x$ (vì x < 4);

b) $\sqrt{a^6}=\sqrt{{\left(a^3\right)}^2}=\left|a^3\right|$.

Vì a ≥ 0 nên a³ ≥ 0, do đó | a³ | = a³.

Vậy $\sqrt{a^6}=a^3$ (với a ≥ 0).

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Tính giá trị biểu thức 

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: A

Câu 2: Tính giá trị biểu thức 

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 3: Tìm điều kiện xác định của 

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: A

Câu 4: Tìm điều kiện xác định của 

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: C

Câu 5: Rút gọn biểu thức   với a > 0

A. −9a            

B. −3a            

C. 3a                           

D. 9a

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 6: Rút ngọn biểu thức:  với a > 0

A. −9a            

B. −3a            

C. 3a                           

D. 9a

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: C

Câu 7: Tìm x để  có nghĩa

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: A

Câu 8: Tìm x để  có nghĩa

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: A

Câu 9: Rút gọn biểu thức  với -4≤a≤4 ta được

A. 2a                          

B. 8                            

C. −8                          

D. −2a

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: B

Câu 10: Rút gọn biểu thức  với  ta được:

A. −4a            

B. 4a                           

C. −6                          

D. 6

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: D

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

a) $\sqrt{\frac{a}{4}}$;

b) $\sqrt{-3a}$;

c) $\sqrt{2a+9}$.

Lời giải:

a) Điều kiện xác định: $\frac{a}{4}\ge 0\iff a\ge 0$.

Vậy với a ≥ 0 thì $\sqrt{\frac{a}{4}}$ có nghĩa.

b) Điều kiện xác định: − 3a ≥ 0 ⇔ a ≤ 0.

Vậy với a ≤ 0 thì $\sqrt{-3a}$ có nghĩa.

c) Điều kiện xác định: 2a + 9 ≥ 0 $\iff a\ge \frac{-9}{2}$.

Vậy với $a\ge \frac{-9}{2}$ thì $\sqrt{2a+9}$ có nghĩa.

Câu 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{{(3-\sqrt{6})}^2}$;

b) $3\sqrt{a^2}$ với a ≥ 0;

c) $5\sqrt{{(a-3)}^2}$ với a < 3.

Lời giải:

a) $\sqrt{{(3-\sqrt{6})}^2}=\left|3-\sqrt{6}\right|=3-\sqrt{6}$.

Ta có $3=\sqrt{9}$ mà $\sqrt{9}>\sqrt{6}$ nên $3-\sqrt{6}>0$.

Do đó $\left|3-\sqrt{6}\right|=3-\sqrt{6}$.

Vậy $\sqrt{{(3-\sqrt{6})}^2}=3-\sqrt{6}$.

b) $3\sqrt{a^2}=3\left|a\right|$.

Vì a ≥ 0 nên 3|a| = 3a.

Vậy $3\sqrt{a^2}=3a$.

c) $5\sqrt{{(a-3)}^2}=5\left|a-3\right|$.

Vì a < 3 nên a – 3 < 0.

Do đó 5|a – 3| = 5(3 – a) = 15 – 5a.

Vậy $5\sqrt{{(a-3)}^2}=15-5a$.

Câu 3: Tìm x, biết:

a) $\sqrt{x^2}=15$;

b) $\sqrt{9x^2}=12$;

c) $\sqrt{16x^2}=|-20|$.

Lời giải:

a) $\sqrt{x^2}=15$

$\iff$|x| = 15

$\iff$x = ± 15.

Vậy x = ± 15.

b) $\sqrt{9x^2}=12$

$\iff \sqrt{{\left(3x\right)}^2}=12$

$\iff$|3x| = 12

$\iff$3x = ± 12

$\iff$x = ± 4.

Vậy x = ± 4.

d) $\sqrt{16x^2}=|-20|$

$\iff \sqrt{{\left(4x\right)}^2}=20$

$\iff$|4x| = 20

$\iff$4x = ± 20

$\iff$x = ± 5.

Vậy x = ± 5.

Câu 4: Rút gọn các biểu thức sau:

Lời giải:

Câu 5: Giải các phương trình sau

Lời giải:

Câu 6: Cho biểu thức: 

a) Tìm tập xác định của biểu thức.

b) Rút gọn biểu thức A.

