Chuyên đề Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung (2022) - Toán 9

Với Chuyên đề Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung (2022) - Toán 9 mới nhất được biên soạn bám sát chương trình Toán 9 giúp các bạn học tốt môn Toán hơn.

1 3235 lượt xem
Tải về


Chuyên đề Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung - Toán 9

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa

-  Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm trên đường tròn, một cạnh là một tia tiếp tuyến còn cạnh kia chứa dây cung của đường tròn.

Ví dụ 1. Cho đường tròn (O) có xy là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và dây cung AB như hình vẽ.

Lý thuyết Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Ta thấy BAx^ có đỉnh A nằm trên đường tròn (O) có Ax là tiếp tuyến và AB là dây cung của đường tròn.

Do đó BAx^ là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung.

Khi đó, BAx^ chắn cung nhỏ AB;

BAy^ chắn cung lớn AB.

2. Định lí

Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Ví dụ 2. Cho đường tròn (O) có xy là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và dây cung AB như hình vẽ.

Lý thuyết Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Khi đó, BAx^ và BAy^ là góc tạo bởi tiếp tiếp và dây cung lần lượt chắn AmB^ và AnB^. Do đó,

Lý thuyết Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

3. Hệ quả

Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Ví dụ 2. Cho đường tròn (O) như hình vẽ.

Lý thuyết Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Trong hình vẽ trên, ACB^ là góc nội tiếp chắn AB nên

Lý thuyết Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

BAx^ là góc tạo bởi dây cung và tiếp tuyến chắn AB nên  

Lý thuyết Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Góc ở hình nào dưới đây biểu diễn góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

A. Hình 1

B. Hình 2

C. Hình 3

D. Hình 4

Lời giải:

Cho đường tròn tâm (O) có Ax là tia tiếp tuyến tại điểm A và dây cung AB. Khi đó góc BAx là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Chọn đáp án A

Câu 2: Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung có số đo bằng

A. 90°

B. Số đo góc ở tâm chắn cung đó

C. Nửa số đo góc nội tiếp chắn cung đó

D. Nửa số đo cung bị chắn

Lời giải:

Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn

Chọn đáp án D

Câu 3: Kết luận nào sau đây là đúng

A. Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung có số đo lớn hơn góc nội tiếp chắn cung đó

B. Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung có số đo nhỏ hơn góc nội tiếp chắn cung đó

C. Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

D. Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung có số đo bằng hai lần số đo của góc nội tiếp chắn cung đó

Lời giải:

Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

Chọn đáp án C

Câu 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia đối AB lấy điểm M. Vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn . Gọi H là hình chiếu của C trên AB. CA là tia phân giác của góc nào dưới đây?

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Lời giải:

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Chọn đáp án B

Câu 5: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia đối AB lấy điểm M. Vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn . Gọi H là hình chiếu của C trên AB. Giả sử OA = a; MC = 2a . Độ dài CH

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Lời giải:

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Chọn đáp án C

Câu 6: Cho đường tròn tâm (O), điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M dựng tiếp tuyến MA đến đường tròn (O), dựng cát tuyến MBC. Đẳng thức nào sau đây đúng ?

A. MA2 = MB.MC

B. MB2 = MA.MC

C. MC2 = MA.MB

D. Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Lời giải:

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Chọn đáp án A.

Câu 7: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, dựng tiếp tuyến Bx với đường tròn.

Lấy P là điểm bất kì trên đường tròn, AP cắt Bx tại T. Tìm khẳng định sai

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Lời giải:

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Chọn đáp án B

Câu 8: Cho đường tròn (O) và dây BC = √2R. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại A. Tính góc Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

A. 45°

B. 30°

C. 60°

D. 750

Lời giải:

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Góc Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung BC nên:

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Chọn đáp án A.

Câu 9: Cho đường tròn (O; R) có dây BC không phải đường kính. Dựng hai tiếp tuyến tại B và C chúng cắt nhau tại A. Biết rằng Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án = 30° . Tính BC theo R?

