Chuyên đề Độ dài đường tròn, cung tròn (2022) - Toán 9

Chuyên đề Độ dài đường tròn, cung tròn - Toán 9

A. Lý thuyết

1. Công thức tính độ dài đường tròn

“Độ dài đường tròn” hay còn được gọi là “chu vi đường tròn” được kí hiệu là C.

Công thức tính chu vi hình tròn: C = 2πR hoặc C = πd.

Trong đó: C là độ dài đường tròn;

R là bán kính đường tròn;

d là đường kính của đường tròn;

π (đọc là “pi”) là kí hiệu của một số vô tỉ mà giá trị gần đúng thường được lấy là π ≈ 3,14.

Ví dụ 1. Cho đường tròn có bán kính 5 cm. Tính độ dài đường tròn đó?

Lời giải:

Độ dài đường tròn là:

C = 2πR = 2π . 5 = 10π (cm).

Vậy đường tròn có bán kính R = 5 cm có độ dài đường tròn là 10π cm.

2. Công thức tính độ dài cung tròn

Ví dụ 2. Cho đường tròn có bán kính 4cm. Tính độ dài cung tròn 120^o.

Lời giải:

Độ dài cung tròn 120^o là:

$l=\frac{\pi Rn}{180}$$=\frac{\pi .4.120}{180}=\frac{8}{3}\pi$ (cm)

Vậy độ dài cung tròn 120^o của đường tròn (O; 4cm) là $\frac{8}{3}\pi$ cm.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Số đo n° của cung tròn có độ dài 30,8 cm trên đường tròn có bán kính 22 cm là (lấy π ≃ 3,14 và làm tròn đên độ)

A. 70°

B. 80°

C. 65°

D. 85°

Lời giải:

Độ dài cung tròn

Chọn đáp án B

Câu 2: Tính độ dài cung 30° của một đường tròn có bán kính 4 dm

Lời giải:

Độ dài cung 

Chọn đáp án D

Câu 3: Chu vi đường tròn bán kính R = 9 là

A. 18π

B. 9π

C. 12π

D. 27π

Lời giải:

Chu vi C = 2πR = 2π.9 = 18π

Chọn đáp án A

Câu 4: Biết chu vi đường tròn là C = 36π (cm) . Tính đường kính của đường tròn.

A. 18(cm)

B. 14(cm)

C. 36(cm)

D. 20(cm)

Lời giải:

Chu vi C = πd = 36π ⇒ d = 36.36π .

Vậy đường kính cần tìm là 36cm

Chọn đáp án C.

Câu 5: Cho đường tròn tâm O có chu vi 36π cm. Tính độ dài cung có số đo 90°?

A. 9π

B. 4,5π

C. 18π

D. 15π

Lời giải:

Chọn đáp án A

Câu 6: Biết độ dài cung 60° là 6π. Tính độ dài cung tròn có số đo 100°.

A. 6π

B. 8π

C. 10π

D. 10,5π

Lời giải:

Chọn đáp án C.

Câu 7: Cho tam giác ABC có AB= 8cm; AC = 6cm và BC = 10cm. Tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?

A. 8π (cm)

B. 10π (cm)

C. 6π (cm)

D. 12π (cm)

Lời giải:

Ta có: AB² + AC² = BC² ( = 100)

Suy ra, tam giác ABC là tam giác vuông tại

Do đó, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm M của B

Bán kính đường tròn là: R = BC/2 = 5cm

Chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

C = 2π.5 = 10π (cm)

Chọn đáp án B.

Câu 8: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là 10 cm . Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp hình vuông. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB; BC. Tính độ dài của cung MN⌢ ?

A. 2π (cm)

B. 5π (cm)

C. 2,5π (cm)

D. 7,5π (cm)

Lời giải:

Do O là tâm đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD nên bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông là:

Chọn đáp án C.

Câu 9: Biết độ dài cung 60° bằng 6π (cm). Tính bán kính đường tròn

A. R =10 cm

B. R = 8cm

C. R =12cm

D. R = 18cm

Lời giải:

Độ dài cung 60° là:

Chọn đáp án D.

Câu 10: Cho đường tròn (O; R), độ dài cung có số đo n° là 0,314. R.Tính n?