Lời giải:

a) Điều kiện xác định:

Vậy tập xác định là D = [1; +∞].

b) Ta có: .

Câu 7: Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có nghĩa.

a) $\sqrt{\frac{a}{3}}$

b) $\sqrt{-5a}$

c) $\sqrt{4-a}$

d) $\sqrt{3a+7}$

Lời giải:

a) Để $\sqrt{\frac{a}{3}}$ có nghĩa thì $\frac{a}{3}$ ≥ 0 ⇔ a ≥ 0.

b) Để $\sqrt{-5a}$ có nghĩa thì -5a ≥ 0 ⇔ a ≤ 0.

c) Để $\sqrt{4-a}$ có nghĩa thì 4 – a ≥ 0 ⇔ -a ≥ -4 ⇔ a ≤ 4.

d) Để $\sqrt{3a+7}$ có nghĩa thì 3a + 7 ≥ 0 ⇔ 3a ≥ -7 ⇔ a ≥ $\frac{-7}{3}$.

Câu 8: Tính:

Lời giải:

Câu 9: Rút gọn biểu thức sau:

a) $\sqrt{{\left(2-\sqrt{3}\right)}^2}$

b) $\sqrt{{\left(3-\sqrt{11}\right)}^2}$

c) $2\sqrt{a^2}$ với a ≥ 0

d) $3\sqrt{{\left(a-2\right)}^2}$ với a < 2.

Lời giải:

a) $\sqrt{{\left(2-\sqrt{3}\right)}^2}$ = |2 - $\sqrt{3}$| = 2 - $\sqrt{3}$

b) $\sqrt{4x^2}$$\sqrt{{\left(3-\sqrt{11}\right)}^2}$ = |3 - $\sqrt{11}$| = $\sqrt{11}$ - 3

c) $2\sqrt{a^2}$ = 2|a| vì a ≥ 0 nên 2|a| = 2a.

d) $3\sqrt{{\left(a-2\right)}^2}$ = 3|a - 2| vì a < 2 nên 3|a - 2| = 3(2 - a) = 6 - 3a.

Câu 10: Tìm x biết:

a) $\sqrt{x^2}$ = 7

b) $\sqrt{x^2}$ = |-8|

c) $\sqrt{4x^2}$ = 6

d) $\sqrt{9x^2}$ = |-12|

Lời giải:

a) $\sqrt{x^2}$ = 7 ⇔ |x| = 7

⇔ x₁ = 7 và x₂ = -7

b) $\sqrt{x^2}$ = |-8| ⇔ $\sqrt{x^2}$ = 8

⇔ |x| = 8 ⇔ x₁ = 8 và x₂ = -8

c) $\sqrt{4x^2}$ = 6 ⇔ $\sqrt{{\left(2x\right)}^2}$ = 6  ⇔ |2x| = 6

⇔ 2.|x| = 6  |x|= 3 ⇔ x₁ = 3 và x₂ = -3

d) $\sqrt{9x^2}$ = |-12| ⇔ $\sqrt{{\left(3x\right)}^2}$ = 12

⇔ |3x| = 12 ⇔ 3.|x| = 12 |x| = 4

⇔ x₁ = 4 và x₂ = -4.

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Với giá trị nào của x thì mỗi biểu thức sau có nghĩa:

a.	b.	g.
c.	d.	h.
e.	f.	i

Câu 2: Thực hiện các phép tính sau:

a.	b.
c.	d.
e.	f.

Câu 3: Rút gọn các biểu thức sau đây:

a.	b.
c.	d.
e.	f.

Câu 4: Giải các phương trình sau:

a.	b.
c.	d.

Câu 5: Giải các phương trình sau:

a.	b.
c.	d.

Câu 6: Thực hiện phép tính

e) 8 - 2√7

f) 

Câu 7: Rút gọn biểu thức căn bậc 2

Câu 8: Giải phương trình

Câu 9: Tính:

Câu 10: Tìm x để mỗi căn thức sau có nghĩa:

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Chuyên đề Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

Chuyên đề Bảng căn bậc hai

Chuyên đề Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

Chuyên đề Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai