Chuyên đề Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung (2022) - Toán 9

Chuyên đề Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung - Toán 9

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa

-  Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm trên đường tròn, một cạnh là một tia tiếp tuyến còn cạnh kia chứa dây cung của đường tròn.

Ví dụ 1. Cho đường tròn (O) có xy là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và dây cung AB như hình vẽ.

Ta thấy $\widehat{BAx}$ có đỉnh A nằm trên đường tròn (O) có Ax là tiếp tuyến và AB là dây cung của đường tròn.

Do đó $\widehat{BAx}$ là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung.

Khi đó, $\widehat{BAx}$ chắn cung nhỏ AB;

$\widehat{BAy}$ chắn cung lớn AB.

2. Định lí

Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Ví dụ 2. Cho đường tròn (O) có xy là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và dây cung AB như hình vẽ.

Khi đó, $\widehat{BAx}$ và $\widehat{BAy}$ là góc tạo bởi tiếp tiếp và dây cung lần lượt chắn $\widehat{AmB}$ và $\widehat{AnB}$. Do đó,

3. Hệ quả

Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Ví dụ 2. Cho đường tròn (O) như hình vẽ.

Trong hình vẽ trên, $\widehat{ACB}$ là góc nội tiếp chắn $\stackrel{⏜}{AB}$ nên

$\widehat{BAx}$ là góc tạo bởi dây cung và tiếp tuyến chắn $\stackrel{⏜}{AB}$ nên  

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Góc ở hình nào dưới đây biểu diễn góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

A. Hình 1

B. Hình 2

C. Hình 3

D. Hình 4

Lời giải:

Cho đường tròn tâm (O) có Ax là tia tiếp tuyến tại điểm A và dây cung AB. Khi đó góc BAx là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Chọn đáp án A

Câu 2: Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung có số đo bằng

A. 90°

B. Số đo góc ở tâm chắn cung đó

C. Nửa số đo góc nội tiếp chắn cung đó

D. Nửa số đo cung bị chắn

Lời giải:

Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn

Chọn đáp án D

Câu 3: Kết luận nào sau đây là đúng

A. Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung có số đo lớn hơn góc nội tiếp chắn cung đó

B. Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung có số đo nhỏ hơn góc nội tiếp chắn cung đó

C. Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

D. Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung có số đo bằng hai lần số đo của góc nội tiếp chắn cung đó

Lời giải:

Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

Chọn đáp án C

Câu 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia đối AB lấy điểm M. Vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn . Gọi H là hình chiếu của C trên AB. CA là tia phân giác của góc nào dưới đây?

Lời giải:

Chọn đáp án B

Câu 5: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia đối AB lấy điểm M. Vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn . Gọi H là hình chiếu của C trên AB. Giả sử OA = a; MC = 2a . Độ dài CH

Lời giải:

Chọn đáp án C

Câu 6: Cho đường tròn tâm (O), điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M dựng tiếp tuyến MA đến đường tròn (O), dựng cát tuyến MBC. Đẳng thức nào sau đây đúng ?

A. MA² = MB.MC

B. MB² = MA.MC

C. MC² = MA.MB

D. 

Lời giải:

Chọn đáp án A.

Câu 7: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, dựng tiếp tuyến Bx với đường tròn.

Lấy P là điểm bất kì trên đường tròn, AP cắt Bx tại T. Tìm khẳng định sai

Lời giải:

Chọn đáp án B

Câu 8: Cho đường tròn (O) và dây BC = √2R. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại A. Tính góc 

A. 45°

B. 30°

C. 60°

D. 750

Lời giải:

Góc  là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung BC nên:

Chọn đáp án A.

Câu 9: Cho đường tròn (O; R) có dây BC không phải đường kính. Dựng hai tiếp tuyến tại B và C chúng cắt nhau tại A. Biết rằng  = 30° . Tính BC theo R?

A. BC = √3R

B. BC = √2R

C. BC = R

D. Đáp án khác

Lời giải:

Ta có:

Góc  là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung BC⌢ nên:

Chọn đáp án C.

Câu 10: Cho đường tròn (O; R) và dây BC. Dựng hai tiếp tuyến tại C và B cắt nhau tại A. Biết rằng  = 60° . Tính AB

A. R

B. R√3

C. R√2

D. 2R

Lời giải:

Chọn đáp án B.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M. Kẻ tiếp tuyến MN với đường tròn (N là tiếp điểm). Vẽ NH vuông góc với AB. Chứng minh $\widehat{MNA}=\widehat{ANH}$.

