Chuyên đề Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai (2022) - Toán 9

Chuyên đề Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai - Toán 9

A. Lý thuyết

1. Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn

• Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có: $\sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b}$. Phép biến đổi này được gọi là phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn.

• Đôi khi, ta phải biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng thích hợp rồi mới thực hiện được phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn.

• Có thể sử dụng phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai.

Ví dụ 1.

a) $\sqrt{3^2.5}=\sqrt{3^2}.\sqrt{5}=3\sqrt{5}$;

b)$$\begin{gathered} \sqrt{18}=\sqrt{9.2} \\ =\sqrt{3^2}.\sqrt{2}=3\sqrt{2} \end{gathered}$$

Tổng quát: Với hai biểu thức A, B mà B ≥ 0 ta có $\sqrt{A^2.B}=\left|A\right|\sqrt{B}$, tức là: 

Nếu A ≥ 0 và B ≥ 0 thì $\sqrt{A^{2}B}=A\sqrt{B}$;

Nếu A < 0 và B ≥ 0 thì $\sqrt{A^{2}B}=-A\sqrt{B}$.

Ví dụ 2. Đưa thừa số ra ngoài căn:

a) $\sqrt{9x{y}^2}$với x ≥ 0, y < 0;

b) $\sqrt{20x^{2}y}$với x ≥ 0, y ≥ 0.

Lời giải:

a)$$\begin{gathered} \sqrt{9x{y}^2}=\sqrt{{\left(3y\right)}^{2}x} \\ =\left|3y\right|\sqrt{x}=-3y|\sqrt{x} \end{gathered}$$

(với x ≥ 0, y < 0);

b)

$$\begin{gathered} \sqrt{20x^{2}y}=\sqrt{4x^2.5y} \\ =\sqrt{{\left(2x\right)}^2.5y} \end{gathered}$$

$=\left|2x\right|\sqrt{5y}=x\sqrt{5y}$

 (với x ≥ 0, y ≥ 0).

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

• Phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn có phép biến đổi ngược với nó là phép đưa thừa số vào trong dấu căn.

Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì $A\sqrt{B}=\sqrt{A^{2}B}$.

Với A < 0 và B ≥ 0 thì $A\sqrt{B}=-\sqrt{A^{2}B}$.

Ví dụ 2. Đưa thừa số vào trong căn:

a) $5\sqrt{2}$;

b) $2a^2\sqrt{3a}$ với a ≥ 0.

Lời giải:

a) $$\begin{gathered} 5\sqrt{2}=\sqrt{5^2.2} \\ =\sqrt{25.2}=\sqrt{50} \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} 2a^2\sqrt{3a}=\sqrt{{\left(2a^2\right)}^2.3a} \\ =\sqrt{4a^4.3a}=\sqrt{12a^5} \end{gathered}$$

với a ≥ 0.

• Có thể sử dụng phép đưa thừa số vào trong (hoặc ra ngoài) dấu căn để so sánh các căn bậc hai.

Ví dụ 3. So sánh $3\sqrt{5}$ và $\sqrt{18}$.

Lời giải:

Ta có: $3\sqrt{5}=\sqrt{3^2.5}=\sqrt{45}$.

Vì $\sqrt{45}>\sqrt{18}$ nên $3\sqrt{5}>\sqrt{18}$.

3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

Tổng quát: Với các biểu thức A, B mà A.  B ≥ 0 và B ≠ 0, ta có:

$\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{AB}}{\left|B\right|}$.

Ví dụ 4. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

a) $\sqrt{\frac{3}{7}}$;

b) $\sqrt{\frac{11}{9a^3}}$ với a > 0

Lời giải:

a)$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{3}{7}}=\sqrt{\frac{3.7}{7.7}} \\ =\frac{\sqrt{3.7}}{\sqrt{7^2}}=\frac{\sqrt{21}}{7} \end{gathered}$$

b) Vì a > 0 nên 3a > 0. Do đó |3a| = 3a;

Vì a > 0 nên 9a³ > 0. Do đó |9a³| > 9a³.

