Chuyên đề Công thức nghiệm của phương trình bậc hai (2022) - Toán 9

Chuyên đề Công thức nghiệm của phương trình bậc hai - Toán 9

A. Lý thuyết

1. Công thức nghiệm

a) Biệt thức $∆$

Đối với phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) ta có biệt thức Δ như sau:

Δ = b² - 4ac

Ta sửa dụng biết thức Δ để giải phương trình bậc hai.

b) Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Đối với phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) và biệt thức Δ = b² - 4ac

+ Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là

${\mathrm{x}}_1=\frac{-\mathrm{b}+\sqrt{∆}}{2\mathrm{a}}; {\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}-\sqrt{∆}}{2\mathrm{a}}$

+ Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép là

${\mathrm{x}}_1={\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}$

+ Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Chú ý: Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a và c trái dấu, tức là ac < 0. Khi đó ta có Δ = b² - 4ac > 0 ⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Nghiệm của phương trình x2 + 100x + 2500 = 0 là?

A. 50

B. -50

C. ± 50

D. ± 100

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án B.

Câu 2: Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức Δ = b2 - 4ac. Phương trình đã cho vô nghiệm khi:

A. Δ < 0

B. Δ = 0

C. Δ ≥ 0

D. Δ ≤ 0

Lời giải:

Xét phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) và biệt thức Δ = b2 - 4ac

• TH1: Nếu thì phương trình vô nghiệm

• TH2: Nếu thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = 

• TH3: Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,2 = 

Chọn đáp án A.

Câu 3: Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức Δ = b2 - 4ac. Khi đó phương trình có hai nghiệm là:

Lời giải:

Xét phương trình bậc hai một ẩn và biệt thức

• TH1: Nếu thì phương trình vô nghiệm

• TH2: Nếu thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = 

• TH3: Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,2 = 

Chọn đáp án C.

Câu 4: Không dùng công thức nghiệm, tính tổng các nghiệm của phương trình 6x2 - 7x = 0

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án B.

Câu 5: Không dùng công thức nghiệm, tìm số nghiệm của phương trình -4x2 + 9 = 0

A. 0

B. 1

C. 3

D. 2

Lời giải:

Ta có:

Nên số nghiệm của phương trình là 2.

Chọn đáp án D.

Câu 6: Cho phương trình x2 – 6x + m = 0. Tìm m để phương trình đã cho vô nghiệm?

A. m > 9

B. m < 9

C.m < 4

D. m > 4

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án A.

Câu 7: Cho phương trình (m + 1)x2 + 4x + 1 = 0. Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm

A. m = -1

B. m = 0

C. m < 1

D. m ≤ 3

Lời giải:

* Với m = -1 thì phương trình đã cho trở thành: 4x + 1 = 0 ⇔ x = -1/4

Do đó, m = -1 thỏa mãn điều kiện.

* Nếu m ≠ -1 , khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc hai một ẩn.

Ta có: Δ = 42 - 4.(m + 1).1 = 16 - 4m - 4 = 12 - 4m

Để phương trình đã cho có nghiệm khi: Δ = 12 - 4m ≥ 0

-4m ≥ - 12 ⇔ m ≤ 3

Kết hợp 2 trường hợp, để phương trình đã cho có nghiệm thì m ≤ 3 .

Chọn đáp án D.

Câu 8: Cho phương trình 2x2 + 3x – 4 = 0 . Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?

A. Phương trình đã cho có 2 nghiệm

B. Biệt thức ∆ = 41

C. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

D. Phương trình đã cho có 2 nghiệm âm.

Lời giải:

Ta có: Δ = 32 - 4.2.(-4) = 9 + 32 = 41 > 0

Do đó, phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt là:

Vậy C sai.

Chọn đáp án C.

Câu 9: Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm duy nhất.

A. x2 - 4x+ 10 = 0

B. –2x2 + 4x + 4 = 0

C. -3x2 + 9 = 0

D. 4x2 - 4x + 1 =0

Lời giải:

Ta tính ∆ của các phương trình đã cho:

A. ∆ = (-4)2 - 4.1.10 = 16 – 40 = 24 > 0 nên phương trình này có hai nghiệm phân biệt

B. ∆ = 42 -4.(-2).4 = 16 + 32 = 48 > 0 nên phương trình này có hai nghiệm phân biệt.

C. ∆ = 02 – 4. (-2). 4 = 0 + 32 = 32 > 0 nên phương trình này có hai nghiệm phân biệt.

D. ∆ = (-4)2 - 4.4.1 = 0 nên phương trình này có nghiệm duy nhất.

Chọn đáp án D.

Câu 10: Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y = 2x2 và đường thẳng y = - 4x + 6

A. A(1; 2) và B(- 3; 18)

B. A(1; 2) và B(3; -6)

C. A( 3; -6) và B( -1; 10)

D. Đáp án khác

Lời giải:

Hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng đã cho là nghiệm phương trình:

2x2 = -4x + 6 2x2 + 4x - 6 = 0 (*)

Phương trình này có Δ = 42 - 4.2.(-6) = 16 + 48 = 64

Do đó, phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:

Với x = 1 thì y = -4. 1 + 6 = 2 ta được điểm A(1; 2).

Với x = -3 thì y = -4.(-3) = 18 ta được điểm B( -3; 18)

Vậy parabol cắt đường thẳng tại hai điểm là A( 1;2) và B(- 3 ; 18)

Chọn đáp án A.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Cho phương trình (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + 1 = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Lời giải:

Phương trình (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + 1 = 0 có a = m + 1; b’ = − (m + 1); c = 1

Suy ra ∆' = [− (m + 1)]2 – (m + 1) = m2 + m

Để phương trình (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt thì:

Vậy m > 0 hoặc m < −1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

Câu 2: Cho phương trình (m – 3)x2 – 2mx + m − 6 = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình vô nghiệm

Lời giải:

Phương trình (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + 1 = 0 có a = m + 1; b’ = − (m + 1); c = 1

Suy ra ∆' = [− (m + 1)]2 – (m + 1) = m2 + m

Để phương trình (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt thì:

Vậy m > 0 hoặc m < −1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

Câu 3: Cho phương trình mx2 – 4(m – 1) x + 2 = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

Phương trình mx2 – 4(m – 1) x + 2 = 0 có a = m; b’ = −2(m – 1); c = 2

Suy ra ∆' = [−2(m – 1)]2 – m.2 = 4m2 – 10m + 4

TH1: m = 0 ta có phương trình 4x + 2 = 0  nên loại m = 0

TH2: m ≠ 0. Để phương trình vô nghiệm thì

Câu 4: Cho phương trình (m – 2)x2 – 2(m + 1)x + m = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình có một nghiệm.

Lời giải:

Phương trình (m – 2)x2 – 2(m + 1)x + m = 0 có a = m – 2; b’ = − (m + 1); c = m

Suy ra ∆' = [−(m + 1)]2 – (m – 2).m = 4m + 1

Với m = 2 thì phương trình có một nghiệm 

Câu 5: Tìm m để phương trình mx2 – 2(m – 1)x + 2 = 0 có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó

Lời giải:

Để phương trình mx2 – 2(m – 1)x + 2 = 0 có nghiệm kép thì

Câu 6: Giải phương trình x2 - 5x + 4 = 0

Lời giải:

+ Tính Δ = (-5)2 - 4.4.1 = 25 - 16 = 9 > 0

+ Do Δ > 0 , phương trình có hai nghiệm là:

Lý thuyết Công thức nghiệm của phương trình bậc hai - Lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ nhất

Vậy phương trình có hai nghiệm là x1 = 4; x2 = 1

Câu 7: Giải phương trình 5x2 - x + 2 = 0

Lời giải:

+ Tính Δ = (-1)2 - 4.5.2 = -39 < 0

+ Do Δ < 0, phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Câu 8: Giải phương trình x2 - 4x + 4 = 0.

Lời giải:

+ Tính Δ = (-4)2 - 4.4.1 = 16 - 16 = 0.

+ Do Δ = 0, phương trình có nghiệm kép là x1 = x2 = -4/(2.1) = 2

Vậy phương trình có nghiệm kép là x = 2

Câu 9: Giải các phương trình sau

a) ${\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}+9=0$

b) $2{\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+1=0$

c) $2{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+5=0$

Lời giải:

a) ${\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}+9=0$

+ Tính $∆={\mathrm{b}}^2-4\mathrm{ac}=6^2-4.1.9=36-36=0$

+ Do $∆=0$, phương trình có nghiệm kép

${\mathrm{x}}_1={\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}=\frac{-\mathrm{b}}{2.1}=-3$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-3}.

b) $2{\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+1=0$

+ Tính $∆={\mathrm{b}}^2-4\mathrm{ac}={\left(-6\right)}^2-4.1.2=36-8=28$

+ Do $∆>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

${\mathrm{x}}_1=\frac{-\mathrm{b}+\sqrt{∆}}{2\mathrm{a}}=\frac{6+\sqrt{28}}{2.2}=\frac{3+\sqrt{7}}{2}$;

${\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}-\sqrt{∆}}{2\mathrm{a}}=\frac{6-\sqrt{28}}{2.2}=\frac{3-\sqrt{7}}{2}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $\mathrm{S}=\left\{\frac{3+\sqrt{7}}{2}; \frac{3-\sqrt{7}}{2}\right\}$.

c) $2{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+5=0$.

+ Tính $∆={\mathrm{b}}^2-4\mathrm{ac}=3^2-4.2.5=9-40=-31$

+ Do $∆<0$ nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 10: Phương trình (m–1)x² + 3x – 1 = 0.

a) Tìm m để phương trình có nghiệm.

b) Tìm m để phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

a)

+ Với a = 0 $\Rightarrow \mathrm{m}-1=0\Rightarrow \mathrm{m}=1$, phương trình trở thành

 3x - 1 = 0 $\iff 3\mathrm{x}=1\iff \mathrm{x}=\frac{1}{3}$.

Do đó m = 1 thỏa mãn điều kiện phương trình có nghiệm

+ Với $\mathrm{a}\ne 0\Rightarrow \mathrm{m}-1\ne 0\Rightarrow \mathrm{m}\ne 1$, phương trình là phương trình bậc hai

Ta có: $∆={\mathrm{b}}^2-4\mathrm{ac}=3^2-4.\left(\mathrm{m}-1\right).\left(-1\right)$

$∆=9+4\mathrm{m}-4=5+4\mathrm{m}$

Để phương trình có nghiệm thì $∆\ge 0$

$$\begin{gathered} \iff 4\mathrm{m}+5\ge 0 \\ \iff 4\mathrm{m}\ge -5 \\ \iff \mathrm{m}\ge \frac{-5}{4} \end{gathered}$$

Kết hợp hai trường hợp ta được $\mathrm{m}\ge -\frac{5}{4}$ thì phương trình có nghiệm

b) Để phương trình vô nghiệm thì $∆<0\iff 4\mathrm{m}+5<0$

$\iff 4\mathrm{m}<-5\iff \mathrm{m}<\frac{-5}{4}$.

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Giải phương trình x2 + 14x + 49 = 0; x2 - 2x - 5 = 0

Câu 2: Cho phương trình -x2 + 2x + 20172017 = 0 . Không giải phương trình, hãy cho biết phương trình đã cho có bao nhiêu nghiệm?

Câu 3: Giải các phương trình:

a) 5x² -7x = 0;

b) -3 x²+ 9 = 0;

c) x² - 6 x + 5 = 0;

d) 3x² + 12x + 1 = 0.

Câu 4: Giải các phương trình:

Câu 5: Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 4x²+ m²x + 4m = 0 có nghiệm x = 1 ?

Câu 6: Cho phương trình 4mx² - x - 10m² = 0. Tìm các giá trị cua tham số m để phương trình có nghiệm x =  2.

Câu 7: Xác định hệ số a,b,c; Tính biệt thức ∆ (hoặc ∆' nếu b = 2b') rồi tìm nghiệm của các phương trình:

a) 2x² - 3x - 5 = 0;

b) x² - 6x + 8 = 0;

c) 9x² - 12x + 4 = 0;

d) -3x² + 4x - 4 = 0.

Câu 8: Xác định hệ số a,b,c; Tính biệt thức A ( hoặc A'nếu b = 2b') rồi tìm nghiệm của các phương trình:

a) x² – x -11 = 0

b) x² - 4x + 4 = 0;

c) -5x² – 4x + 1 = 0;

d) -2x² + x - 3 = 0

Câu 9: Giải các phương trình sau:

Câu 10: Cho phương trình mx²- 2 ( m- 1 ) x + m - 3 = 0 (m là tham số).

Tìm các giá trị của m để phương trình:

a) Có hai nghiệm phân biệt;

c) Vô nghiệm;

b) Có nghiệm kép;

e) Có nghiệm.

d) Có đúng một nghiệm;

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Công thức nghiệm thu gọn

Chuyên đề Hệ thức Vi – ét và ứng dụng

Chuyên đề Phương trình quy về phương trình bậc hai

Chuyên đề Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Chuyên đề Bài tập ôn tập chương