Chuyên đề Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai (2022) - Toán 9

Chuyên đề Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai - Toán 9

A. Lý thuyết

- Để rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai, ta cần vận dụng phối hợp các phép tính và các phép biến đổi đã biết.

- Khi rút gọn một dãy các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thứa và khai phương thì thứ tự thực hiện: khai căn trước rồi đến lũy thừa, sau đó đến nhân, chia, cộng, trừ.

Ví dụ. Rút gọn $4\sqrt{a}+12\sqrt{\frac{a}{9}}-a\sqrt{\frac{4}{a}}+\sqrt{3}$ với a > 0.

Lời giải:

Vì a > 0 nên |a| = a.

Ta có, $4\sqrt{a}+12\sqrt{\frac{a}{9}}-a\sqrt{\frac{4}{a}}+\sqrt{3}$

$=4\sqrt{a}+12\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{9}}-a\sqrt{\frac{4a}{a^2}}+\sqrt{3}$

$=4\sqrt{a}+12\frac{\sqrt{a}}{3}-a\frac{2\sqrt{a}}{\left|a\right|}+\sqrt{3}$

$=4\sqrt{a}+4\sqrt{a}-a\frac{2\sqrt{a}}{a}+\sqrt{3}$

$=8\sqrt{a}-2\sqrt{a}+\sqrt{3}$

$=6\sqrt{a}+\sqrt{3}$

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Giá trị của biểu thức  là?

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án C.

Câu 2: Giá trị của biểu thức 

A. 1

B. 0

C. 2

D. 3

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án B.

Câu 3: Rút gọn biểu thức  với a > 0 ta được

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án D.

Câu 4: Giá trị của biểu thức 

A. 4

B. 5

C. 2

D. 3

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án D.

Câu 5: Rút gọn biểu thức  với a > 0 ta được

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án A.

Câu 6: Rút gọn biểu thức : 

Lời giải:

Chọn đáp án A.

Câu 7: Rút gọn biểu thức 

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải:

Chọn đáp án D.

Câu 8: Rút gọn biểu thức:  (với a ≥ 0;a ≠ 1)

Lời giải:

Chọn đáp án C.

Câu 9: Rút gọn biểu thức:  với x ≥ 0, x ≠ 1

Lời giải:

Chọn đáp án A.

Câu 10: Rút gọn biểu thức:  với x ≥ 0, x ≠ 1

Lời giải:

Chọn đáp án D.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Thực hiện phép tính:

a) $(2\sqrt{2}-\sqrt{3})\sqrt{2}+2\sqrt{6}$;

b) $\frac{1}{3}\sqrt{27}+2\sqrt{75}-\frac{\sqrt{99}}{\sqrt{11}}+3\sqrt{1\frac{1}{3}}$.

Lời giải:

a) $(2\sqrt{2}-\sqrt{3})\sqrt{2}+2\sqrt{6}$

$=2\sqrt{2}.\sqrt{2}-\sqrt{3}.\sqrt{2}+2\sqrt{6}$

$=4-\sqrt{6}+2\sqrt{6}$

$=4+\sqrt{6}$

b) $\frac{1}{3}\sqrt{27}+2\sqrt{75}-\frac{\sqrt{99}}{\sqrt{11}}+3\sqrt{1\frac{1}{3}}$

$=\frac{1}{3}.3\sqrt{3}+2.5\sqrt{3}-\sqrt{\frac{99}{11}}+3\sqrt{\frac{4}{3}}$

$=\sqrt{3}+10\sqrt{3}-\sqrt{9}+3.\frac{2}{\sqrt{3}}$

$=11\sqrt{3}-3+2\sqrt{3}$

$=13\sqrt{3}-3$.