Khi đó,

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{11}{9a^3}}=\sqrt{\frac{11.9a^3}{9a^3.9a^3}} \\ =\frac{\sqrt{11a.9a^2}}{\sqrt{{\left(9a^3\right)}^2}}=\frac{\sqrt{11a}.\sqrt{9a^2}}{\left|9a^3\right|} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} =\frac{\left|3a\right|\sqrt{11a}}{\left|9a^3\right|}=\frac{3a\sqrt{11a}}{9a^3} \\ =\frac{\sqrt{11a}}{3a^2} \end{gathered}$$

4. Trục căn thức ở mẫu

Trục căn thức ở mẫu số là biến đổi để biểu thức đó mất căn thức ở mẫu số.

Tổng quát:

• Với các biểu thức A, B mà B > 0 ta có: 

$\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{A\sqrt{B}}{B}$.

• Với các biểu thức A, B, C mà A ≥ 0, A ≠ B², ta có:

$\frac{C}{\sqrt{A}\pm B}=\frac{C(\sqrt{A}\mp B)}{A-B^2}$.

• Với các biểu thức A, B, C mà A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B ta có:

$\frac{C}{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}\mp \sqrt{B})}{A-B}$.

Ví dụ 5. Trục căn thức ở mẫu

a) $\frac{9}{\sqrt{2}-1}$;

b) $\frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$ .

Lời giải:

a) $\frac{9}{\sqrt{2}-1}=\frac{9(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}$

$$\begin{gathered} =\frac{9\sqrt{2}+9}{2-1}=\frac{9\sqrt{2}+9}{1} \\ =9\sqrt{2}+9 \end{gathered}$$

b) $\frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}=\frac{4(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})}$

$=\frac{4(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{4}=\sqrt{7}+\sqrt{3}$

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Kết quả của biểu thức rút gọn C = √125 - 3√45 + 2√20 ?

A. √5.     B. 0.     C. -√5.     D. 2√5.

Lời giải:

Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn

Ta có:

Chọn đáp án B.

Câu 2: Kết quả so sánh nào sau đây đúng ?

Lời giải:

Đưa thừa số vào trong dấu căn để sao sánh

Chọn đáp án A.

Câu 3: Rút gọn biểu thức  với a > 0 ?

A. 3a B. a√3 C. 3√a D. a/√3

Lời giải:

Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn

Ta có:

Chọn đáp án C.

Câu 4: Rút gọn biểu thức

Lời giải:

Trục căn thức ở mẫu

Ta có:

Chọn đáp án C.

Câu 5: Cho biểu thức

Tìm giá trị của a để A - 1/A = 0?

A. a = 5     B. a = 3     C. a = 36     D. a = 25

Lời giải:

Ta có:

Ta có:

Chọn đáp án D.

Câu 6: Tính 

A. 1

B. 0

C.√2

D.2√2

Lời giải:

Chọn đáp án B.

Câu 7: Tính 

Lời giải:

Chọn đáp án C.

Câu 8: Tính 

A. 0

B. 1

C. 2

D.3

Lời giải:

Chọn đáp án A.

Câu 9: Tìm x biết: 

A. x = 2

B. x = 5

C. x = 10

D. x = 125

Lời giải:

Chọn đáp án B.

Câu 10: Rút gọn:  (với x ≥ 0; y ≥ 0; x ≠ y )

Lời giải:

Với x ≥ 0; y ≥ 0; x ≠ y , áp dụng đưa thừa số ra ngoài dấu căn, ta có

Chọn đáp án A.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: So sánh:

a) $5\sqrt{2}$ và $\sqrt{38}$;

b) $4\sqrt{3}$ và 8.

Lời giải:

a) Ta có:

$$\begin{gathered} 5\sqrt{2}=\sqrt{5^2.2} \\ =\sqrt{25.2}=\sqrt{50} \end{gathered}$$

Vì 50 > 38 nên $\sqrt{50}>\sqrt{38}$hay $5\sqrt{2}>\sqrt{38}$.

Vậy $5\sqrt{2}>\sqrt{38}$.

b) Ta có:

$$\begin{gathered} 4\sqrt{3}=\sqrt{4^2.3} \\ =\sqrt{16.3}=\sqrt{48} \end{gathered}$$

$8=\sqrt{8^2}=\sqrt{64}$;

Vì 48 < 64 nên $\sqrt{48}<\sqrt{64}$ hay $4\sqrt{3}<8$.

Vậy $4\sqrt{3}<8$.

Câu 2:  Rút gọn

a) $\frac{5}{x^2-y^2}\sqrt{\frac{2{(x+y)}^2}{5}}$ với x ≥ 0, y ≥ 0 và x ≠ y;

b) $\frac{3}{a-2}\sqrt{6a^2(a^2-4a+4)}$ với a > 2.

Lời giải:

a) Vì x ≥ 0 và y ≥ 0 nên x + y ≥ 0.

Khi đó, |x + y| = x + y.

Ta có:

$$\begin{gathered} \frac{5}{x^2-y^2}\sqrt{\frac{2{(x+y)}^2}{5}} \\ =\frac{5}{x^2-y^2}\sqrt{\frac{2}{5}.{(x+y)}^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} =\frac{5}{x^2-y^2}.\sqrt{\frac{2}{5}}.\sqrt{{(x+y)}^2} \\ =\frac{|x+y|}{(x+y)(x-y)}.5.\sqrt{\frac{2}{5}} \end{gathered}$$

$=\frac{(x+y)}{(x+y)(x-y)}.\sqrt{\frac{5^2.3}{5}}$

$=\frac{1}{x-y}.\sqrt{15}=\frac{\sqrt{15}}{x-y}$

b) Ta có: $\frac{3}{a-2}\sqrt{6a^2(a^2-4a+4)}$

$=\frac{3}{a-2}\sqrt{6a^2(a^2-2.2.a+2^2)}$

$=\frac{3}{a-2}\sqrt{6a^2{(a-2)}^2}$

$=\frac{3}{a-2}.\sqrt{6}.\sqrt{a^2}.\sqrt{{(a-2)}^2}$

$=\frac{3}{a-2}.\sqrt{6}.\left|a\right|.|a-2|$

Vì a > 2 nên a > 0 suy ra |a| = a.

Vì a > 2 nên |a – 2| = a – 2.

Do đó,

$$\begin{gathered} \frac{3}{a-2}.\sqrt{6}.\left|a\right|.|a-2| \\ =\frac{3}{a-2}.\sqrt{6}.a.(a-2) \end{gathered}$$

$=3a\sqrt{6}$

Vậy $\frac{3}{a-2}\sqrt{6a^2(a^2-4a+4)}=3a\sqrt{6}$ .

Câu 3: Cho biểu thức

 (với x ≥ 0; x ≠ 1 và x ≠ 1/4).

Tìm tất cả các giá trị của x để B < 0.

Lời giải:

Ta có:

Kết hợp điều kiện ta có x ∈ [0; 1/4].

Câu 4: Giải các phương trình sau:

Lời giải:

a) Điều kiện xác định:

Kết hợp (1), (4), (*) và (**) ta có điều kiện xác định: x ≤ 1

Ta có

b) Điều kiện xác định: .

So sánh điều kiện ta có: x = -7; x = 2 (t/m). Vậy S = {-7; 2}.

c) Điều kiện xác định x ∈ [0; 1]\{1/2}.

Ta có:

Từ (*) và (**) suy ra phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy S = {0; 1}.

Câu 5: Rút gọn các biểu thức sau:

Lời giải:

a) Ta có:

b) Ta có

Khi đó: .

Câu 6: Chứng minh rằng

 (n ∈ N; n ≥ 2)

Lời giải:

Câu 7: Rút gọn biểu thức

a) $\sqrt{2}+\sqrt{8}+\sqrt{50}$;

b) $4\sqrt{3}+\sqrt{27}-\sqrt{45}+\sqrt{5}$.

