Chuyên đề Căn bậc hai và hằng đẳng thức (2022) - Toán 9

Với Chuyên đề Căn bậc hai và hằng đẳng thức (2022) - Toán 9 mới nhất được biên soạn bám sát chương trình Toán 9 giúp các bạn học tốt môn Toán hơn.

1 3,899 27/08/2022

Tải về

Trang trước

Trang sau

Chuyên đề Căn bậc hai và hằng đẳng thức - Toán 9

A. Lý thuyết

1. Căn thức bậc hai

Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi $\sqrt{A}$ là căn thức bậc hai của A, còn A là biểu thức lấy căn hay còn gọi là biểu thức dưới dấu căn.

$\sqrt{A}$ xác định (có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm.

Ví dụ 1. $\sqrt{5 x}$ là căn thức bậc hai của 5x;

$\sqrt{5 x}$ xác định khi 5x ≥ 0, tức là khi x ≥ 0.

2. Hằng đẳng thức $\sqrt{A^{2}} = |A|$

Định lí. Với mọi số a, ta có $\sqrt{a^{2}} = |a|$ .

Ví dụ 2. Tính

a) $\sqrt{14^{2}}$ ;

b) $\sqrt{{(- 20)}^{2}}$ .

Lời giải:

a) $\sqrt{14^{2}} = |14| = 14$ .

b) $\sqrt{{(- 20)}^{2}} = |- 20| = 20$ .

Chú ý. Một cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có $\sqrt{A^{2}} = |A|$ , có nghĩa là:

$\sqrt{A^{2}} = A$ nếu A ≥ 0 (tức là A lấy giá trị không âm);

$\sqrt{A^{2}} = - A$ nếu A < 0 (tức là A lấy giá trị âm).

Ví dụ 3. Rút gọn

a) $\sqrt{{(x - 4)}^{2}}$ với x < 4;

b) $\sqrt{a^{6}}$ với a ≥ 0.

Lời giải:

a) $\sqrt{{(x - 4)}^{2}} = |x - 4| = 4 - x$ (vì x < 4);

b) $\sqrt{a^{6}} = \sqrt{{(a^{3})}^{2}} = | a^{3} |$ .

Vì a ≥ 0 nên a³ ≥ 0, do đó | a³| = a³.

Vậy $\sqrt{a^{6}} = a^{3}$ (với a ≥ 0).

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Tính giá trị biểu thức Trắc nghiệm Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức có đáp án

Trắc nghiệm Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức có đáp án

Lời giải:

Trắc nghiệm Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức có đáp án

Đáp án cần chọn là: A

Câu 2: Tính giá trị biểu thức Trắc nghiệm Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức có đáp án

Trắc nghiệm Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức có đáp án

Lời giải:

Trắc nghiệm Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức có đáp án

Đáp án cần chọn là: D

Câu 3: Tìm điều kiện xác định của Trắc nghiệm Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức có đáp án

Trắc nghiệm Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức có đáp án

Lời giải:

Trắc nghiệm Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức có đáp án

Đáp án cần chọn là: A

Câu 4: Tìm điều kiện xác định của Trắc nghiệm Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức có đáp án

Trắc nghiệm Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức có đáp án

Lời giải:

Trắc nghiệm Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức có đáp án

Đáp án cần chọn là: C

Câu 5: Rút gọn biểu thức Trắc nghiệm Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức có đáp án với a > 0

A. −9a

B. −3a

C. 3a

D. 9a

Lời giải:

Trắc nghiệm Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức có đáp án

Đáp án cần chọn là: D

Câu 6: Rút ngọn biểu thức: Trắc nghiệm Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức có đáp án với a > 0

A. −9a

B. −3a

C. 3a

D. 9a

Lời giải:

Trắc nghiệm Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức có đáp án

Đáp án cần chọn là: C

Câu 7: Tìm x để Trắc nghiệm Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức có đáp án có nghĩa

Trắc nghiệm Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức có đáp án

Lời giải:

Trắc nghiệm Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức có đáp án

Đáp án cần chọn là: A

Câu 8: Tìm x để Trắc nghiệm Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức có đáp án có nghĩa

Trắc nghiệm Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức có đáp án

Lời giải:

Trắc nghiệm Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức có đáp án

Đáp án cần chọn là: A

Câu 9: Rút gọn biểu thức Trắc nghiệm Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức có đáp án với -4≤a≤4 ta được

A. 2a

B. 8

C. −8

D. −2a

Lời giải:

Trắc nghiệm Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức có đáp án

Đáp án cần chọn là: B

Câu 10: Rút gọn biểu thức Trắc nghiệm Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức có đáp án với ta được:

A. −4a

B. 4a

C. −6

D. 6

Lời giải:

Trắc nghiệm Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức có đáp án

Đáp án cần chọn là: D

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

a) $\sqrt{\frac{a}{4}}$ ;

b) $\sqrt{- 3 a}$ ;

c) $\sqrt{2 a + 9}$ .

Lời giải:

a) Điều kiện xác định: $\frac{a}{4} \geq 0 \Leftrightarrow a \geq 0$ .

