Chuyên đề Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn (2022) - Toán 9
Với Chuyên đề Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn (2022) - Toán 9 mới nhất được biên soạn bám sát chương trình Toán 9 giúp các bạn học tốt môn Toán hơn.
Chuyên đề Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn - Toán 9
A. Lý thuyết
1. Định nghĩa về đường tròn
Đường tròn tâm O bán kính R > 0 là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng R kí hiệu là (O; R) hay (O).
Nếu A nằm trên đường tròn (O; R) thì OA = R.
Nếu A nằm trong đường tròn (O; R) thì OA < R.
Nếu A nằm ngoài đường tròn (O; R) thì OA > R.
Bổ sung kiến thức:
+ Đường tròn đi qua các điểm A1, A2, ..., An gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác A1A2...An
+ Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác A1A2...An gọi là đường tròn nội tiếp đa giác đó.
2. Cách xác định đường tròn
+ Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông đó
+ Trong tam giác đều , tâm đường tròn ngoại tiếp là trọng tâm tam giác đó.
+ Trong tam giác thường:
Tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của 3 đường trung trực của 3 cạnh tam giác đó
Tâm đường tròn nội tiếp là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác đó
Chú ý: Không vẽ được đường tròn nào đi qua 3 điểm thẳng hàng
3. Tâm đối xứng
Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.
4. Trục đối xứng
Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kỳ đường kính nào của đường tròn cũng là trục đối xứng của đường tròn.
B. Bài tập
I. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Số tâm đối xứng của đường tròn là
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.
Nên đường tròn có một tâm đối xứng duy nhất là tâm của đường tròn
Chọn đáp án A
Câu 2: Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về trục đối xứng của đường tròn
A. Đường tròn không có trục đối xứng
B. Đường tròn có duy nhất một trục đối xứng là đường kính
C. Đường tròn có hai trục đối xứng là hai đường kính vuông góc với nhau
D. Đường tròn có vô số trục đối xứng là đường kính
Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn
Nên đường tròn có vô số trục đối xứng
Chọn đáp án D
Câu 3: Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là
A. Giao của ba đường phân giác
B. Giao của ba đường trung trực
C. Giao của ba đường cao
D. Giao của ba đường trung tuyến
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó
Chọn đáp án B
Câu 4: Cho đường tròn (O; R) và điểm M bất kì, biết rằng OM = R . Chọn khẳng định đúng?
A. Điểm M nằm ngoài đường tròn
B. Điểm M nằm trên đường tròn
C.Điểm M nằm trong đường tròn
D. Điểm M không thuộc đường tròn
Cho điểm M và đường tròn (O; R) ta so sánh khoảng cách OM với bán kính R để xác định vị trí tương đối theo bảng sau:
Chọn đáp án B
Câu 5: Xác định tâm và bán kính của đường tròn đi qua cả bốn đỉnh của hình vuông ABCD cạnh a
A. Tâm là giao điểm A và bán kính R = a√2
B. Tâm là giao điểm hai đường chéo và bán kính R = a√2
C. Tâm là giao điểm hai đường chéo và bán kính 
D. Tâm là điểm B và bán kính là
Gọi O là giao hai đường chéo của hình vuông ABCD.
Khi đó theo tính chất của hình vuông ta có OA = OB = OC = OD nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD, bán kính R = OA = AC/2
Xét tam giác vuông tại ta có:
Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD cạnh a là giao điểm hai đường chéo, bán kính là
Chọn đáp án C
Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại A. Khi đó, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là?
A. Điểm A
B. Điểm B .
C. Chân đường cao hạ từ A
D. Trung điểm của BC
Gọi M là trung điểm của BC.
Tam giác ABC vuông tại A có đường trung tuyến AM ứng với cạnh huyền BC nên:
Suy ra, điểm M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Chọn đáp án D.
Câu 7: Cho tứ giác ABCD là hình bình hành và 
. Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD?
A. Trung điểm AC B . Điểm A
C. Điểm B
D. Điểm D
Vì tứ giác ABCD là hình bình hành và nên ABCD là hình chữ nhật.
Gọi O là giao điểm hai đường chéo.
Theo tính chất hình chữ nhật ta có:
Do đó, O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.