Lời giải

a) $\sqrt{2}+\sqrt{8}+\sqrt{50}=\sqrt{2}+\sqrt{2^2.2}+\sqrt{5^2.2}$

= $\sqrt{2}+2\sqrt{2}+5\sqrt{2}=8\sqrt{2}$

b) $4\sqrt{3}+\sqrt{27}-\sqrt{45}+\sqrt{5}=4\sqrt{3}+\sqrt{3^2.3}-\sqrt{3^2.5}+\sqrt{5}$

= $4\sqrt{3}+3\sqrt{3}-3\sqrt{5}+\sqrt{5}=7\sqrt{3}-2\sqrt{5}$.

Câu 8: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

a) $\sqrt{\left(28a^4.b^2\right)}$ với b ≥ 0;

b) $\sqrt{\left(72a^2.b^4\right)}$ với a < 0.

Lời giải

a) $\sqrt{\left(28a^4.b^2\right)}=\sqrt{{\left(2a^{2}b\right)}^2.7}=\sqrt{7}.\left|2a^{2}b\right|=2\sqrt{7}{a}^{2}b$ (do b ≥ 0)

b) $\sqrt{\left(72a^2.b^4\right)}=\sqrt{{\left(6a{b}^2\right)}^2.2}=\sqrt{2}.\left|6a{b}^2\right|=-6\sqrt{2}a{b}^2$ (do a < 0)

Câu 9: Với a ≥ 0, b ≥ 0, chứng tỏ $\sqrt{\left(a^{2}b\right)}=a\sqrt{b}$.

Lời giải

$\sqrt{\left(a^{2}b\right)}=\sqrt{a^2}.\sqrt{b}=\left|a\right|\sqrt{b}=a\sqrt{b}$ (do a ≥ 0;b ≥ 0)

Câu 10: Rút gọn biểu thức

a) $\sqrt{2}+\sqrt{8}+\sqrt{50}$;

b) $4\sqrt{3}+\sqrt{27}-\sqrt{45}+\sqrt{5}$.

Lời giải

a) $\sqrt{2}+\sqrt{8}+\sqrt{50}=\sqrt{2}+\sqrt{2^2.2}+\sqrt{5^2.2}$

= $\sqrt{2}+2\sqrt{2}+5\sqrt{2}=8\sqrt{2}$

b) $4\sqrt{3}+\sqrt{27}-\sqrt{45}+\sqrt{5}=4\sqrt{3}+\sqrt{3^2.3}-\sqrt{3^2.5}+\sqrt{5}$

= $4\sqrt{3}+3\sqrt{3}-3\sqrt{5}+\sqrt{5}=7\sqrt{3}-2\sqrt{5}$.

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho biểu thức

 (với x ≥ 0; x ≠ 1 và x ≠ 1/4).

Tìm tất cả các giá trị của x để B < 0.

Câu 2: Giải các phương trình sau:

Câu 3: Rút gọn các biểu thức sau:

Câu 4: Rút gọn biểu thức

Câu 5: Cho biểu thức

Tìm giá trị của a để A - 1/A = 0?

A. a = 5 B. a = 3 C. a = 36 D. a = 25

Câu 6: Cho biểu thức

 (với x ≥ 0; x ≠ 1 và x ≠ 1/4).

Tìm tất cả các giá trị của x để B < 0.

Câu 7: Giải các phương trình sau:

Câu 8: Rút gọn các biểu thức sau:

Câu 9: Chứng minh rằng

 (n ∈ N; n ≥ 2)

Câu 10: Viết các số hoặc biểu thức dưới dấu căn thành dạng tích rồi đưa thừa số ra ngoài dấu căn.

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Chuyên đề Căn bậc ba

Chuyên đề Ôn tập chương 1

Chuyên đề Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số

Chuyên đề Hàm số bậc nhất