Chuyên đề Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông (2022) - Toán 9
Với Chuyên đề Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông (2022) - Toán 9 mới nhất được biên soạn bám sát chương trình Toán 9 giúp các bạn học tốt môn Toán hơn.
Chuyên đề Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông - Toán 9
A. Lý thuyết
Các hệ thức trong tam giác vuông:
Định lí. Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:
+ Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với côsin góc kề.
+ Cạnh góc vuông kia nhân với tan của góc đối hay nhân với côtang của góc kề.
Ví dụ. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = a, AC = b, AB = c.
Khi đó, a là độ dài cạnh huyền;
b và c là độ dài hai cạnh góc vuông.
Do đó: b = a.sin B = a.cos C; c = a.sin C = a.cos B;
b = c.tan B = c.cot C; c = b.tan C = b.cot C.
B. Bài tập
I. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho tam giác MNP vuông tại N. Hệ thức nào sau đây là đúng?
A. MN = MP.sinP
B. MN = MP.cosP
C. MN = MP.tanP
D. MN = MP.cotP
Ta có: 
Chọn đáp án A
Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = a, AC = b, AB = c. Chọn khẳng định sai?
A. b = a.sinB = a.cosC
B. a = c.tanB = c.cotC
C. a2 = b2 + c2
D. c = a.sinC = a.cosB
Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = a, AC = b, AB = c. Ta có:
+ Theo định lý Pytago ta có a2 = b2 + c2 nên C đúng
+ Theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:
b = asinB = acosC; c = asinC = acosB; b = ctanB = ccotC; c = btanC = bcotB
Nên A, D đúng
Chọn đáp án B
Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 10 cm, C^= 30°. Tính
Xét tam giác ABC vuông tại A có
Chọn đáp án D
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 12 cm, B^= 40°. Tính (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2)
Chọn đáp án C
Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 15 cm, AB = 12 cm. Tính AC, B
Chọn đáp án B
Câu 6: Tam giác ABC vuông tại A ; đường cao AH; biết HB = 25cm; HC = 64 cm. Tính góc B
A. 42°
B. 32°
C. 51°
D. 58°
Ta có: BC = HB + HC = 25 + 64 = 89 cm
Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:
Chọn đáp án C.
Câu 7: Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 72 cm và góc B = 58° . Tính AB và AC ?
A. 38,15 và 61,06
B. 36,06 và 62,01
C. 37,09 và 60,19
D. 39,01 và 62,93
Ta có:
Chọn đáp án A.
Câu 8: Cho tam giác ABC vuông tại A biết AC = 21 cm và AB = 18 cm. Tìm khẳng định sai ?
Áp dụng định lí pytago ta có:
Chọn đáp án C.
Câu 9: Cho tam giác MNP vuông tại M có MN = 4 và B^= 30° . Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau?
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:
Chọn đáp án D.
Câu 10: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH và AB = 12 cm; AC = 16 cm.
Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau?
Áp dụng định lí Pytago ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = 122 + 162 = 400 ⇒ BC = 20 cm
Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:
II. Bài tập tự luận có lời giải
Câu 1: Cho tam giác ABC có AB = 16, AC = 14 và ∠B = 60°.
a) Tính độ dài cạnh BC.
b) Tính diện tích tam giác ABC.
Lời giải:
a) Kẻ đường cao AH.
Xét tam giác vuông ABH, ta có: BH = AB.cosB = AB.cos60° = 16.(1/2) = 8.
AH = AB.sinB = AB.sin60° = 16.(√3)/2 = 8√3
Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác vuông AHC ta có:
HC2 = AC2 - AH2 = 142 - (8√3)2 = 196 - 192 = 4. Suy ra HC = 2.
Vậy BC = CH + HB = 2 + 8 = 10
b) Ta có:
Câu 2: Một con thuyền băng qua một khúc sông với vận tốc là 3 km/h trong vòng 6 phút. Biết rằng hướng thuyền đi tạo với bờ một góc 60 độ. Tính chiều dài (m) của khúc sông đó.
Lời giải:
Ta giải bài toán thông qua hình vẽ trên
Nhận thấy ∠BAC = 30o
Ta đổi: 3(km/h) = 5/6(m/s); 6 phút = 360 giây
Khi đó ta có: S = (5/6). 360 = 300(m)
Câu 3: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 7. Hãy giải tam giác vuông ABC.
Lời giải:
Câu 4: Cho tam giác vuông MNP vuông tại M có MP = 2,1; . Hãy giải tam giác vuông MNP.
Lời giải:
Câu 5: Cho tam giác ABC có , , . Tính độ dài BC, và SABC.
Lời giải:
Kẻ .
Câu 6: Tam giác ABC vuông tại A có AB = 21cm, . Hãy tính các độ dài
a) AC
b) BC
c) Phân giác BD
Lời giải:
a)
Xét tam giác ABC vuông tại A
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:
(cm)
b)
Xét tam giác ABC vuông tại A
Ta có:
c)
Xét tam giác ABC vuông tại A
Mà BD là phân giác của góc B nên ta có:
Xét tam giác ABD vuông tại A có :
Câu 7: Các cạnh của một tam giác có độ dài 4cm, 6cm và 6cm. Hãy tính góc nhỏ nhất của tam giác đó.