Lời giải:

Vì $\widehat{ANB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (AB là đường kính)

$\Rightarrow \widehat{ANB}$là góc vuông (hệ quả)

Xét tam giác ANH và tam giác ABN có:

$\widehat{A}$ chung

$\widehat{ANB}=\widehat{NHA}=90°$

Do đó $\Delta$ANH đồng dạng với $\Delta$ABN (g – g)

$\Rightarrow \widehat{ANH}=\widehat{ABN}$ (hai góc tương ứng)    (1)

Lại có MN là tiếp tuyến của đường tròn (O) với N là tiếp điểm

$\Rightarrow \widehat{MNA}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.

$\Rightarrow \widehat{MNA}=\frac{1}{2}\stackrel{⏜}{AN}$  (định lí) (2)

Lại có $\widehat{ABN}$ là góc nội tiếp chắn cung $\stackrel{⏜}{AN}$

$\Rightarrow \widehat{ABN}=\frac{1}{2}\stackrel{⏜}{AN}$ (định lí)  (3)

Từ (2) và (3) $\Rightarrow \widehat{ABN}=\widehat{MNA}$ (4)

Từ (1) và (4) $\Rightarrow \widehat{MNA}=\widehat{ANH}$ (điều phải chứng minh).

Câu 2: Cho đường thẳng d không cắt đường tròn (O), vẽ đường kính CD vuông góc với d tại I. Kẻ tiếp tuyến IA với đường tròn (O). Đường thẳng CA cắt (d) tại B. Chứng minh IA = IB.

Lời giải:

Ta có:

$\widehat{CAD}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (do có CD là đường kính)

$\Rightarrow \widehat{CAD}$ là góc vuông

$\Rightarrow \widehat{CAD}=90°$

Xét tam giác CBI vuông tại I ta có:

$\widehat{BCI}+\widehat{CBI}=90°$ (hai góc nhọn phụ nhau)

$\Rightarrow \widehat{CBI}=90°-\widehat{BCI}$    (1)

Ta có:

$\widehat{DAB}=\widehat{DAI}+\widehat{IAB}$

$\iff 90°=\widehat{DAI}+\widehat{IAB}$

$\Rightarrow \widehat{IAB}=90°-\widehat{DAI}$ (2)

Lại có: $\widehat{ACD}$là góc nội tiếp chắn $\stackrel{⏜}{AD}$

$\widehat{DAI}$ là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn $\stackrel{⏜}{AD}$.

Do đó:

$\widehat{DAI}=\widehat{ACD}$ ( cùng chắn $\stackrel{⏜}{AD}$) 

Mà A, C, B thẳng hàng và C, D, I thẳng hàng nên

$\widehat{DAI}=\widehat{BCI}$   (3)

Từ (1) (2) (3) $\Rightarrow \widehat{IAB}=\widehat{CBI}$

Xét tam giác AIB có:

$\widehat{IAB}=\widehat{CBI}$

Do đó tam giác AIB cân tại I (dấu hiệu nhận biết)

=> IA = IB (tính chất).

Câu 3: Cho đường tròn (O; R) và dây AB (AB < 2R). Gọi P là điểm chính giữa cung nhỏ AB. Gọi C là điểm bất kỳ thuộc dây AB. PC cắt đường tròn tại D. Chứng minh PA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD.

Lời giải:

Ta có:

$\widehat{ADP}$ là góc nội tiếp của đường tròn (O) chắn cung $\stackrel{⏜}{AP}$.

$\widehat{BAP}$ là góc nội tiếp của đường tròn (O) chắn cung $\stackrel{⏜}{BP}$

Mà P là điểm chính giữa cung $\stackrel{⏜}{AB}$

=> sđ $\stackrel{⏜}{AP}$ = sđ $\stackrel{⏜}{BP}$

Do đó: $\widehat{ADP}$ = $\widehat{BAP}$ (hệ quả) (*)

Vẽ tia Ax là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC với A là tiếp điểm

$\Rightarrow \widehat{CA\text{}x}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và $\widehat{CA\text{}x}$ chắn cung $\stackrel{⏜}{CA}$

Lại có $\widehat{CDA}$ là góc nội tiếp của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDA và $\widehat{CDA}$chắn cung $\stackrel{⏜}{CA}$

Do đó $\widehat{CDA}=\widehat{CAx}$ (hệ quả) (**)

Mà $\widehat{CDA}$ chính là $\widehat{ADP}$. Kết hợp với (*) và (**)

$\Rightarrow \widehat{CA\text{}x}=\widehat{BAP}$

Hay Ax trùng với AP

=> AP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD với A là tiếp điểm.

Câu 4: Cho đường tròn (O; R), A là điểm cố định trên đường  tròn. Kẻ tiếp tuyến Ax với (O) và lấy M là điểm bất kỳ thuộc tia Ax. Vẽ tiếp tuyến thứ hai MB với đường tròn (O). Gọi I là trung điểm của MA, K là giao điểm của BI với (O).

a) Chứng minh tam giác IKA và tam giác IAB đồng dạng. Từ đó suy ra tam giác IKM đồng dạng với tam giác IMB.

b) Giả sử MK cắt (O) tại C. Chứng minh BC song song với MA.

Lời giải:

a) Ta có:

$\widehat{ABK}$ là góc nội tiếp chắn cung $\stackrel{⏜}{AK}$  (1)

$\widehat{KAI}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung $\stackrel{⏜}{AK}$   (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{ABK}=\widehat{KAI}$(hệ quả)

Xét tam giác IKA và tam giác IAB có:

$\widehat{AIK}$ chung

$\widehat{ABK}=\widehat{KAI}$ (chứng mnh trên)

Do đó $\Delta$IKA $~$$\Delta$IAB (g – g)

Chứng minh tương tự ta sẽ được $\Delta$IKM$~$$\Delta$IMB (c – g – c).

b) Từ câu a ta có $\Delta$IKM$~$$\Delta$IMB $\Rightarrow \widehat{IMK}=\widehat{KBM}$(hai góc tương ứng)   (3)

Lại có:

$\widehat{BCK}$ là góc nội tiếp chắn cung $\stackrel{⏜}{BK}$

$\widehat{KBM}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung $\stackrel{⏜}{BK}$

Do đó $\widehat{BCK}=\widehat{KBM}$(4)

Từ (3) và (4) $\Rightarrow \widehat{IMK}=\widehat{BCK}$

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên hai đường thẳng BC và AM song song với nhau.

Câu 5: Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại P. Biết $\widehat{APB}$ = 55^o. Tính số đo cung lớn AB.

Lời giải:

Câu 6: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M. Kẻ tiếp tuyến MN với đường tròn (O) tại N. Vẽ NH vuông góc với AB.

Chứng minh $\widehat{MNA}=\widehat{ANH}$.

Lời giải:

Câu 7: Cho hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M, biết $\widehat{AMB}={40}^o$.

a) Tính $\widehat{AMO}$ và $\widehat{AOM}$.

b) Tính số đo cung AB nhỏ và số đo cung AB lớn.

Lời giải:

a) Do MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M.

Vậy số đo cung AB nhỏ và số đo cung AB lớn lần lượt là 140^o và 220^o.

a) Chứng minh rằng khi cát tuyến quay xung quanh điểm A thì $\widehat{CBD}$ có số đo không đổi

b) Từ C và D vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn. Chứng minh rằng hai tiếp tuyến này hợp với nhau một góc có số đo không đổi khi cát tuyến CAD quay xung quanh điểm A.  

a)

Ta có:

$\widehat{ACB}=\frac{1}{2}$sđ$\stackrel{⏜}{AnB}$  (góc nội tiếp trong đường tròn (O))

$\widehat{ADB}=\frac{1}{2}$sđ$\stackrel{⏜}{AmB}$  (góc nội tiếp trong đường tròn (O’))

Vì điểm A, B cố định nên sđ$\stackrel{⏜}{AnB}$ , sđ$\stackrel{⏜}{AmB}$  không thay đổi

Vì vậy $\widehat{ACB}$ ,$\widehat{ADB}$  có số đo không đổi

Ta có:  $\widehat{CBD}+\widehat{ACB}+\widehat{ADB}={180}^o$

 $\Rightarrow \widehat{CBD}={180}^o-\left(\widehat{ACB}+\widehat{ADB}\right)$ không đổi do $\widehat{ACB}$ , $\widehat{ADB}$  có số đo không đổi (chứng minh trên)

Vậy số đo $\widehat{CBD}$  luôn không đổi khi cát tuyến CAD thay đổi.

b)

Trong đường tròn (O) ta có:

 $\widehat{ABC}=\widehat{MCA}$(hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung) (1)

Trong đường tròn (O’) ta có:

$\widehat{ABD}=\widehat{MDA}$ (hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: $\widehat{MCA}+\widehat{MDA}=\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=\widehat{CBD}$

Hay $\widehat{MCD}+\widehat{MDC}=\widehat{CBD}$  (không đổi do câu a)

Xét tam giác MCD có: $\widehat{CMD}={180}^o-\left(\widehat{MCD}+\widehat{MDC}\right)={180}^o-\widehat{CBD}$

Do đó,  $\widehat{CMD}$  không đổi do $\widehat{CBD}$  không đổi

Vậy $\widehat{CMD}$  không đổi.

Suy ra điều phải chứng minh.

a) Chứng minh rằng luôn có MT² = MA.MB và tích này không phụ thuộc vị trí của cát tuyến MAB.

b) Ở hình 2 khi cho MT = 20cm, MB = 50cm, tính bán kính đường tròn.

a)

Xét tam giác MTA và tam giác MTB có:

Góc M chung

 $\widehat{MTA}=\widehat{TBA}$ (hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây)

Hay $\widehat{MTA}=\widehat{TBM}$

Do đó, tam giác MAT đồng dạng với tam giác MTB (góc – góc)

$\Rightarrow \frac{MT}{MA}=\frac{MB}{MT}$

$\Rightarrow M{T}^2=MA.MB$

Vì $MA.MB=M{T}^2$  và MT là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên tích MA.MB không phụ thuộc vị trí của cát tuyến MAB.

b)

Gọi bán kính đường tròn (O) là R

MB = MA + AB = MA + 2R

 $M{T}^2=MA.MB$(chứng minh trên)

$\Rightarrow M{T}^2=\left(MB-2R\right).MB$

 $\Rightarrow R=\frac{M{B}^2-M{T}^2}{2MB}=\frac{{50}^2-{20}^2}{2.50}=21$(cm).

Điểm nhìn tối đa là tiếp tuyến kể từ mắt nhìn đến tiếp điểm của bề mặt trái đất (như hình vẽ)

Xét tam giác MTA và tam giác MTB có:

Góc M chung

 $\widehat{MTA}=\widehat{TBM}$ (hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung)

Do đó, tam giác MTA và tam giác MBT đồng dạng (góc – góc)

$\Rightarrow M{T}^2=MA.MB=MA.\left(MA+2R\right)$

MA là chiều cao của đỉnh núi nên MA = 1km ; R = 6400km

Thay số ta có:$M{T}^2=1.\left(1+2.6400\right)=12801$

 $\Rightarrow MT\approx 113,1$(km).

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB; AC với (O), B; C là hai tiếp điểm. Kẻ cát tuyến AMN với (O) (M nằm giữa A và N)

a) Chứng minh: $A{B}^2=AM.AN$

b) Gọi H là giao điểm của AO và BC. Chứng minh AH.AO = AM.AN.

c) Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Câu 2: Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC. Tiếp tuyến tại A cắt BC ở I.

a) Chứng minh: $\frac{IB}{IC}=\frac{A{B}^2}{A{C}^2}$.

b) Tính IA; IC biết AB = 20cm; AC = 28cm; BC = 24cm.

Câu 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại P.

a) Chứng minh tam giác PAC và tam giác PBA đồng dạng.

b) Chứng minh $P{A}^2=PB.PC$.

c) Tia phân giác trong của góc A cắt BC và (O) lần lượt tại D và M. Chứng minh $M{B}^2=MA.MD$.

Câu 4: Cho tam gác ABC nội tiếp đường tròn (O), At là tiếp tuyến của đường tròn (O). Đường thẳng song song với At cắt AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh AB.AM = AC.AN.

Câu 5: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Qua A vẽ tiếp tuyến Ax với (O) và cắt (O’) tại E. Qua A vẽ tiếp tuyến Ay với (O’) cắt (O) tại D. Chứng minh $A{B}^2=BD.BE$.

Câu 6: Cho hình thang ABCD (AB / CD) có $B{D}^2=AB.CD$. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD tiếp xúc với BC.

Câu 7: Cho hình vuông ABCD có cạnh 2cm. Tính bán kính của đường tròn đi qua A và B biết rằng đoạn tiếp tuyến kẻ từ D đến đường tròn đó bằng 4cm.

Câu 8: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC. Đường tròn (I) đi qua B và C, tiếp xúc với AB tại B cắt đường thẳng AC tại D. Chứng minh OA và BD vuông góc với nhau.

Câu 9: Cho hai đường tròn (O) và (I) cắt nhau ở C và D, trong đó tiếp tuyến chung MN song song với cát tuyến EDF, M và E thuộc (O), N và F thuộc (I), D nằm giữa E và F. Gọi K, H theo thứ tự là giao điểm của NC, MC với EF. Gọi G là giao điểm của EM, FN. Chứng minh:

a) Tam giác GMN và tam giác DMN bằng nhau.

b) GD là đường trung trực của KH.

Câu 10: Cho hình bình hành ABCD, $\widehat{A}\le 90°$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt AC ở E. Chứng minh BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB.

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn

Chuyên đề Cung chứa góc

Chuyên đề Tứ giác nội tiếp

Chuyên đề Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp

Chuyên đề Độ dài đường tròn, cung tròn