Chọn đáp án A.
Câu 8: Cho 4 điểm phân biệt A, B, C và D sao cho tam giác ABC vuông tại A và tam giác BCD vuông tại
D. Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD?
A. Điểm A
B. Điểm B
C. Trung điểm BC
D. Trung điểm AD
Gọi I là trung điểm BC.
Ta có; tam giác BCD vuông tại D có DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên:
(1)
Tam giác ABC vuông tại A có AI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên:
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: 
Do đó, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.
Chọn đáp án C
Câu 9: Cho hình thoi ABCD có AC = BD . Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp hình thoi ABCD ?
A. Điểm A.
B. Giao điểm của AC và BD
C. Không có đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.
D. Trung điểm cạnh AB.
Vì tứ giác ABCD là hình thoi có 2 đường chéo AC= BD nên tứ giác ABCD là hình vuông ( dấu hiệu nhận biết hình vuông)..
Gọi O là tâm hình vuông.
Theo tính chất hình vuông ta có:
Do đó, O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.
Chọn đáp án B
Câu 10: Hình tròn tâm I, bán kính R = 4cm là gồm tất cả các điểm ........
A. có khoảng cách đến điểm I bằng 4cm
B. Có khoảng cách đến điểm I nhỏ hơn 4 cm.
C. Có khoảng cách đến điểm I lớn hơn 4 cm.
D. có khoảng cách đến điểm I nhỏ hơn hoặc bằng 4 cm.
Hình tròn tâm I, bán kính R = 4cm là gồm tất cả các điểm có khoảng cách đến điểm I nhỏ hơn hoặc bằng 4 cm.
Chọn đáp án D.
II. Bài tập tự luận có lời giải
Câu 1: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. AB, BN, CP là các đường trung tuyến. Chứng minh 4 điểm B, P, N, C cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó.
Lời giải:
Vì tam giác ABC đều nên các trung tuyến đồng thời cũng là đường cao .
Suy ra AM, BN, CP lần lượt vuông góc với BC, AC, AB.
Từ đó ta có các tam giác BPC, BNC là tam giác vuông với BC là cạnh huyền
Tam giác BPC vuông tại P có đường trung tuyến PM nên PM = BM = MC = 1/2 BC (1)
Tam giác BNC vuông tại N có đường trung tuyến NM nên NM = MB = MC = 1/2 BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra: PM = NM = MB = MC = 1/2 BC
Hay: Các điểm B, P, N, C cùng thuộc đường tròn
Đường kính BC = a, tâm đường tròn là trung điểm M của BC
Câu 2: Cho tứ giác ABCD có ∠C + ∠D = 90°. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC, CA. Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn. Tìm tâm đường tròn đó .
Lời giải:
Kéo dài AD, CB cắt nhau tại điểm T thì tam giác TCD vuông tại T.
+ Do MN là đường trung bình của tam giác ABD nên NM // AD
+ MQ là đường trung bình của tam giác ABC nên MQ // BC. Mặt khác AD ⊥ BC ⇒ MN ⊥ MQ.
Chứng minh tương tự ta cũng có: MN ⊥ NP, NP ⊥ PQ. Suy ra MNPQ là hình chữ nhật.
Hay các điểm M, N, P, Q thuộc một đường tròn có tâm là giao điểm O của hai đường chéo NQ, MP
Câu 3: Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm chính là trung điểm của cạnh huyền
Lời giải:
Xét tam giác ABC vuông tại A
Gọi M là trung điểm của BC.
Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông ta có:
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm là trung điểm của cạnh huyền
Câu 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 10, BC = 8 . Chứng minh rằng A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn và tính bán kính của đường tròn đó
Lời giải:
Gọi E là giao điểm của AC và BD.
Theo tính chất hai đường chéo trong hình chữ nhật ta có:
Khi đó A, B, C, D cùng thuộc đường tròn tâm E và bán kính EA
Ta có:
Câu 5: Cho tam giác ABC có các đường cao BD, CE. Biết rằng bốn điểm B, E, D, C cùng nằm trên một đường tròn. Chỉ rõ tâm và bán kính của đường tròn đó.
Gọi I là trung điểm của BC.
Xét tam giác BEC vuông tại E có EI = IB = IC = 
(Vì EI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)
Xét tam giác BDC vuông tại D có DI = IB = IC = (Vì DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)
Từ đó ta có ID = IE = IB = IC = nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác DEBC và bán kính R =
Câu 6: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. AB, BN, CP là các đường trung tuyến. Chứng minh 4 điểm B, P, N, C cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó.
Lời giải:
Vì tam giác ABC đều nên các trung tuyến đồng thời cũng là đường cao .
Suy ra AM, BN, CP lần lượt vuông góc với BC, AC, AB.
Từ đó ta có các tam giác BPC, BNC là tam giác vuông với BC là cạnh huyền
Tam giác BPC vuông tại P có đường trung tuyến PM nên PM = BM = MC = 1/2 BC (1)
Tam giác BNC vuông tại N có đường trung tuyến NM nên NM = MB = MC = 1/2 BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra: PM = NM = MB = MC = 1/2 BC
Hay: Các điểm B, P, N, C cùng thuộc đường tròn
Đường kính BC = a, tâm đường tròn là trung điểm M của BC
Câu 7: Cho tứ giác ABCD có ∠C + ∠D = 90°. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC, CA. Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn. Tìm tâm đường tròn đó .
Lời giải:
Kéo dài AD, CB cắt nhau tại điểm T thì tam giác TCD vuông tại T.
+ Do MN là đường trung bình của tam giác ABD nên NM // AD
+ MQ là đường trung bình của tam giác ABC nên MQ // BC. Mặt khác AD ⊥ BC ⇒ MN ⊥ MQ.
Chứng minh tương tự ta cũng có: MN ⊥ NP, NP ⊥ PQ. Suy ra MNPQ là hình chữ nhật.
Hay các điểm M, N, P, Q thuộc một đường tròn có tâm là giao điểm O của hai đường chéo NQ, MP
Câu 8: Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 12cm, CD = 16cm. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.
Lời giải:
Xét hình chữ nhật ABCD
Do hai đường chéo AC và BD giao nhau tại O nên O là trung điểm của AC và BD (tính chất hình chữ nhật)
,
Mà AC = BD (tính chất hình chữ nhật)
Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn tâm O bán kính .
Xét tam giác ADC vuông tại D (do ABCD là hình chữ nhật)
Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:
(cm)
Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn bán kính (cm)
Câu 9: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định vị trí tương đối của mỗi điểm A(1; -1), B(; ), C(1; 2) đối với đường tròn (O; 2).
Lời giải:
Gọi R là bán kính của đường tròn (O; 2).
Ta có: R = 2.
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy có:
Sửa lại hình vẽ vì hệ trục tọa độ không có Ox, Oy.
Đặt tên các điểm H, I, K như trên hình vẽ.
Điểm A(1; -1) nên OH = |xA| = 1,
AH = |yA| = |- 1| = 1.
Xét tam giác AHO vuông tại H, ta có
(định lý Py – ta – go)
< R = 2
Do đó, A nằm trong đường tròn (O; 2)
Điểm B(; ),
nên OK = |xB| = ,
BK = |yB| = .
Xét tam giác BKO vuông tại K, ta có
(định lý Py – ta – go)
= R
Do đó, B nằm trên đường tròn (O; 2)
Điểm C(1; 2) nên OI = |xC| = 1, CI = |yC| = 2.
Xét tam giác CIO vuông tại I, ta có
hay
Do đó, C nằm ngoài đường tròn (O; 2).
Câu 10: Hãy nối mỗi ô ở cột trái với một ô ở cột phải để được khẳng định đúng:
Lời giải:
(1) nối với (6)
(2) nối với (5)
(3) nối với (4)
III. Bài tập vận dụng
Câu 1: Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm chính là trung điểm của cạnh huyền
Câu 2: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 10, BC = 8 . Chứng minh rằng A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn và tính bán kính của đường tròn đó
Câu 3: Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AB lấy M và trên tia BC lấy điểm N sao cho MDN = 90°. Vẽ hình chữ nhật MDNP. Chứng minh rằng năm điểm M, D, N, P, B cùng nằm trên một đường tròn.