Vậy với a ≥ 0 thì $\sqrt{\frac{a}{4}}$ có nghĩa.

b) Điều kiện xác định: − 3a ≥ 0 ⇔ a ≤ 0.

Vậy với a ≤ 0 thì $\sqrt{- 3 a}$ có nghĩa.

c) Điều kiện xác định: 2a + 9 ≥ 0 $\Leftrightarrow a \geq \frac{- 9}{2}$ .

Vậy với $a \geq \frac{- 9}{2}$ thì $\sqrt{2 a + 9}$ có nghĩa.

Câu 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{{(3 - \sqrt{6})}^{2}}$ ;

b) $3 \sqrt{a^{2}}$ với a ≥ 0;

c) $5 \sqrt{{(a - 3)}^{2}}$ với a < 3.

Lời giải:

a) $\sqrt{{(3 - \sqrt{6})}^{2}} = |3 - \sqrt{6}| = 3 - \sqrt{6}$ .

Ta có $3 = \sqrt{9}$ mà $\sqrt{9} > \sqrt{6}$ nên $3 - \sqrt{6} > 0$ .

Do đó $|3 - \sqrt{6}| = 3 - \sqrt{6}$ .

Vậy $\sqrt{{(3 - \sqrt{6})}^{2}} = 3 - \sqrt{6}$ .

b) $3 \sqrt{a^{2}} = 3 |a|$ .

Vì a ≥ 0 nên 3|a| = 3a.

Vậy $3 \sqrt{a^{2}} = 3 a$ .

c) $5 \sqrt{{(a - 3)}^{2}} = 5 |a - 3|$ .

Vì a < 3 nên a – 3 < 0.

Do đó 5|a – 3| = 5(3 – a) = 15 – 5a.

Vậy $5 \sqrt{{(a - 3)}^{2}} = 15 - 5 a$ .

Câu 3: Tìm x, biết:

a) $\sqrt{x^{2}} = 15$ ;

b) $\sqrt{9 x^{2}} = 12$ ;

c) $\sqrt{16 x^{2}} = | - 20 |$ .

Lời giải:

a) $\sqrt{x^{2}} = 15$

$\Leftrightarrow$ |x| = 15

$\Leftrightarrow$ x = ± 15.

Vậy x = ± 15.

b) $\sqrt{9 x^{2}} = 12$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(3 x)}^{2}} = 12$

$\Leftrightarrow$ |3x| = 12

$\Leftrightarrow$ 3x = ± 12

$\Leftrightarrow$ x = ± 4.

Vậy x = ± 4.

d) $\sqrt{16 x^{2}} = | - 20 |$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(4 x)}^{2}} = 20$

$\Leftrightarrow$ |4x| = 20

$\Leftrightarrow$ 4x = ± 20

$\Leftrightarrow$ x = ± 5.

Vậy x = ± 5.

Câu 4: Rút gọn các biểu thức sau:

Bài tập: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Lời giải:

Bài tập: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Câu 5: Giải các phương trình sau

Bài tập: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Lời giải:

Bài tập: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Câu 6: Cho biểu thức:

a) Tìm tập xác định của biểu thức.

b) Rút gọn biểu thức A.

Lời giải:

a) Điều kiện xác định:

Bài tập: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Vậy tập xác định là D = [1; +∞].

b) Ta có: .

Bài tập: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Câu 7: Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có nghĩa.

a) $\sqrt{\frac{a}{3}}$

b) $\sqrt{- 5 a}$

c) $\sqrt{4 - a}$

d) $\sqrt{3 a + 7}$

Lời giải:

a) Để $\sqrt{\frac{a}{3}}$ có nghĩa thì $\frac{a}{3}$ ≥ 0 ⇔ a ≥ 0.

b) Để $\sqrt{- 5 a}$ có nghĩa thì -5a ≥ 0 ⇔ a ≤ 0.

c) Để $\sqrt{4 - a}$ có nghĩa thì 4 – a ≥ 0 ⇔ -a ≥ -4 ⇔ a ≤ 4.

d) Để $\sqrt{3 a + 7}$ có nghĩa thì 3a + 7 ≥ 0 ⇔ 3a ≥ -7 ⇔ a ≥ $\frac{- 7}{3}$ .

Câu 8: Tính:

Để học tốt Toán 9 | Giải bài tập Toán 9

Lời giải:

Để học tốt Toán 9 | Giải bài tập Toán 9

Câu 9: Rút gọn biểu thức sau:

a) $\sqrt{{(2 - \sqrt{3})}^{2}}$

b) $\sqrt{{(3 - \sqrt{11})}^{2}}$

c) $2 \sqrt{a^{2}}$ với a ≥ 0

d) $3 \sqrt{{(a - 2)}^{2}}$ với a < 2.