A. BC = √3R

B. BC = √2R

C. BC = R

D. Đáp án khác

Lời giải:

Ta có:

Góc Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung BC nên:

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Chọn đáp án C.

Câu 10: Cho đường tròn (O; R) và dây BC. Dựng hai tiếp tuyến tại C và B cắt nhau tại A. Biết rằng Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án = 60° . Tính AB

A. R

B. R√3

C. R√2

D. 2R

Lời giải:

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Chọn đáp án B.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M. Kẻ tiếp tuyến MN với đường tròn (N là tiếp điểm). Vẽ NH vuông góc với AB. Chứng minh MNA^=ANH^.

Lời giải:

Tài liệu VietJack

Vì ANB^ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (AB là đường kính)

ANB^là góc vuông (hệ quả)

Xét tam giác ANH và tam giác ABN có:

A^ chung

ANB^=NHA^=90°

Do đó ΔANH đồng dạng với ΔABN (g – g)

ANH^=ABN^ (hai góc tương ứng)    (1)

Lại có MN là tiếp tuyến của đường tròn (O) với N là tiếp điểm

MNA^ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.

MNA^=12AN  (định lí) (2)

Lại có ABN^ là góc nội tiếp chắn cung AN

ABN^=12AN (định lí)  (3)

Từ (2) và (3) ABN^=MNA^ (4)

Từ (1) và (4) MNA^=ANH^ (điều phải chứng minh).

Câu 2: Cho đường thẳng d không cắt đường tròn (O), vẽ đường kính CD vuông góc với d tại I. Kẻ tiếp tuyến IA với đường tròn (O). Đường thẳng CA cắt (d) tại B. Chứng minh IA = IB.

Lời giải:

Tài liệu VietJack

Ta có:

CAD^ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (do có CD là đường kính)

CAD^ là góc vuông

CAD^=90°

Xét tam giác CBI vuông tại I ta có:

BCI^+CBI^=90° (hai góc nhọn phụ nhau)

CBI^=90°BCI^    (1)

Ta có:

DAB^=DAI^+IAB^

90°=DAI^+IAB^

IAB^=90°DAI^ (2)

Lại có: ACD^là góc nội tiếp chắn AD

DAI^ là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn AD.

Do đó:

DAI^=ACD^ ( cùng chắn AD

Mà A, C, B thẳng hàng và C, D, I thẳng hàng nên

DAI^=BCI^   (3)

Từ (1) (2) (3) IAB^=CBI^

Xét tam giác AIB có:

IAB^=CBI^

Do đó tam giác AIB cân tại I (dấu hiệu nhận biết)

=> IA = IB (tính chất).

Câu 3: Cho đường tròn (O; R) và dây AB (AB < 2R). Gọi P là điểm chính giữa cung nhỏ AB. Gọi C là điểm bất kỳ thuộc dây AB. PC cắt đường tròn tại D. Chứng minh PA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD.

Lời giải:

Tài liệu VietJack

Ta có:

ADP^ là góc nội tiếp của đường tròn (O) chắn cung AP.

BAP^ là góc nội tiếp của đường tròn (O) chắn cung BP

Mà P là điểm chính giữa cung AB

=> sđ AP = sđ BP

Do đó: ADP^ = BAP^ (hệ quả) (*)

Vẽ tia Ax là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC với A là tiếp điểm

CAx^ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và CAx^ chắn cung CA

Lại có CDA^ là góc nội tiếp của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDA và CDA^chắn cung CA

Do đó CDA^=CAx^ (hệ quả) (**)

Mà CDA^ chính là ADP^. Kết hợp với (*) và (**)

CAx^=BAP^

Hay Ax trùng với AP

=> AP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD với A là tiếp điểm.

Câu 4: Cho đường tròn (O; R), A là điểm cố định trên đường  tròn. Kẻ tiếp tuyến Ax với (O) và lấy M là điểm bất kỳ thuộc tia Ax. Vẽ tiếp tuyến thứ hai MB với đường tròn (O). Gọi I là trung điểm của MA, K là giao điểm của BI với (O).

a) Chứng minh tam giác IKA và tam giác IAB đồng dạng. Từ đó suy ra tam giác IKM đồng dạng với tam giác IMB.

b) Giả sử MK cắt (O) tại C. Chứng minh BC song song với MA.