Lời giải:
Vì các cạnh của tam giác lần lượt là 4cm, 6cm, 6cm nên tam giác đó là tam giác cân. Góc nhỏ nhất của tam giác là góc đối diện với cạnh 4cm.
Giả sử tam giác ABC cân tại A có cạnh bên AB = AC = 6cm và cạnh đáy BC = 4cm. Ta tính góc .
Kẻ đường cao tại H
Xét tam giác cân ABC
AH là đường cao và cũng là đường trung tuyến và đường phân giác.
Do đó, H là trung điểm của BC
(cm)
Xét tam giác AHC vuông tại H (do AH là đường cao)
Ta có:
Mà AH là phân giác của góc A nên
Vậy góc nhỏ nhất của tam giác bằng
Câu 8: Trong tam giác ABC có AB = 11cm, , , N là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC (h.18). Hãy tính AN, AC.
Lời giải:
Xét tam giác ABN vuông tại N
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:
(cm)
Xét tam giác CAN vuông tại N
Ta có:
(cm)
Câu 9: (h.19) Để thấy đỉnh A của một vách đá dựng đứng, người ta đã đứng tại điểm P cách chân vách đá một khoảng 45m và nhìn lên một góc so với đường nằm ngang (góc nhìn lên này được gọi là góc “nâng”). Hãy tính độ cao của vách đá.
Lời giải:
Kí hiệu như hình vẽ dưới đây:
Xét tam giác APH vuông tại H
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:
(m)
Câu 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết HB = 25cm, HC = 64cm, tính , .
Lời giải:
Xét tam giác ABC vuông tại A có chiều cao AH
Áp dụng hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:
Xét tam giác ABH vuông tại H
Ta có:
Xét tam giác ABC vuông tại A
III. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 26cm, AB = 10cm. 
(làm tròn đến độ)
Câu 2: Cho tam giác ABC có AB = 16, AC = 14 và 
. Tính BC
Câu 3: Cho tam giác ABC có AB = 12, AC = 15 và 
. Tính BC
Câu 4: Cho tam giác ABC có 
Tính diện tích tam giác ABC
Câu 5: Cho tam giác ABC có 
Tính diện tích tam giác ABC
Câu 6: Tính diện tích tam giác ABC biết 
bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R.
Câu 7: Cho tam giác ABC với các đỉnh A, B, C và các cạnh đối diện với các đỉnh tương ứng là: a, b, c. Chứng minh rằng:
a2 = b2 + c2 - 2bccosA
Câu 8: Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 20cm, = 60o. Tính AB, BC
Câu 9: Cho tam giác ABC vuông tại A; BC = a không đổi, (0o < < 90o)
Lập công thức để tính diện tích tam giác ABC theo a và
Câu 10: Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 26cm, AB = 10cm. Tính AC, (làm tròn đến độ)
Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:
Chuyên đề Ứng dụng thực tế các tỉ số lượng giác của góc nhọn
Chuyên đề Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn
Xem thêm các chương trình khác:
- Giải sgk Hóa học 9 (sách mới) | Giải bài tập Hóa 9
- Giải sbt Hóa học 9
- Giải vở bài tập Hóa học 9
- Lý thuyết Hóa học 9
- Các dạng bài tập Hóa học lớp 9
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 9 (sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 9 (hay nhất) | Để học tốt Ngữ văn 9 (sách mới)
- Soạn văn 9 (ngắn nhất)
- Văn mẫu 9 (sách mới) | Để học tốt Ngữ văn 9 Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Tác giả - tác phẩm Ngữ văn 9 (sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tiếng Anh 9 (thí điểm)
- Giải sgk Tiếng Anh 9 (sách mới) | Để học tốt Tiếng Anh 9
- Giải sbt Tiếng Anh 9
- Giải sbt Tiếng Anh 9 (thí điểm)
- Giải sgk Sinh học 9 (sách mới) | Giải bài tập Sinh học 9
- Giải vở bài tập Sinh học 9
- Lý thuyết Sinh học 9
- Giải sbt Sinh học 9
- Giải sgk Vật Lí 9 (sách mới) | Giải bài tập Vật lí 9
- Giải sbt Vật Lí 9
- Lý thuyết Vật Lí 9
- Các dạng bài tập Vật lí lớp 9
- Giải vở bài tập Vật lí 9
- Giải sgk Địa Lí 9 (sách mới) | Giải bài tập Địa lí 9
- Lý thuyết Địa Lí 9
- Giải Tập bản đồ Địa Lí 9
- Giải sgk Tin học 9 (sách mới) | Giải bài tập Tin học 9
- Lý thuyết Tin học 9
- Lý thuyết Giáo dục công dân 9
- Giải vở bài tập Lịch sử 9
- Giải Tập bản đồ Lịch sử 9
- Lý thuyết Lịch sử 9
- Lý thuyết Công nghệ 9