Chuyên đề Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn (2022) - Toán 9
Với Chuyên đề Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn (2022) - Toán 9 mới nhất được biên soạn bám sát chương trình Toán 9 giúp các bạn học tốt môn Toán hơn.
Chuyên đề Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn - Toán 9
A. Lý thuyết
1. Tính chất của tiếp tuyến
Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
Trong hình vẽ Δ là tiếp tuyến ⇒ Δ ⊥ OH (H là tiếp điểm).
2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn.
Để nhận biết một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn ta có hai dấu hiệu sau:
+ Dấu hiệu 1: Đường thẳng và đường tròn chỉ có một điểm chung (định nghĩa tiếp tuyến).
+ Dấu hiệu 2: Đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó.
Cụ thể bằng các hiểu sau:
B. Bài tập
I. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho (O; R).Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại tiếp điểm A khi
A. d ⊥ OA tại A và A ∈ (O)
B. d ⊥ OA
C. A ∈ (O)
D. d // OA
Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn
Chọn đáp án A
Câu 2: Cho (O; 5cm). Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O; 5cm), khi đó
A. Khoảng cách từ O đến đường thẳng d nhỏ hơn 5cm
B. Khoảng cách từ O đến đường thẳng d lớn hơn 5cm
C. Khoảng cách từ O đến đường thẳng d bằng 5cm
D. Khoảng cách từ đến O đường thẳng d bằng 6cm
Khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến tiếp tuyến bằng bán kính của đường tròn đó
Chọn đáp án C
Câu 3: Cho tam giác ABC có AC = 3cm, AB = 4cm, BC = 5cm. Vẽ đường tròn (C; CA). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.Đường thẳng BC cắt đường tròn (C; CA) tại một điểm
B.AB là cát tuyến của đường tròn (C; CA)
C.AB là tiếp tuyến của (C; CA)
D. BC là tiếp tuyến của (C; CA)
+ Xét tam giác có:
BC2 = 52 = 25; AB2 + AC2 = 42 + 32 = 25 ⇒ BC2 = AB2 + AC2
⇒ ΔABC vuông tại A (Định lý Pytago đảo)
⇒ AB ⊥ AC mà A ∈ (C; CA) nên AB là tiếp tuyến của (C; CA)
Chọn đáp án C
Câu 4: Cho tam giác cân ABC tại A; đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Khi đó đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI
A. HK
B. IB
C. IC
D. Ac
Gọi O là trung điểm AI. Xét tam giác vuông AIK có
Từ (*) và (**) thì HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI
Chọn đáp án A
Câu 5: Cho tam giác vuông ABC tại A, đường cao AH. Đường tròn đường kính BH cắt AB tại D, đường tròn đường kính CH cắt AC tại E. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau
A. DE là cát tuyến của đường tròn đường kính BH
B. DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BH
C. Tứ giác AEHD là hình chữ nhật
D. DE ⊥ DI (với I là trung điểm BH)
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BH và CH.
Để chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I đường kính BH ta chứng minh ID ⊥ DE hay 
Vì D, E lần lượt thuộc đường tròn đường kính BH và HC
Nên DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BH
Từ chứng minh trên suy ra các phương án B, C, D đúng
Chọn đáp án A
Câu 6: Trên tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O; R) lấy điểm M sao cho OM = 2R. Gọi điểm B của đường tròn (O; R) sao cho MB = MA. Tìm khẳng định sai?
A. MB là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).
B. Tam giác ABC là tam giác đều.
C. Diện tích tam giác AOM là: 
D. MA = R√2
Chọn đáp án D.
Câu 7: Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 10 cm. Tìm khẳng định đúng
A. AC là tiếp tuyến của (B; BA).
B. AB là tiếp tuyến của (A; AC).
C. BC là tiếp tuyến của (A; AC).
D. BC là tiếp tuyến của (A; AB).
Tam giác ABC có: AB2 + AC2 = BC2 nên tam giác BAC vuông tại A.
Ta có: AB ⊥ AC tại A và A thuộc đường tròn (B; BA).
Suy ra: AC là tiếp tuyến của (B; BA).
Chọn đáp án A.
Câu 8: Cho (O; 5cm) có dây AB = 8cm . Qua O , kẻ đường vuông góc với AB cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn tại C.
A. BC là tiếp tuyến của (O).
B. Khoảng cách từ O đến AB là 3 cm.
C. OC = 25/3 cm
D. A hoặc B sai
Gọi H là giao điểm của AB và CO.
Xét tam giác OAB có OA = OB = R nên tam giác OAB cân tại O.
Lại có, OH là đường cao nên đồng thời là đường phân giác
* Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:
Chọn đáp án D.
Câu 9: Cho hình vuông ABCD. Gọi O là tâm đường tròn đi qua 4 điểm A,B, C, D. Tìm khẳng định đúng?
A. AB là tiếp tuyến của (O).
B. BC là tiếp tuyến của (O).
C.CD là tiếp tuyến của (O)
D. Tất cả sai
* Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
Theo tính chất hình chữ nhật ta có:
Nên O là tâm đường tròn đi qua 4 điểm A,B, C, D.
Các đường thẳng AB; BC; CD; DA đều có 2 điểm chung với (O) nên 4 đường thẳng này không thể là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Chọn đáp án D.
Câu 10: Cho hình vuông ABCD cạnh a, gọi O là tâm đường tròn nội tiếp hình vuông. Tìm khẳng định đúng?
A. AB, BC, CD và DA là các tiếp tuyến của đường tròn (O).
B. AB, BC, CD và DA đều không là tiếp tuyến của đường tròn (O).
C. AC và BD là tiếp tuyến của (O).
D. Tất cả sai.
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó, đường tròn tâm O bán kính R = a/2 là đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD.
Do O là tâm đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD nên đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình vuông.
Suy ra: AB; BC; CD và DA là các tiếp tuyến của đường tròn (O).
Chọn đáp án A.
II. Bài tập tự luận có lời giải
Câu 1: Cho đường tròn (O; 2cm) bán kính OB. Vẽ dây BC sao cho 
. Trên tia OB lấy điểm M sao cho BM = 2cm
Tam giác OBC cân tại O có
Nên tam giác OCB là tam giác đều suy ra BC = OB = OC = 2
Xét tam giác OCM có BC = OB = BM = 2 = 
nên ΔOCM vuông tại C
⇒ OC ⊥ CM ⇒ MC là tiếp tuyến của (O; 2cm)
Câu 2: Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với (O). Đường thẳng vuông góc với OB tại O cắt tia AC tại N. Đường thẳng vuông góc với OC cắt tia AB tại M. Tứ giác AMON là hình gì?
Lời giải:
Dễ có AMON là hình bình hành (ON // AM; OM // AN)
Ta chứng minh OM = ON
Câu 3: Cho tam giác ABC có hai đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Xác định tâm F của đường tròn đi qua bốn điểm A, D, H, E.
Gọi F là trung điểm của AH
Xét hai tam giác vuông AEH và ADH ta có FA = FH = FE = FD = 
Nên bốn đỉnh A, D, H, E cùng thuộc đường tròn tâm F bán kính
Câu 4: Cho tam giác ABC có hai đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm BC. Đường tròn (F) ở trên nhận các đường thẳng nào dưới đây là tiếp tuyến?
Lời giải:
AH cắt BC tại K ⇒ AK ⊥ BC vì H là trực tâm tam giác ABC
Ta chứng minh ME ⊥ EF tại E
∆FAE cân tại F (vì FA = FE) nên:
∆MEC cân tại M (vì ME = MC = MB = 
) nên 
Từ đó ME là tiếp tuyến của 
Tương tự ta cũng có MD là tiếp tuyến của
Câu 5: Cho đường tròn (O), dây MN khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với MN, cắt tiếp tuyến tại M của đường tròn ở điểm P. Cho bán kính của đường tròn bằng 10cm; MN = 12cm. Tính OP
Lời giải:
Gọi I là giao điểm của MN và OP
Ta có OP ⊥ MN tại I ⇒ I là trung điểm của MN
Xét tam giác vuông MPO, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
Vậy OP = 12,5cm
Câu 6: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Dùng thước và compa, hãy dựng các điểm B và C thuộc đường tròn (O) sao cho AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O).
Lời giải:
Cách dựng:
- Dựng đoạn thẳng OA và I là trung điểm của OA
- Dựng đường tròn (I; IO) cắt đường tròn (O) tại B và C
- Nối AB, AC ta được hai tiếp tuyến cần dựng
Chứng minh:
Xét tam giác OAB nội tiếp đường tròn (I) có AO là đường kính
Do đó, tam giác OAB vuông tại B
Do đó, AB là tiếp tuyến của đường tròn (O; OB)
Xét tam giác ACO nội tiếp đường tròn (I) có AO là đường kính
Do đó, tam giác ACO vuông tại C
Do đó, AC là tiếp tuyến của đường tròn (O; OC) hay đường tròn (O; OB)
Vậy luôn dựng được đường tròn tâm I, cắt đường tròn tâm O tại hai điểm B và C và luôn có AB, AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O).
Câu 7: Cho điểm A nằm trên đường thẳng d, điểm B nằm ngoài đường thẳng d. Dựng đường tròn (O) đi qua A và B nhận đường thẳng d làm tiếp tuyến.
Lời giải:
Cách dựng
- Dựng đường thẳng trung trực của AB
- Dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với d. Đường thẳng này cắt đường trung trực của AB tại O
- Dựng đường tròn (O; OA) ta được đường tròn cần dựng
Chứng minh:
Vì O nằm trên đường trung trực của AB nên OA = OB. Khi đó đường tròn (O; OA) đi qua hai điểm A và B
Ta có: OA vuông góc với d tại A nên d là tiếp tuyến của (O)
Vậy (O) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Câu 8: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn (B; BA) và đường tròn (C; CA), chúng cắt nhau tại điểm D (khác A). Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn (B).
Lời giải:
Xét tam giác ABC và tam giác DBC
Có:
BA = BD (bán kính của (B; BA))
CA = CD (bán kính của (C; CA))
BC chung
Do đó, ABC = DBC (cạnh – cạnh – cạnh)
Do đó, CD là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA)
Câu 9: Cho góc nhọn xOy, điểm A thuộc tia Ox. Dựng đường tròn tâm I tiếp xúc với Ox tại A và có tâm I nằm trên Oy.
Lời giải:
Cách dựng:
- Dựng góc nhọn xOy
- Dựng đường vuông góc với Ox tại A cắt Oy tại I
- Dựng đường tròn (I; IA)
Chứng minh:
Ta có: I nằm trên Oy, tại A
Do đó, Ox là tiếp tuyến của đường tròn (I; IA) hay (I; IA) tiếp xúc với Ox.
Câu 10: Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không giao nhau. Dựng tiếp tuyến của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến đó song song với d.
Lời giải:
Cách dựng:
- Dựng OH vuông góc với d cắt đường tròn (O) tại A và B
- Dựng đường thẳng d1 đi qua A và vuông góc với OA
- Dựng đường thẳng d2 đi qua B và vuông góc với OB
- Khi đó d1 và d2 là hai tiếp tuyến cần dựng.
Chứng minh:
Ta có:
A và B thuộc (O) và nằm trên đường thẳng OH
d1 vuông góc với OA hay d1 vuông góc với OH tại A
d2 vuông góc với OB hay d2 vuông góc với OH tại B
Mà d vuông góc với OH tại H
Do đó, d // //
III. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho đường tròn (O; 12), điểm M cách O 20. Vẽ tiếp tuyến AM với A là tiếp điểm
a) Tính MA
b) Vẽ dây AB vuông góc với OM. Chứng minh MB là tiếp tuyến
Câu 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB. C là một điểm trên đường tròn sao cho 
. M là điểm đối xứng với O qua B. Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O)
Câu 3: Cho tam giác ABC có AB=3, AC=4, BC=5. Vẽ đường tròn (B;BA). Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn.
Câu 4: Cho đường thẳng d, điểm A nằm trên đường thẳng d, điểm B nằm ngoài đường thẳng d. Hãy dựng đường tròn (O) đi qua điểm B và tiếp xúc với đường thẳng d tại A.
Câu 5: Dây cua-roa trên hình 76 có những phần là tiếp tuyến của các đường tròn tâm A, B, C. Chiều quay của đường tròn tâm B ngược chiều quay của kim đồng hồ. Tìm chiều quay của đường tròn tâm A và đường tròn tâm C (cùng chiều quay hay ngược chiều quay của kim đồng hồ).
Câu 6: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Gọi M là trung điểm của AO. Vẽ đường tròn (M ; MO), cắt đường tròn (O) tại B và C. Chứng minh rằng AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O).
Câu 7: Cho tam giác cân ABC tại A; đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Khi đó đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI
Câu 8: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 5. Vẽ đường tròn (B; BA). Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn.
Câu 9: Cho đường thẳng d, điểm A nằm trên đường thẳng d, điểm B nằm ngoài đường thẳng d. Hãy dựng đường tròn (O) đi qua điểm B và tiếp xúc với đường thẳng d tại A.
Câi 10: Cho tam giác ABC, đường cao AH. Chứng minh rằng đường thẳng BC là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH).
Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:
Chuyên đề Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Chuyên đề Vị trí tương đối của hai đường tròn
Xem thêm các chương trình khác:
- Giải sgk Hóa học 9 (sách mới) | Giải bài tập Hóa 9
- Giải sbt Hóa học 9
- Giải vở bài tập Hóa học 9
- Lý thuyết Hóa học 9
- Các dạng bài tập Hóa học lớp 9
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 9 (sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 9 (hay nhất) | Để học tốt Ngữ văn 9 (sách mới)
- Soạn văn 9 (ngắn nhất)
- Văn mẫu 9 (sách mới) | Để học tốt Ngữ văn 9 Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Tác giả - tác phẩm Ngữ văn 9 (sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tiếng Anh 9 (thí điểm)
- Giải sgk Tiếng Anh 9 (sách mới) | Để học tốt Tiếng Anh 9
- Giải sbt Tiếng Anh 9
- Giải sbt Tiếng Anh 9 (thí điểm)
- Giải sgk Sinh học 9 (sách mới) | Giải bài tập Sinh học 9
- Giải vở bài tập Sinh học 9
- Lý thuyết Sinh học 9
- Giải sbt Sinh học 9
- Giải sgk Vật Lí 9 (sách mới) | Giải bài tập Vật lí 9
- Giải sbt Vật Lí 9
- Lý thuyết Vật Lí 9
- Các dạng bài tập Vật lí lớp 9
- Giải vở bài tập Vật lí 9
- Giải sgk Địa Lí 9 (sách mới) | Giải bài tập Địa lí 9
- Lý thuyết Địa Lí 9
- Giải Tập bản đồ Địa Lí 9
- Giải sgk Tin học 9 (sách mới) | Giải bài tập Tin học 9
- Lý thuyết Tin học 9
- Lý thuyết Giáo dục công dân 9
- Giải vở bài tập Lịch sử 9
- Giải Tập bản đồ Lịch sử 9
- Lý thuyết Lịch sử 9
- Lý thuyết Công nghệ 9