Lời giải:

Tài liệu VietJack

a) Ta có:

ABK^ là góc nội tiếp chắn cung AK  (1)

KAI^ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung AK   (2)

Từ (1) và (2) ABK^=KAI^(hệ quả)

Xét tam giác IKA và tam giác IAB có:

AIK^ chung

ABK^=KAI^ (chứng mnh trên)

Do đó ΔIKA ~ΔIAB (g – g)

Chứng minh tương tự ta sẽ được ΔIKM~ΔIMB (c – g – c).

b) Từ câu a ta có ΔIKM~ΔIMB IMK^=KBM^(hai góc tương ứng)   (3)

Lại có:

BCK^ là góc nội tiếp chắn cung BK

KBM^ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung BK

Do đó BCK^=KBM^(4)

Từ (3) và (4) IMK^=BCK^

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên hai đường thẳng BC và AM song song với nhau.

Câu 5: Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại P. Biết APB^ = 55o. Tính số đo cung lớn AB.

Lời giải:

Lý thuyết Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Lý thuyết Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Câu 6: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M. Kẻ tiếp tuyến MN với đường tròn (O) tại N. Vẽ NH vuông góc với AB.

Chứng minh MNA^=ANH^.

Lời giải:

Lý thuyết Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Lý thuyết Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Câu 7: Cho hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M, biết AMB^=40o.

a) Tính AMO^ và AOM^.

b) Tính số đo cung AB nhỏ và số đo cung AB lớn.

Lời giải:

Lý thuyết Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

a) Do MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M.

Lý thuyết Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Lý thuyết Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Vậy số đo cung AB nhỏ và số đo cung AB lớn lần lượt là 140o và 220o.

Câu 8: Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Qua A vẽ cát tuyến CAD với hai đường tròn (C  (O), D  (O’)).

a) Chứng minh rằng khi cát tuyến quay xung quanh điểm A thì CBD^ có số đo không đổi

b) Từ C và D vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn. Chứng minh rằng hai tiếp tuyến này hợp với nhau một góc có số đo không đổi khi cát tuyến CAD quay xung quanh điểm A.  

Lời giải:

a)

Ta có:

ACB^=12AnB  (góc nội tiếp trong đường tròn (O))

ADB^=12AmB  (góc nội tiếp trong đường tròn (O’))

Vì điểm A, B cố định nên sđAnB , sđAmB  không thay đổi

Vì vậy ACB^ ,ADB^  có số đo không đổi

Ta có:  CBD^+ACB^+ADB^=180o

 CBD^=180oACB^+ADB^ không đổi do ACB^ ADB^  có số đo không đổi (chứng minh trên)

Vậy số đo CBD^  luôn không đổi khi cát tuyến CAD thay đổi.

b)

Trong đường tròn (O) ta có:

 ABC^=MCA^(hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung) (1)

Trong đường tròn (O’) ta có:

ABD^=MDA^ (hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: MCA^+MDA^=ABC^+ABD^=CBD^

Hay MCD^+MDC^=CBD^  (không đổi do câu a)

Xét tam giác MCD có: CMD^=180oMCD^+MDC^=180oCBD^

Do đó,  CMD^  không đổi do CBD^  không đổi

Vậy CMD^  không đổi.

Suy ra điều phải chứng minh.

Câu 9: Từ một điểm M cố định ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ một tiếp tuyến MT và một cát tuyến MAB của đường tròn đó.

a) Chứng minh rằng luôn có MT= MA.MB và tích này không phụ thuộc vị trí của cát tuyến MAB.

b) Ở hình 2 khi cho MT = 20cm, MB = 50cm, tính bán kính đường tròn.

Lời giải:

a)

Xét tam giác MTA và tam giác MTB có:

Góc M chung

 MTA^=TBA^ (hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây)

Hay MTA^=TBM^

Do đó, tam giác MAT đồng dạng với tam giác MTB (góc – góc)

MTMA=MBMT

MT2=MA.MB

Vì MA.MB=MT2  và MT là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên tích MA.MB không phụ thuộc vị trí của cát tuyến MAB.

b)

Gọi bán kính đường tròn (O) là R

MB = MA + AB = MA + 2R

 MT2=MA.MB(chứng minh trên)

MT2=MB2R.MB

 R=MB2MT22MB=5022022.50=21(cm).

Câu 10: Ngồi trên đỉnh núi cao 1 km thì có thể nhìn thấy một địa điểm T trên mặt đất với khoảng cách tối đa là bao nhiêu ? Biết rằng bán kính Trái Đất gần bằng 6400 km (h.3).

Lời giải:

Điểm nhìn tối đa là tiếp tuyến kể từ mắt nhìn đến tiếp điểm của bề mặt trái đất (như hình vẽ)

Xét tam giác MTA và tam giác MTB có:

Góc M chung

 MTA^=TBM^ (hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung)

Do đó, tam giác MTA và tam giác MBT đồng dạng (góc – góc)

MT2=MA.MB=MA.MA+2R

MA là chiều cao của đỉnh núi nên MA = 1km ; R = 6400km

Thay số ta có:MT2=1.1+2.6400=12801

 MT113,1(km).

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB; AC với (O), B; C là hai tiếp điểm. Kẻ cát tuyến AMN với (O) (M nằm giữa A và N)

a) Chứng minh: AB2=AM.AN

b) Gọi H là giao điểm của AO và BC. Chứng minh AH.AO = AM.AN.

c) Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Câu 2: Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC. Tiếp tuyến tại A cắt BC ở I.

a) Chứng minh: IBIC=AB2AC2.

b) Tính IA; IC biết AB = 20cm; AC = 28cm; BC = 24cm.

Câu 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại P.

a) Chứng minh tam giác PAC và tam giác PBA đồng dạng.

b) Chứng minh PA2=PB.PC.

c) Tia phân giác trong của góc A cắt BC và (O) lần lượt tại D và M. Chứng minh MB2=MA.MD.

Câu 4: Cho tam gác ABC nội tiếp đường tròn (O), At là tiếp tuyến của đường tròn (O). Đường thẳng song song với At cắt AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh AB.AM = AC.AN.

Câu 5: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Qua A vẽ tiếp tuyến Ax với (O) và cắt (O’) tại E. Qua A vẽ tiếp tuyến Ay với (O’) cắt (O) tại D. Chứng minh AB2=BD.BE.

Câu 6: Cho hình thang ABCD (AB / CD) có BD2=AB.CD. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD tiếp xúc với BC.

Câu 7: Cho hình vuông ABCD có cạnh 2cm. Tính bán kính của đường tròn đi qua A và B biết rằng đoạn tiếp tuyến kẻ từ D đến đường tròn đó bằng 4cm.

Câu 8: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC. Đường tròn (I) đi qua B và C, tiếp xúc với AB tại B cắt đường thẳng AC tại D. Chứng minh OA và BD vuông góc với nhau.

Câu 9: Cho hai đường tròn (O) và (I) cắt nhau ở C và D, trong đó tiếp tuyến chung MN song song với cát tuyến EDF, M và E thuộc (O), N và F thuộc (I), D nằm giữa E và F. Gọi K, H theo thứ tự là giao điểm của NC, MC với EF. Gọi G là giao điểm của EM, FN. Chứng minh:

a) Tam giác GMN và tam giác DMN bằng nhau.

b) GD là đường trung trực của KH.

Câu 10: Cho hình bình hành ABCD, A^90°. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt AC ở E. Chứng minh BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB.

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn

Chuyên đề Cung chứa góc

Chuyên đề Tứ giác nội tiếp

Chuyên đề Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp

Chuyên đề Độ dài đường tròn, cung tròn

1 3235 lượt xem
Tải về


Xem thêm các chương trình khác: