Chuyên đề Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn (2022) - Toán 9

Chuyên đề Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn - Toán 9

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa về đường tròn

Đường tròn tâm O bán kính R > 0 là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng R kí hiệu là (O; R) hay (O).

Nếu A nằm trên đường tròn (O; R) thì OA = R.

Nếu A nằm trong đường tròn (O; R) thì OA < R.

Nếu A nằm ngoài đường tròn (O; R) thì OA > R.

Bổ sung kiến thức:

    + Đường tròn đi qua các điểm A₁, A₂, ..., A_n gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác A₁A₂...A_n

    + Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác A₁A₂...A_n gọi là đường tròn nội tiếp đa giác đó.

2. Cách xác định đường tròn

    + Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông đó

    + Trong tam giác đều , tâm đường tròn ngoại tiếp là trọng tâm tam giác đó.

    + Trong tam giác thường:

Tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của 3 đường trung trực của 3 cạnh tam giác đó

Tâm đường tròn nội tiếp là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác đó

Chú ý: Không vẽ được đường tròn nào đi qua 3 điểm thẳng hàng

3. Tâm đối xứng

Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.

4. Trục đối xứng

Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kỳ đường kính nào của đường tròn cũng là trục đối xứng của đường tròn.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Số tâm đối xứng của đường tròn là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải:

Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.

Nên đường tròn có một tâm đối xứng duy nhất là tâm của đường tròn

Chọn đáp án A

Câu 2: Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về trục đối xứng của đường tròn

A. Đường tròn không có trục đối xứng

B. Đường tròn có duy nhất một trục đối xứng là đường kính

C. Đường tròn có hai trục đối xứng là hai đường kính vuông góc với nhau

D. Đường tròn có vô số trục đối xứng là đường kính

Lời giải:

Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn

Nên đường tròn có vô số trục đối xứng

Chọn đáp án D

Câu 3: Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là

A. Giao của ba đường phân giác

B. Giao của ba đường trung trực

C. Giao của ba đường cao

D. Giao của ba đường trung tuyến

Lời giải:

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó

Chọn đáp án B

Câu 4: Cho đường tròn (O; R) và điểm M bất kì, biết rằng OM = R . Chọn khẳng định đúng?

A. Điểm M nằm ngoài đường tròn

B. Điểm M nằm trên đường tròn

C.Điểm M nằm trong đường tròn

D. Điểm M không thuộc đường tròn

Lời giải:

Cho điểm M và đường tròn (O; R) ta so sánh khoảng cách OM với bán kính R để xác định vị trí tương đối theo bảng sau:

Chọn đáp án B

Câu 5: Xác định tâm và bán kính của đường tròn đi qua cả bốn đỉnh của hình vuông ABCD cạnh a

A. Tâm là giao điểm A và bán kính R = a√2

B. Tâm là giao điểm hai đường chéo và bán kính R = a√2

C. Tâm là giao điểm hai đường chéo và bán kính 

D. Tâm là điểm B và bán kính là 

Lời giải:

Gọi O là giao hai đường chéo của hình vuông ABCD.

Khi đó theo tính chất của hình vuông ta có OA = OB = OC = OD nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD, bán kính R = OA = AC/2

Xét tam giác vuông tại ta có:

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD cạnh a là giao điểm hai đường chéo, bán kính là 

Chọn đáp án C

Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại A. Khi đó, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là?

A. Điểm A

B. Điểm B .

C. Chân đường cao hạ từ A

D. Trung điểm của BC

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC.

Tam giác ABC vuông tại A có đường trung tuyến AM ứng với cạnh huyền BC nên:

Suy ra, điểm M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Chọn đáp án D.

Câu 7: Cho tứ giác ABCD là hình bình hành và  . Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD?

A. Trung điểm AC B . Điểm A

C. Điểm B

D. Điểm D

Lời giải:

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành và  nên ABCD là hình chữ nhật.

Gọi O là giao điểm hai đường chéo.

Theo tính chất hình chữ nhật ta có:

Do đó, O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.

Chọn đáp án A.

Câu 8: Cho 4 điểm phân biệt A, B, C và D sao cho tam giác ABC vuông tại A và tam giác BCD vuông tại

D. Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD?

A. Điểm A

B. Điểm B

C. Trung điểm BC

D. Trung điểm AD

Lời giải:

Gọi I là trung điểm BC.

Ta có; tam giác BCD vuông tại D có DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên:

 (1)

Tam giác ABC vuông tại A có AI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên:

 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 

Do đó, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.

Chọn đáp án C

Câu 9: Cho hình thoi ABCD có AC = BD . Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp hình thoi ABCD ?

A. Điểm A.

B. Giao điểm của AC và BD

C. Không có đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.

D. Trung điểm cạnh AB.

Lời giải:

Vì tứ giác ABCD là hình thoi có 2 đường chéo AC= BD nên tứ giác ABCD là hình vuông ( dấu hiệu nhận biết hình vuông)..

Gọi O là tâm hình vuông.

Theo tính chất hình vuông ta có:

Do đó, O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.

Chọn đáp án B

Câu 10: Hình tròn tâm I, bán kính R = 4cm là gồm tất cả các điểm ........

A. có khoảng cách đến điểm I bằng 4cm

B. Có khoảng cách đến điểm I nhỏ hơn 4 cm.

C. Có khoảng cách đến điểm I lớn hơn 4 cm.

D. có khoảng cách đến điểm I nhỏ hơn hoặc bằng 4 cm.

Lời giải:

Hình tròn tâm I, bán kính R = 4cm là gồm tất cả các điểm có khoảng cách đến điểm I nhỏ hơn hoặc bằng 4 cm.

Chọn đáp án D.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. AB, BN, CP là các đường trung tuyến. Chứng minh 4 điểm B, P, N, C cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó.

Lời giải:

Vì tam giác ABC đều nên các trung tuyến đồng thời cũng là đường cao .

Suy ra AM, BN, CP lần lượt vuông góc với BC, AC, AB.

Từ đó ta có các tam giác BPC, BNC là tam giác vuông với BC là cạnh huyền

Tam giác BPC vuông tại P có đường trung tuyến PM nên PM = BM = MC = 1/2 BC (1)

Tam giác BNC vuông tại N có đường trung tuyến NM nên NM = MB = MC = 1/2 BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: PM = NM = MB = MC = 1/2 BC

Hay: Các điểm B, P, N, C cùng thuộc đường tròn

Đường kính BC = a, tâm đường tròn là trung điểm M của BC

Câu 2: Cho tứ giác ABCD có ∠C + ∠D = 90°. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC, CA. Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn. Tìm tâm đường tròn đó .

Lời giải:

Kéo dài AD, CB cắt nhau tại điểm T thì tam giác TCD vuông tại T.

    + Do MN là đường trung bình của tam giác ABD nên NM // AD

    + MQ là đường trung bình của tam giác ABC nên MQ // BC. Mặt khác AD ⊥ BC ⇒ MN ⊥ MQ.

Chứng minh tương tự ta cũng có: MN ⊥ NP, NP ⊥ PQ. Suy ra MNPQ là hình chữ nhật.

Hay các điểm M, N, P, Q thuộc một đường tròn có tâm là giao điểm O của hai đường chéo NQ, MP

Câu 3: Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm chính là trung điểm của cạnh huyền

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A

Gọi M là trung điểm của BC.

Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông ta có:

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm là trung điểm của cạnh huyền

Câu 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 10, BC = 8 . Chứng minh rằng A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn và tính bán kính của đường tròn đó

Lời giải:

Gọi E là giao điểm của AC và BD.

Theo tính chất hai đường chéo trong hình chữ nhật ta có:

Khi đó A, B, C, D cùng thuộc đường tròn tâm E và bán kính EA

Ta có:

Câu 5: Cho tam giác ABC có các đường cao BD, CE. Biết rằng bốn điểm B, E, D, C cùng nằm trên một đường tròn. Chỉ rõ tâm và bán kính của đường tròn đó.

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của BC.

Xét tam giác BEC vuông tại E có EI = IB = IC =  (Vì EI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Xét tam giác BDC vuông tại D có DI = IB = IC =  (Vì DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Từ đó ta có ID = IE = IB = IC =  nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác DEBC và bán kính R = 

Câu 6: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. AB, BN, CP là các đường trung tuyến. Chứng minh 4 điểm B, P, N, C cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó.

Lời giải:

Vì tam giác ABC đều nên các trung tuyến đồng thời cũng là đường cao .

Suy ra AM, BN, CP lần lượt vuông góc với BC, AC, AB.

Từ đó ta có các tam giác BPC, BNC là tam giác vuông với BC là cạnh huyền

Tam giác BPC vuông tại P có đường trung tuyến PM nên PM = BM = MC = 1/2 BC (1)

Tam giác BNC vuông tại N có đường trung tuyến NM nên NM = MB = MC = 1/2 BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: PM = NM = MB = MC = 1/2 BC

Hay: Các điểm B, P, N, C cùng thuộc đường tròn

Đường kính BC = a, tâm đường tròn là trung điểm M của BC

Câu 7: Cho tứ giác ABCD có ∠C + ∠D = 90°. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC, CA. Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn. Tìm tâm đường tròn đó .

Lời giải:

Kéo dài AD, CB cắt nhau tại điểm T thì tam giác TCD vuông tại T.

    + Do MN là đường trung bình của tam giác ABD nên NM // AD

    + MQ là đường trung bình của tam giác ABC nên MQ // BC. Mặt khác AD ⊥ BC ⇒ MN ⊥ MQ.

Chứng minh tương tự ta cũng có: MN ⊥ NP, NP ⊥ PQ. Suy ra MNPQ là hình chữ nhật.

Hay các điểm M, N, P, Q thuộc một đường tròn có tâm là giao điểm O của hai đường chéo NQ, MP

Câu 8: Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 12cm, CD = 16cm. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

Lời giải:

Xét hình chữ nhật ABCD

Do hai đường chéo AC và BD giao nhau tại O nên O là trung điểm của AC và BD (tính chất hình chữ nhật)

$\Rightarrow OA=OC=\frac{AC}{2}$,

$OB=OD=\frac{BD}{2}$

Mà AC = BD (tính chất hình chữ nhật)

$\Rightarrow OA=OC=OB=OD=\frac{AC}{2}$

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn tâm O bán kính $R=\frac{AC}{2}$.

Xét tam giác ADC vuông tại D (do ABCD là hình chữ nhật)

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

$A{C}^2=A{D}^2+C{D}^2={12}^2+{16}^2=400$

$\Rightarrow AC=\sqrt{400}=20$ (cm)

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn bán kính $R=\frac{AC}{2}$(cm)

Câu 9: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định vị trí tương đối của mỗi điểm A(1; -1), B($-\sqrt{2}$; $\sqrt{2}$), C(1; 2) đối với đường tròn (O; 2).

Lời giải:

Gọi R là bán kính của đường tròn (O; 2).

Ta có: R = 2.

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy có:

Sửa lại hình vẽ vì hệ trục tọa độ không có Ox, Oy.

Đặt tên các điểm H, I, K như trên hình vẽ.

Điểm A(1; -1) nên OH = |x_A| = 1,

AH = |y_A| = |- 1| = 1.

Xét tam giác AHO vuông tại H, ta có

$O{A}^2=A{H}^2+O{H}^2=1^2+1^2=2$

(định lý Py – ta – go)

$\Rightarrow OA=\sqrt{2}$< R = 2

Do đó, A nằm trong đường tròn (O; 2)

Điểm B($-\sqrt{2}$;$\sqrt{2}$ ), 

nên OK = |x_B| = $\left|-\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}$,

BK = |y_B| = $\left|\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}$.

Xét tam giác BKO vuông tại K, ta có

$O{B}^2=B{K}^2+O{K}^2={\left(\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2=4$

 (định lý Py – ta – go)

$\Rightarrow OB=\sqrt{4}=2$= R 

Do đó, B nằm trên đường tròn (O; 2)

Điểm C(1; 2) nên OI = |x_C| = 1, CI = |y_C| = 2.

Xét tam giác CIO vuông tại I, ta có

$$\begin{gathered} O{C}^2=O{I}^2+C{I}^2={\left(1\right)}^2+{\left(2\right)}^2=5 \\ \Rightarrow OC=\sqrt{5}>\sqrt{4} \end{gathered}$$

 hay $\sqrt{5}>2=R.$

Do đó, C nằm ngoài đường tròn (O; 2).

Câu 10: Hãy nối mỗi ô ở cột trái với một ô ở cột phải để được khẳng định đúng:

Lời giải:

(1) nối với (6)

(2) nối với (5)

(3) nối với (4)

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm chính là trung điểm của cạnh huyền

Câu 2: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 10, BC = 8 . Chứng minh rằng A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn và tính bán kính của đường tròn đó

Câu 3: Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AB lấy M và trên tia BC lấy điểm N sao cho MDN = 90°. Vẽ hình chữ nhật MDNP. Chứng minh rằng năm điểm M, D, N, P, B cùng nằm trên một đường tròn.

Câu 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. C là một điểm bất kì trên nửa đường tròn. H là hình chiếu của C lên AB. Tìm vị trí của c trên nửa đường tròn để BH.AH lớn nhất.

Câu 5: Cho đường tròn (O ; R). Lấy hai điểm A, B của đường tròn sao cho AB = R. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với OA tại A cắt đường trung trực của AB tại O’. Vẽ đường tròn(O’; O’A). Vẽ c đối xứng với A qua o và D đối xứng với A qua O’.

a) Chứng minh rằng B thuộc đường tròn tâm O’, bán kính 0’A.

b) Chứng minh rằng ba điểm c, B, D thẳng hàng ;

c) Tính bán kính của (O’) và CD theo R.

Câu 6:

Cho tam giác ABC, hai đường cao BK và CI cắt nhau tại H. Chứng minh rằng :

a) Bốn điểm B, I, K, C cùng thuộc một đường tròn đường kính BC ;

b) Bốn điểm A, I, H, K cùng thuộc một đường tròn.

Câu 7:

Trên đường tròn (O ; R), bán kính R lấy điểm A cố định và điểm B thay đổi. Đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt đường tròn (O) tại C.

a) Chứng minh rằng ba điểm B, O, C thẳng hàng ;

b) Gọi D là trung điểm của AB. Chúng minh rằng CD luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 8:

Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn, vẽ tia Ax vuông góc với AB. Lấy điểm c trên nửa đường tròn rồi vẽ tia phân giác của gổc ABC cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là D và cắt Ax, AC lần lượt tại E, H. AD cắt BC tại F.

a) Chứng minh rằng FH ⊥ AB ;

b) AEFH là hình gì ?

c) Cho biết AB = 2R, góc ABC = 60° . Tính diện tích tứ giác AEFH.

Câu 9:

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và điểm c bất kì trẻn nửa đường tròn. Gọi D là hình chiếu của G lên AB.

a) Tìm vị trí của C trên nửa đường tròn để chu vi tam giác CDO lớn nhất;

b) Tìm vị trí của C để diện tích tam giác CDO lớn nhất.

Câu 10:

Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O ; R), bán kính R, trong đó B, C cố định. Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác luôn thuộc một đường tròn cố định.

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Đường kính và dây của đường tròn

Chuyên đề Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Chuyên đề Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Chuyên đề Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Chuyên đề Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau