Chuyên đề Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương (2022) - Toán 9

Chuyên đề Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương - Toán 9

A. Lý thuyết

1. Căn bậc hai của một thương

Định lí. Với số a không âm và số b dương, ta có: $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

Ví dụ 1. Tính:

a) $\sqrt{\frac{144}{25}}$;

b) $\sqrt{\frac{144}{25}}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{\frac{144}{25}}=\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{25}}=\frac{12}{5}$;

b) $\sqrt{\frac{64}{121}}=\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{121}}=\frac{8}{11}$.

2. Quy tắc khai phương một thương

Muốn khai phương một thương $\frac{a}{b}$, trong đó số a không âm và số b dương, ta có thể lần lượt khai phương của các số a và số b, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} (với a \ge 0, b > 0).$

Ví dụ 2. Áp dụng quy tắc khai phương một thương, hãy tính:

a) $\sqrt{\frac{49}{144}}$;

b) $\sqrt{\frac{25}{64}:\frac{49}{16}}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{\frac{49}{144}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{144}}=\frac{7}{12}$;

b)

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{25}{64}:\frac{49}{16}}=\sqrt{\frac{25}{64}}:\sqrt{\frac{49}{16}} \\ =\frac{5}{8}:\frac{7}{4}=\frac{5}{14} \end{gathered}$$

3. Quy tắc chia hai căn bậc hai

Muốn chia hai căn bậc hai của số a không âm và số b dương, ta có thể lấy số a chia cho số b rồi khai phương kết quả vừa tìm được.

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$(với a ≥ 0, b > 0).

Ví dụ 3. Tính:

a) $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$;

b) $\sqrt{6\frac{3}{4}}:\sqrt{2\frac{1}{12}}$.

Lời giải:

a) $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{75}{3}}=\sqrt{25}=5$.

b)

$$\begin{gathered} \sqrt{6\frac{3}{4}}:\sqrt{2\frac{1}{12}}=\sqrt{\frac{27}{4}}:\sqrt{\frac{25}{12}} \\ =\sqrt{\frac{27}{4}:\frac{25}{12}} \end{gathered}$$

$=\sqrt{\frac{27}{4}.\frac{12}{25}}=\sqrt{\frac{81}{25}}=\frac{9}{5}$

Chú ý. Một cách tổng quát, với biểu thức A không âm và biểu thức B dương, ta có: $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$.

Ví dụ 4. Rút gọn biểu thức:

a) $\sqrt{\frac{9a^2}{64}}$;

b) $\frac{\sqrt{63a}}{\sqrt{7a}}$với a > 0.

Lời giải:

a)

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{9a^2}{64}}=\frac{\sqrt{9a^2}}{\sqrt{64}} \\ =\frac{\sqrt{9}.\sqrt{a^2}}{\sqrt{64}}=\frac{3}{8}\left|a\right| \end{gathered}$$

b) $\frac{\sqrt{63a}}{\sqrt{7a}}=\sqrt{\frac{63a}{7a}}=\sqrt{9}=3$với a > 0.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Giá trị của biểu thức  khi rút gọn là?

A. -xy2

B. xy2

C. -x2y

D. x2y

Ta có:Chọn đáp án C.

Câu 2: Nghiệm của phương trình 

Ta có:Chọn đáp án D.Câu 3: Giá trị của x trong phương trình 

A. 10

B. 10 và -6

C. -6

D. -8

Ta có:Chọn đáp án B.Câu 4: Nghiệm của phương trình 

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Ta có:Chọn đáp án C.Câu 5: Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức sau  là?

Ta có:Chọn đáp án D.Câu 6: Rút gọn biểu thức  với a>0; b> 0; ta được kết quả:

A. 9a

B.9a2

C.-3a

D. 3a

Ta có:Chọn đáp án D.

Câu 7: Rút gọn biểu thức  với a > 0; b < 0 ta được kết quả:

Ta có:Chọn đáp án B.Câu 8: Rút gọn biểu thức  với y < 1; x ≠ 1 ta được kết quả:

Ta có:Chọn đáp án C.