Lời giải:

a) $\sqrt{{(2 - \sqrt{3})}^{2}}$ = |2 - $\sqrt{3}$ | = 2 - $\sqrt{3}$

b) $\sqrt{4 x^{2}}$ $\sqrt{{(3 - \sqrt{11})}^{2}}$ = |3 - $\sqrt{11}$ | = $\sqrt{11}$ - 3

c) $2 \sqrt{a^{2}}$ = 2|a| vì a ≥ 0 nên 2|a| = 2a.

d) $3 \sqrt{{(a - 2)}^{2}}$ = 3|a - 2| vì a < 2 nên 3|a - 2| = 3(2 - a) = 6 - 3a.

Câu 10: Tìm x biết:

a) $\sqrt{x^{2}}$ = 7

b) $\sqrt{x^{2}}$ = |-8|

c) $\sqrt{4 x^{2}}$ = 6

d) $\sqrt{9 x^{2}}$ = |-12|

Lời giải:

a) $\sqrt{x^{2}}$ = 7 ⇔ |x| = 7

⇔ x₁ = 7 và x₂ = -7

b) $\sqrt{x^{2}}$ = |-8| ⇔ $\sqrt{x^{2}}$ = 8

⇔ |x| = 8 ⇔ x₁ = 8 và x₂ = -8

c) $\sqrt{4 x^{2}}$ = 6 ⇔ $\sqrt{{(2 x)}^{2}}$ = 6 ⇔ |2x| = 6

⇔ 2.|x| = 6 |x|= 3 ⇔ x₁ = 3 và x₂ = -3

d) $\sqrt{9 x^{2}}$ = |-12| ⇔ $\sqrt{{(3 x)}^{2}}$ = 12

⇔ |3x| = 12 ⇔ 3.|x| = 12 |x| = 4

⇔ x₁ = 4 và x₂ = -4.

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Với giá trị nào của x thì mỗi biểu thức sau có nghĩa:

a. $\sqrt {2x - 1}$	b. $\frac{x}{{{x^2} - 4}} + \sqrt {x - 2}$	g. $\sqrt {25 - {x^2}}$
c. $\sqrt {9x - 2}$	d. $\sqrt {\frac{1}{{3 - 2x}}}$	h. $\sqrt {x\left( {x - 1} \right)}$
e. $\sqrt {\frac{{ - 2}}{{2x - 1}}}$	f. $\sqrt {{x^2} + 4}$	i $\sqrt {{x^2} - 5x + 6}$

Câu 2: Thực hiện các phép tính sau:

a. $\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^2}}$	b. $\sqrt {{{\left( {5 - 2\sqrt 6 } \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)}^2}}$
c. $\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 5} \right)}^2}}$	d. $\sqrt {17 - 12\sqrt 2 } + \sqrt {9 + 4\sqrt 2 }$
e. $\sqrt {6 - 4\sqrt 2 } + \sqrt {22 - 12\sqrt 2 }$	f. $\sqrt {\sqrt 5 - \sqrt {9 - \sqrt {29 - 12\sqrt 5 } } }$

Câu 3: Rút gọn các biểu thức sau đây:

a. $\sqrt {1 - 4x + 4{x^2}} - 2x$	b. ${a^2} + \sqrt {{a^4} - 8{a^2} + 16}$
c. $\frac{{\sqrt {{x^2} - 2x + 1} }}{{x - 1}};\left( {x > 1} \right)$	d. $2x - 1 - \frac{{\sqrt {{x^2} - 10x + 25} }}{{x - 5}}$
e. $\sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2}} + \frac{{x - 4}}{{\sqrt {{x^2} - 8x + 16} }}$	f. $\sqrt {{x^2} + 2\sqrt {{x^2} - 1} } - \sqrt {{x^2} - 2\sqrt {{x^2} - 1} }$

Câu 4: Giải các phương trình sau:

a. $\sqrt {2x + 5} = \sqrt {1 - x}$	b. $\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } = 2$
c. $\sqrt {{x^2} - 4x + 3} = x - 2$	d. $\sqrt {{x^2} - 2x + 1} = {x^2} - 1$

Câu 5: Giải các phương trình sau:

a. $\sqrt {1 - 12x + 36{x^2}} = 5$	b. $\left\| {3x + 1} \right\| = \left\| {x + 1} \right\|$
c. $\sqrt {9{x^2} - 12x + 4} - \sqrt {{x^2}} = 0$	d. $\sqrt {{x^2} - 1} - {x^2} + 1 = 0$

Câu 6: Thực hiện phép tính

Dạng toán Liên hệ giữa căn bậc hai và hằng đẳng thức chọn lọc

e) 8 - 2√7

f) Dạng toán Liên hệ giữa căn bậc hai và hằng đẳng thức chọn lọc

Câu 7: Rút gọn biểu thức căn bậc 2

Dạng toán Liên hệ giữa căn bậc hai và hằng đẳng thức chọn lọc

Câu 8: Giải phương trình

Dạng toán Liên hệ giữa căn bậc hai và hằng đẳng thức chọn lọc

Câu 9: Tính:

Câu 10: Tìm x để mỗi căn thức sau có nghĩa:

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Chuyên đề Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

Chuyên đề Bảng căn bậc hai

Chuyên đề Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

Chuyên đề Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

1 3,899 27/08/2022

Tải về

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3