Câu 2: Rút gọn biểu thức:

$$\begin{gathered} P=\left(\frac{2}{\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}-x}\right) \\ :\left(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}\right) \end{gathered}$$

Lời giải:

ĐKXĐ: x > 0; x ≠ 4.

$$\begin{gathered} P=\left(\frac{2}{\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}-x}\right) \\ :\left(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} =\left[\frac{2}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}\right] \\ :\left(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}\right) \end{gathered}$$

$\begin{array}{l}=\left[\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}\right]\\ :\left[\frac{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}-\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}\right]\end{array}$

$$\begin{gathered} =\frac{2\sqrt{x}-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)} \\ :\left[\frac{x-4}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}-\frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}\right] \end{gathered}$$

$=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}:\frac{x-4-x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}$

$=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}:\frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}$

$=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}.\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{\sqrt{x}-4}$

$=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-4}$.

Câu 3: Chứng minh đẳng thức 

Lời giải:

Ta có:

Câu 4: Rút gọn biểu thức 

Lời giải:

Ta có:

Câu 5: Rút gọn biểu thức 

Lời giải:

Ta có:

Câu 6:

a) Chứng minh: $x^2+x\sqrt{3}+1={\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}$

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $x^2+x\sqrt{3}+1$. Giá trị nhỏ nhất đó đạt được khi x bằng bao nhiêu.

Lời giải:

a) $x^2+x\sqrt{3}+1={\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}$

VP $={\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}$

$$\begin{gathered} =x^2+2.x.\frac{\sqrt{3}}{2}+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+\frac{1}{4} \\ =x^2+x\sqrt{3}+\frac{3}{4}+\frac{1}{4} \end{gathered}$$

$=x^2+\sqrt{3}x+1$ = VT (điều phải chứng minh)

b) Theo câu a ta có:

$x^2+x\sqrt{3}+1={\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}$

Vì ${\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2\ge 0$ với mọi x

Do đó ${\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}\ge \frac{1}{4}$

Dấu “=” xảy ra $\iff x+\frac{\sqrt{3}}{2}=0$

$\iff x=\frac{-\sqrt{3}}{2}$.

Vậy $x^2+x\sqrt{3}+1$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{1}{4}$ khi $x=\frac{-\sqrt{3}}{2}$

Câu 7: Rút gọn các biểu thức:

a) $\left(2-\sqrt{2}\right)\left(-5\sqrt{2}\right)-{\left(3\sqrt{2}-5\right)}^2$

b) $2\sqrt{3a}-\sqrt{75a}+a\sqrt{\frac{13,5}{2a}}-\frac{2}{5}\sqrt{300a^3}$ 

với a > 0

Lời giải:

a) $\left(2-\sqrt{2}\right)\left(-5\sqrt{2}\right)-{\left(3\sqrt{2}-5\right)}^2$

$=2.\left(-5\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}.5\sqrt{2}-{\left(3\sqrt{2}\right)}^2+\mathrm{2.5.3}\sqrt{2}-5^2$

$=-10\sqrt{2}+10-18+30\sqrt{2}-25$

$=\left(-10\sqrt{2}+30\sqrt{2}\right)+\left(10-18-25\right)$

$=20\sqrt{2}-33$

b) $2\sqrt{3a}-\sqrt{75a}+a\sqrt{\frac{13,5}{2a}}-\frac{2}{5}\sqrt{300a^3}$

$$\begin{gathered} =2\sqrt{3a}-\sqrt{\mathrm{25.3.}a}+\sqrt{\frac{13,5a^2}{2a}}-\frac{2}{5}.\sqrt{100a^2.3a} \\ =2\sqrt{3a}-5\sqrt{3a}+\sqrt{\frac{27}{4}a}-\frac{2}{5}.10\left|a\right|.\sqrt{3a} \\ =2\sqrt{3a}-5\sqrt{3a}+\sqrt{\frac{9}{4}}.\sqrt{3a}-\frac{2}{5}\mathrm{.10.}a.\sqrt{3a} \end{gathered}$$

 (vì a > 0 nên |a| = a)

$$\begin{gathered} =2\sqrt{3a}-5\sqrt{3a}+\frac{3}{2}\sqrt{3a}-4a\sqrt{3a} \\ =\left(2-5+\frac{3}{2}\right)\sqrt{3a} \\ =\frac{-3}{2}\sqrt{3a}-4a\sqrt{3a} \end{gathered}$$

Câu 8: Cho biểu thức: $Q=\left(\frac{1}{\sqrt{a}-1}-\frac{1}{\sqrt{a}}\right):\left(\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-1}\right)$

a. Rút gọn Q với a > 0, a ≠ 4 và a ≠ 1

b. Tìm giá trị của a để Q dương.

Lời giải:

a) $Q=\left(\frac{1}{\sqrt{a}-1}-\frac{1}{\sqrt{a}}\right):\left(\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-1}\right)$

$$\begin{gathered} \iff Q=\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}-\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\right): \\ \left(\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}-\frac{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff Q=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}: \\ \left(\frac{a-1}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}-\frac{a-4}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\right) \end{gathered}$$

$\iff Q=\frac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}:\left(\frac{a-1-a+4}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\right)$

$$\begin{gathered} \iff Q=\frac{1}{\sqrt{a}.\left(\sqrt{a}-1\right)}:\frac{3}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)} \\ \iff Q=\frac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}.\frac{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{3} \\ \iff Q=\frac{\sqrt{a}-2}{3\sqrt{a}} \end{gathered}$$

 với a > 0, a ≠ 4 và a ≠ 1

b) Để Q dương thì $\frac{\sqrt{a}-2}{3\sqrt{a}}>0$

$\Rightarrow \sqrt{a}-2$ và $\sqrt{a}$ cùng dấu.

Mà $3\sqrt{a}>0$ với mọi a thỏa mãn điều kiện

Do đó: $\sqrt{a}-2>0$

$$\begin{gathered} \iff \sqrt{a}>2 \\ \iff a>4 \end{gathered}$$

Kết hợp với điều kiện vậy a > 4 thì Q dương.

Câu 9: Tìm x, biết:

a) $\sqrt{4x+20}-3\sqrt{5+x}+\frac{4}{3}\sqrt{9x+45}=6$

b) $\sqrt{25x-25}-\frac{15}{2}\sqrt{\frac{x-1}{9}}=6+\sqrt{x-1}$

Lời giải:

a) Điều kiện:

$\left\{\begin{array}{l}4x+20\ge 0\\ 5+x\ge 0\\ 9x+45\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}4x\ge -20\\ x\ge -5\\ 9x\ge -45\end{array}\right.\iff x\ge -5$

$$\begin{gathered} \sqrt{4x+20}-3\sqrt{5+x}+\frac{4}{3}\sqrt{9x+45}=6 \\ \iff \sqrt{4.\left(x+5\right)}-3\sqrt{x+5}+\frac{4}{3}.\sqrt{9\left(x+5\right)}=6 \\ \iff 2\sqrt{x+5}-3\sqrt{x+5}+\frac{4}{3}\mathrm{.3.}\sqrt{x+5}=6 \\ \iff 2\sqrt{x+5}-3\sqrt{x+5}+4\sqrt{x+5}=6 \\ \iff \sqrt{x+5}.\left(2-3+4\right)=6 \\ \iff 3\sqrt{x+5}=6 \\ \iff \sqrt{x+5}=6:3 \\ \iff \sqrt{x+5}=2 \\ \iff x+5=4 \iff x=4-5 \\ \iff x=-1 \left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy x = -1

b) 