Câu 9: Rút gọn biểu thức  với x > y > 0 ; ta được kết quả:

Ta có:Chọn đáp án A.

Câu 10: Tính 

Ta có:Chọn đáp án B.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu1: Tính:

a) $\sqrt{\frac{121}{256}}$;

b) $\sqrt{1\frac{15}{49}}$;

c) $\sqrt{\frac{\mathrm{4,9}}{\mathrm{16,9}}}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{\frac{121}{256}}=\frac{\sqrt{121}}{\sqrt{256}}=\frac{11}{16}$.

b) $\sqrt{1\frac{15}{49}}=\sqrt{\frac{64}{49}}=\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{49}}=\frac{8}{7}$;

c)

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{\mathrm{4,9}}{\mathrm{16,9}}}=\sqrt{\frac{49}{169}} \\ =\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{169}}=\frac{7}{13} \end{gathered}$$

Câu 2: Tính:

a) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{48}}$;

b) $\frac{\sqrt{245}}{\sqrt{5}}$;

c) $\frac{\sqrt{{24}^7}}{\sqrt{3^5.8^7}}$.

Lời giải:

a)

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{48}}=\sqrt{\frac{3}{48}} \\ =\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4} \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt{245}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{245}{5}} \\ =\sqrt{49}=7 \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt{{24}^7}}{\sqrt{3^5.8^7}}=\sqrt{\frac{{24}^7}{3^5.8^7}} \\ =\sqrt{\frac{3^7.8^7}{3^5.8^7}} \end{gathered}$$

$=\sqrt{\frac{3^7}{3^5}}=\sqrt{3^2}=3$

Câu 3: Rút gọn biểu thức:

a) $\frac{x}{y}.\sqrt{\frac{9x^2}{y^4}}$ với x < 0, y ≠ 0;

b) $3xy.\sqrt{\frac{36x^4}{y^2}}$với y > 0;

c) $2x{y}^3.\sqrt{\frac{64}{x^2{y}^4}}$với x > 0, y ≠ 0.

Lời giải:

a) Ta có: $\frac{x}{y}.\sqrt{\frac{9x^2}{y^4}}=\frac{x}{y}.\frac{\sqrt{9x^2}}{\sqrt{y^4}}$

$$\begin{gathered} =\frac{x}{y}.\frac{\sqrt{9}.\sqrt{x^2}}{\sqrt{{\left(y^2\right)}^2}} \\ =\frac{x}{y}.\frac{3\left|x\right|}{\left|y^2\right|} \end{gathered}$$

Vì x < 0 nên |x| = − x.

Vì y ≠ 0 nên y² > 0. Suy ra | y² | = y².

Do đó

$$\begin{gathered} \frac{x}{y}.\frac{3\left|x\right|}{\left|y^2\right|}=\frac{x}{y}.\frac{3.(-x)}{y^2} \\ =\frac{-3x^2}{y^3} \end{gathered}$$ 

Vậy $\frac{x}{y}.\sqrt{\frac{9x^2}{y^4}}=\frac{-3x^2}{y^3}$ với x < 0, y ≠ 0.

b) 

$$\begin{gathered} 3xy.\sqrt{\frac{36x^4}{y^2}}=3xy.\frac{\sqrt{36x^4}}{\sqrt{y^2}} \\ =3xy.\frac{\sqrt{6^2.{\left(x^2\right)}^2}}{\sqrt{y^2}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} =3xy.\frac{\sqrt{{\left(6x^2\right)}^2}}{\sqrt{y^2}} \\ =3xy.\frac{\left|6x^2\right|}{\left|y\right|} \end{gathered}$$

Vì x² ≥ 0 nên | x² | = x².

Vì y > 0 nên |y| = y.

Do đó

$$\begin{gathered} 3xy.\frac{\left|6x^2\right|}{\left|y\right|} \\ =3xy.\frac{6x^2}{y}=18x^3 \end{gathered}$$

Vậy $3xy.\sqrt{\frac{36x^4}{y^2}}=18x^3$  với y > 0.

c) $2x{y}^3.\sqrt{\frac{64}{x^2{y}^4}}=2x{y}^3.\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{x^2{y}^4}}$

$$\begin{gathered} =2x{y}^3.\frac{\sqrt{8^2}}{\sqrt{x^2}.\sqrt{{\left(y^2\right)}^2}} \\ =2x{y}^3.\frac{8}{\left|x\right|.\left|y^2\right|} \end{gathered}$$

Vì x > 0 nên |x| = x.

Vì y ≠ 0 nên y² > 0. Suy ra | y² | = y².

Do đó $2x{y}^3.\frac{8}{\left|x\right|.\left|y^2\right|}=2x{y}^3.\frac{8}{x{y}^2}=16y$.

Vậy $2x{y}^3.\sqrt{\frac{64}{x^2{y}^4}}=16y$ với x > 0, y ≠ 0.

Câu 4: Với nội dung quy tắc căn bậc hai, hãy tìm giá trị hợp lý của các biểu thức dưới đây:

a) $\sqrt{10}.\sqrt{40}$

b) $\sqrt{5}.\sqrt{45}$

c) $\sqrt{52}.\sqrt{13}$

d)  $\sqrt{2}.\sqrt{162}$

Lời giải:

a) Giải : $\sqrt{10}.\sqrt{40}=\sqrt{10.40}=\sqrt{400}=20$

b) 15 ;                         

c) 26 ;                   

d) 18

Câu 5: Yêu cầu tính giá trị của các công thức sau khi áp dụng quy tắc nhân:
a) $\sqrt{45.80}$ ;

b)  $\sqrt{75.48}$;

c) $\sqrt{90.6,4}$;

d) $\sqrt{2,5.14,4}$. 

Lời giải:

a) Giải : $\sqrt{45.80}=\sqrt{\mathrm{9.5.5.16}}=\sqrt{9}.\sqrt{25}.\sqrt{16}$ = 3.5.4 = 60 ;

b) Đáp Số : 60 ;

c) Đáp Số : 24 ;

d) Đáp Số : 6

Câu 6: Áp dụng quy tắc khai phương để so sánh kết quả của từng cặp phép tính dưới đây?

a)  $\sqrt{2}+\sqrt{3}và\sqrt{10};$

b) $\sqrt{3}+2và\sqrt{2}+\sqrt{6};$

c) $16và\sqrt{15}.\sqrt{17}$;

d) $8và\sqrt{15}+\sqrt{17}.$

Lời giải:

a) Đưa về so sánh ${(\sqrt{2}+\sqrt{3})}^{2}với(\sqrt{10}{)}^2$ hay so sánh $5+2\sqrt{2}.\sqrt{3}$ với 10.

Kết quả được $\sqrt{2}+\sqrt{3}<\sqrt{10}$ .

b) Tương tự câu a) :

So sánh $(\sqrt{3}+2{)}^2$ với ${(\sqrt{2}+\sqrt{6})}^2$

hay so sánh $7+4\sqrt{3}$ với $8+2\sqrt{12}$ .

Do $8+2\sqrt{12}=8+4\sqrt{3}nên7+4\sqrt{3}<8+2\sqrt{12}.$

Từ đó suy ra $\sqrt{3}+2<\sqrt{2}+\sqrt{6}.$

c) Biến đổi $\sqrt{15}.\sqrt{17}=\sqrt{16-1}.\sqrt{16+1}=\sqrt{{16}^2-1}$

Do ${16}^2-1<{16}^{2}nên\sqrt{{16}^2-1}<\sqrt{{16}^2}$

Vậy $\sqrt{15}.\sqrt{17}<16$.

d) So sánh hai bình phương là $8^{2}và{(\sqrt{15}+\sqrt{17})}^2$

$32=2.16với2\sqrt{15}.\sqrt{17}=2\sqrt{{16}^2-1}.$

Kết quả được $\sqrt{15}+\sqrt{17}<8.$

Câu 7: Dùng phương pháp tính nhẩm để so sánh các kết quả của hai biểu thức sau:

$\sqrt{2003}+\sqrt{2005}và2\sqrt{2004}.$

Lời giải:

Kết quả $\sqrt{2004}+\sqrt{2005}<2.\sqrt{2004}$

Câu 8: Biểu diễn $\sqrt{ab}$ với điều kiện cho phép là a < 0 và b < 0 và áo dụng quy tắc nhân. Qua đó, tính giá trị $\sqrt{(-25).(-64)}$

Lời giải:

Do $a,b<0\to -a,-b>0$

Khi đó, ta có $\sqrt{a.b}=\sqrt{(-a)}.\sqrt{(-b)}=\sqrt{-a}.\sqrt{-b}$

Áp dụng, ta có $\sqrt{-25}.\sqrt{-64}=\sqrt{25}.\sqrt{64}=5.8=40$

7. Giá trị của  $\sqrt{1,6}.\sqrt{2,5}$ bằng

$\sqrt{1.6}.\sqrt{2.5}=\sqrt{1.6\times 2.5}=\sqrt{4}=2$

Câu 9: Áp dụng quy tắc chia hai căn bậc hai, hãy tính:

a) $\frac{\sqrt{2300}}{\sqrt{23}}$

b) $\frac{\sqrt{12,5}}{\sqrt{0,5}}$

c) $\frac{\sqrt{192}}{\sqrt{12}}$

d) $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{150}}$

Lời giải:

a) $\frac{\sqrt{2300}}{\sqrt{23}}$ = $\sqrt{\frac{2300}{23}}=\sqrt{100}=10$

b) $\frac{\sqrt{12,5}}{\sqrt{0,5}}$ $=\sqrt{\frac{12,5}{0,5}}=\sqrt{25}=5$

c) $\frac{\sqrt{192}}{\sqrt{12}}$= $\sqrt{\frac{192}{12}}=\sqrt{16}=4$

d) $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{150}}$ = $\sqrt{\frac{6}{150}}=\sqrt{\frac{1}{25}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}=\frac{1}{5}$

Câu 10: Cho các biểu thức:

$A=\sqrt{\frac{2x+3}{x-3}}$ và $\frac{\sqrt{2x+3}}{\sqrt{x-3}}$

a. Tìm x để A có nghĩa. Tìm x để B có nghĩa

b. Với giá trị nào của x thì A = B?

Lời giải:

a) Để A có nghĩa thì $\frac{2x+3}{x-3}\ge 0$

Trường hợp 1:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2x+3\ge 0\\ x-3>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x\ge -3\\ x>3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\ge \frac{-3}{2}\\ x>3\end{array}\right.\Rightarrow x>3 \end{gathered}$$

Trường hợp 2:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2x+3\le 0\\ x-3<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x\le -3\\ x<3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\le \frac{-3}{2}\\ x<3\end{array}\right.\Rightarrow x\le \frac{-3}{2} \end{gathered}$$

Vậy x > 3 hoặc $x\le \frac{-3}{2}$ thì A có nghĩa

B có nghĩa khi và chỉ khi

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2x+3\ge 0\\ x-3>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x\ge -3\\ x>3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\ge \frac{-3}{2}\\ x>3\end{array}\right.\Rightarrow x>3 \end{gathered}$$

Vậy để B có nghĩa thì x > 3

b) Với x > 3 thì A và B đồng thời có nghĩa

Vậy với x > 3 thì A = B

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Rút gọn biểu thức sau:

Câu 2: Rút gọn biểu thức sau:

Câu 3: Giải phương trình

Câu 4: Tính

Câu 5: Tính

Câu 6: Rút gọn các biểu thức sau:

 với 

 với 

 với 

 với 

Câu 7:

a) So sánh và 

b) Chứng minh rằng: với  thì

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Bảng căn bậc hai

Chuyên đề Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

Chuyên đề Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Chuyên đề Căn bậc ba

Chuyên đề Ôn tập chương 1