Câu 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. C là một điểm bất kì trên nửa đường tròn. H là hình chiếu của C lên AB. Tìm vị trí của c trên nửa đường tròn để BH.AH lớn nhất.
Câu 5: Cho đường tròn (O ; R). Lấy hai điểm A, B của đường tròn sao cho AB = R. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với OA tại A cắt đường trung trực của AB tại O’. Vẽ đường tròn(O’; O’A). Vẽ c đối xứng với A qua o và D đối xứng với A qua O’.
a) Chứng minh rằng B thuộc đường tròn tâm O’, bán kính 0’A.
b) Chứng minh rằng ba điểm c, B, D thẳng hàng ;
c) Tính bán kính của (O’) và CD theo R.
Câu 6:
Cho tam giác ABC, hai đường cao BK và CI cắt nhau tại H. Chứng minh rằng :
a) Bốn điểm B, I, K, C cùng thuộc một đường tròn đường kính BC ;
b) Bốn điểm A, I, H, K cùng thuộc một đường tròn.
Câu 7:
Trên đường tròn (O ; R), bán kính R lấy điểm A cố định và điểm B thay đổi. Đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt đường tròn (O) tại C.
a) Chứng minh rằng ba điểm B, O, C thẳng hàng ;
b) Gọi D là trung điểm của AB. Chúng minh rằng CD luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 8:
Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn, vẽ tia Ax vuông góc với AB. Lấy điểm c trên nửa đường tròn rồi vẽ tia phân giác của gổc ABC cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là D và cắt Ax, AC lần lượt tại E, H. AD cắt BC tại F.
a) Chứng minh rằng FH ⊥ AB ;
b) AEFH là hình gì ?
c) Cho biết AB = 2R, góc ABC = 60° . Tính diện tích tứ giác AEFH.
Câu 9:
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và điểm c bất kì trẻn nửa đường tròn. Gọi D là hình chiếu của G lên AB.
a) Tìm vị trí của C trên nửa đường tròn để chu vi tam giác CDO lớn nhất;
b) Tìm vị trí của C để diện tích tam giác CDO lớn nhất.
Câu 10:
Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O ; R), bán kính R, trong đó B, C cố định. Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác luôn thuộc một đường tròn cố định.
Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:
Chuyên đề Đường kính và dây của đường tròn
Chuyên đề Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Chuyên đề Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Xem thêm các chương trình khác:
- Giải sgk Hóa học 9 (sách mới) | Giải bài tập Hóa 9
- Giải sbt Hóa học 9
- Giải vở bài tập Hóa học 9
- Lý thuyết Hóa học 9
- Các dạng bài tập Hóa học lớp 9
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 9 (sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 9 (hay nhất) | Để học tốt Ngữ văn 9 (sách mới)
- Soạn văn 9 (ngắn nhất)
- Văn mẫu 9 (sách mới) | Để học tốt Ngữ văn 9 Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Tác giả - tác phẩm Ngữ văn 9 (sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tiếng Anh 9 (thí điểm)
- Giải sgk Tiếng Anh 9 (sách mới) | Để học tốt Tiếng Anh 9
- Giải sbt Tiếng Anh 9
- Giải sbt Tiếng Anh 9 (thí điểm)
- Giải sgk Sinh học 9 (sách mới) | Giải bài tập Sinh học 9
- Giải vở bài tập Sinh học 9
- Lý thuyết Sinh học 9
- Giải sbt Sinh học 9
- Giải sgk Vật Lí 9 (sách mới) | Giải bài tập Vật lí 9
- Giải sbt Vật Lí 9
- Lý thuyết Vật Lí 9
- Các dạng bài tập Vật lí lớp 9
- Giải vở bài tập Vật lí 9
- Giải sgk Địa Lí 9 (sách mới) | Giải bài tập Địa lí 9
- Lý thuyết Địa Lí 9
- Giải Tập bản đồ Địa Lí 9
- Giải sgk Tin học 9 (sách mới) | Giải bài tập Tin học 9
- Lý thuyết Tin học 9
- Lý thuyết Giáo dục công dân 9
- Giải vở bài tập Lịch sử 9
- Giải Tập bản đồ Lịch sử 9
- Lý thuyết Lịch sử 9
- Lý thuyết Công nghệ 9