Điều kiện:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}25x-25\ge 0\\ \frac{x-1}{9}\ge 0\\ x-1\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}25\left(x-1\right)\ge 0\\ x-1\ge 0\\ x-1\ge 0\end{array}\right. \\ \Rightarrow x-1\ge 0\iff x\ge 1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \sqrt{25x-25}-\frac{15}{2}\sqrt{\frac{x-1}{9}}=6+\sqrt{x-1} \\ \iff \sqrt{25.\left(x-1\right)}-\frac{15}{2}\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{9}}=6+\sqrt{x-1} \\ \iff 5\sqrt{x-1}-\frac{5}{2}\sqrt{x-1}-\sqrt{x-1}=6 \\ \iff \sqrt{x-1}.\left(5-\frac{5}{2}-1\right)=6 \\ \iff \frac{3}{2}\sqrt{x-1}=6 \\ \iff \sqrt{x-1}=6:\frac{3}{2} \\ \iff \sqrt{x-1}=4 \iff x-1=16 \\ \iff x=16+1 \iff x=17 \left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy x = 17

Câu 10: Với ba số a, b, c không âm, chứng minh bất đẳng thức: a + b + c ≥ $\sqrt{ab}$ + $\sqrt{bc}$ + $\sqrt{ca}$

Hãy mở rộng kết quả cho trường hợp bốn số, năm số không âm.

Lời giải:

Vì a, b và c không âm nên $\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}$ tồn tại.

Ta có: ${\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2\ge 0$

$$\begin{gathered} \Rightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge 0 \\ \iff a+b\ge 2\sqrt{ab} \\ \Rightarrow \frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab} \left(1\right) \end{gathered}$$

Ta có: ${\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)}^2\ge 0$

$$\begin{gathered} \Rightarrow b-2\sqrt{bc}+c\ge 0 \\ \iff b+c\ge 2\sqrt{bc} \\ \Rightarrow \frac{b+c}{2}\ge \sqrt{bc} \left(2\right) \end{gathered}$$

Ta có: ${\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)}^2\ge 0$

$$\begin{gathered} \Rightarrow c-2\sqrt{ca}+a\ge 0 \\ \iff c+a\ge 2\sqrt{ac} \\ \Rightarrow \frac{c+a}{2}\ge \sqrt{ac} \left(3\right) \end{gathered}$$

Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được:

$$\begin{gathered} \frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}\ge \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac} \\ \iff \frac{a+b+b+c+c+a}{2}\ge \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} \\ \iff \frac{2a+2b+2c}{2}\ge \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} \\ \iff \frac{2\left(a+b+c\right)}{2}\ge \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac} \\ \iff a+b+c\ge \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac} \end{gathered}$$

$\Rightarrow$Điều phải chứng minh.

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Chứng minh đẳng thức:

Câu 2: Rút gọn biểu thức 

Câu 3: Cho biểu thức  và a>0, a ≠ 1 và B = 1

Hãy so sánh A và B

Câu 4: Cho K = $2\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right):\left(\frac{\sqrt{x}+1}{x^2-x}\right)$ (với $x>0;x\ne 1$)

1. a) Rút gọn biểu thức K.
2. b) Tìm $x$ để K = $\sqrt{2012}$

Câu 5: Cho hai biểu thức A = $\frac{4\left(\sqrt{x}+1\right)}{25-x}$ và B = $\left(\frac{15-\sqrt{x}}{x-25}+\frac{2}{\sqrt{x}+5}\right):\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5}$ với $x\ge 0;x\ne 25$

1) Tính giá trị của biểu thức A khi $x=9$

2) Rút gọn biểu thức B.

Câu 6: Rút gọn biểu thức:

a) 

b) 

c) 

Câu 7: Cho biểu thức:  với 

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị của A khi x = 9.

c) Tính giá trị của x để biểu thức A = 0,5.

Câu 8: Cho các biểu thức  và  với 

a) Tính giá trị của biểu thức H khi x = 8.

b) Rút gọn biểu thức P = H + K.

c) Tìm giá trị của x để P = 1,5.

Câu 9: Cho biểu thức: 

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị là số nguyên.

Câu 10: Rút gọn các biểu thức sau:

a)  với 

b)  với 

c, với 

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Căn bậc ba

Chuyên đề Ôn tập chương 1

Chuyên đề Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số

Chuyên đề Hàm số bậc nhất

Chuyên đề Đồ thị của hàm số y = ax + b