A. 18°

B. 20°

C. 36°

D. 30°

Lời giải:

Độ dài cung có số đo n° là:

Chọn đáp án A.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Cho đường tròn (O) bán kính OA. Từ trung điểm M của OA vẽ dây BC vuông góc OA. Biết độ dài đường tròn (O) là 4π (cm). Tính:

a) Bán kính đường tròn (O).

b) Độ dài hai cung BC của đường tròn.

Lời giải:

a) Độ dài bán kính đường tròn (O) là:

b) Áp dụng định lý Py – ta – go vào ∆BOM vuông tại M, ta có:

BM² + OM² = OB²

∆BOM vuông tại M nên  $\sin \widehat{BOM}=\frac{BM}{OB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$= 60^o.

∆OBC cân tại O (vì OB = OC) có OM là đường cao nên OM cũng là đường phân giác.

Suy ra $\widehat{BOC}=2\widehat{BOM}=$$2.{60}^o={120}^o$

Đặt cung lớn BC là $\stackrel{⏜}{BmC}$.

Số đo của cung lớn BC là:

Vậy độ dài cung nhỏ và cung lớn BC lần lượt là  

Câu 2: Tam giác ABC có AB = AC = 3 cm, $\widehat{A}={120}^o$. Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.

Lời giải:

Ta có AB = AC nên A là điểm nằm chính giữa cung BC.

Suy ra:

$$\begin{gathered} AO\perp BC \\ \Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{HAC}={60}^o \end{gathered}$$

Do đó ∆ABH là nửa tam giác đều.

Nên AB = BO = 3 (cm).

Vậy độ dài đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là: C = 2πR = 6π (cm).

Câu 3: Một tam giác đều và một hình vuông có cùng chu vi là 72 cm. Hỏi độ dài đường tròn ngoại tiếp hình nào lớn hơn? Lớn hơn bao nhiêu?

Lời giải:

* Xét tam giác ABC đều ngoại tiếp đường tròn (O) có chu vi 72 cm.

Kẻ AH là đường trung trực của ∆ABC tại H.

Độ dài cạnh của tam giác đều: 72 : 3 = 24 (cm)

Áp dụng định lý Py – ta – go vào ∆ABH vuông tại H, ta có:

AH² + BH² = AB²

Đường tròn (O) ngoại tiếp ∆ABC nên AH là đường trung trực của ∆ABC.

Mà ∆ABC đều nên AH cũng là đường trung tuyến.

Suy ra O cũng là trọng tâm của ∆ABC.

Do đó OA = $\frac{2}{3}$AH =$\frac{2}{3}.12\sqrt{3}=8\sqrt{3}$ = R.

Do đó độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là:

C = 2πR = $16\sqrt{3}$π (cm).

* Xét hình vuông MNPQ ngoại tiếp đường tròn (O’) có chu vi 72 cm.

Nối N với Q.

Độ dài các cạnh của hình vuông là: 72 : 4 = 18 (cm).

Áp dụng định lý Py – ta – go vào ∆NPQ vuông tại P, ta có:

NP² + PQ² = NQ²

Do đó độ dài đường tròn ngoại tiếp hình vuông là:

Vậy độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác đều lớn hơn đường tròn ngoại tiếp hình vuông và lớn hơn:

Câu 4: Tính độ dài cung $50°$của một đường tròn có bán kính là 3cm.

Lời giải:

Áp dụng công thúc độ dài cung tròn $l=\frac{\pi Rn}{180}$ta có:

Độ dài cung $50°$của đường tròn bán kính 3cm là:

$l=\frac{\pi \mathrm{.3.50}}{180}=\frac{5\pi }{6}$ (cm).

Câu 5: Tính chu vi một vành một cái nón lá có bán kính là 25cm.

Lời giải:

Áp dụng công thức tính chu vi đường tròn ta được:

Chu vi vành một cái nón là C = 2R.$\pi$= 2.25.$\pi$= 50(cm).

Câu 6: Cho hình vẽ:

Biết OA = 4cm. Tính chu vi của hình

Lời giải:

Độ dài cung OA là

$l_1=\frac{\pi \mathrm{.4.180}}{180}=4\pi \left(cm\right)$

Do AB là đường kính của (O) nên OA = OB = 4cm; AB = 8cm.

Độ dài cung OB là

$l_2=\frac{\pi \mathrm{.4.180}}{180}=4\pi \left(cm\right)$

Độ dài cung AB là:

$l_3=\frac{\pi \mathrm{.8.180}}{180}=8\pi \left(cm\right)$

Chu vi hình cần tính là

C = $l_1+l_2+l_3=4\pi +4\pi +8\pi =16\pi \left(cm\right)$

Câu 7: Cho hình vẽ:

Biết AB = 1cm Tính độ dài đường cong AEFGH.

Lời giải:

Đường cong AE là cung của đường tròn bán kính AB = 1cm.

Độ dài đường cong AE là:

$l_1=\frac{\mathrm{1.90.}\pi }{180}=\frac{\pi }{2}\left(cm\right)$

Đường cong EF là cung của đường tròn bán kính CE = CB + BE = 1 + 1 = 2cm.

Độ dài đường cong EF là:

$l_2=\frac{\mathrm{2.90.}\pi }{180}=\pi \left(cm\right)$

Đường cong FG là cung của đường tròn bán kính DF = DC + CF = 1 + 2 = 3cm.

Độ dài đường cong FG là:

$l_3=\frac{\mathrm{3.90.}\pi }{180}=\frac{3\pi }{2}\left(cm\right)$

Đường cong GH là cung của đường tròn bán kính AG = AD + DG = 1 + 3 = 4cm

Độ dài đường cong HG là

$l_4=\frac{\mathrm{4.90.}\pi }{180}=2\pi \left(cm\right)$

Độ dài đường cong AEFGH là:

$l_1+l_2+l_3+l_4=\frac{\pi }{2}+\pi +\frac{3\pi }{2}+2\pi =5\pi$(cm)

Câu 8: AB là đường kính của nửa đường tròn. Trên đoạn thẳng AB lấy hai điểm M và N sao cho M nằm giữa A và N. Vẽ các đường tròn có đường kính AM, MN, NB. Hãy chứng minh tổng độ dài các cung AM, MN, NB bằng độ dài cung AB.

Lời giải:

Gọi $C_1;C_2;C_3;C$là độ dài nửa đường tròn đường kính AM; MN; NB; AB.

$C_1=\frac{1}{2}\pi .AM$ (đơn vị độ dài)

$C_2=\frac{1}{2}.\pi .MN$ (đơn vị độ dài)

$C_3=\frac{1}{2}.\pi .NB$(đơn vị độ dài)

$C=\frac{1}{2}.\pi .AB$ (đơn vị độ dài)

Lấy $C_1+C_2+C_3=\frac{1}{2}\pi .AM+\frac{1}{2}.\pi MN+\frac{1}{2}.\pi .NB$

$\iff C_1+C_2+C_3=\frac{1}{2}\pi .\left(AM+MN+NB\right)$

$\iff C_1+C_2+C_3=\frac{1}{2}\pi .AB=C$(điều phải chứng minh)

Câu 9: So sánh độ dài cung $\stackrel{⏜}{OmB}$ và $\stackrel{⏜}{AB}$.

Lời giải:

Gọi $l_1$là độ dài cung $\stackrel{⏜}{OmB}$

Gọi $l_2$là độ dài cung $\stackrel{⏜}{AB}$

Độ dài cung $\stackrel{⏜}{OmB}$là

$l_1=\frac{1}{2}.\pi .OB$ (đơn vị độ dài)

Độ dài cung $\stackrel{⏜}{AB}$ là

$l_2=\frac{1}{4}.\pi \mathrm{.2.}OB =\frac{1}{2}.\pi .OB$(đơn vị độ dài)

Vậy $l_1=l_2$

Câu 10: Cho hai đường tròn bán kính lần lượt R = 1km và r = 1m. Nếu độ dài mỗi đường tròn ấy đều tăng thêm 1m thì bán kính của mỗi đường tròn tăng thêm bao nhiêu ? Hãy giải thích.

Lời giải:

Gọi bán kính tăng thêm của đường tròn bán kính R là a, phần bán kính tăng thêm của đường tròn bán kính r là b. Khi độ dài mỗi đường tròn tăng thêm 1m, ta có:

 $2\pi \left(R+a\right)=2\pi R+1\Rightarrow 2\pi a=1\Rightarrow a=\frac{1}{2\pi }$(m)

 $2\pi \left(r+b\right)=2\pi r+1\Rightarrow 2\pi b=1\Rightarrow b=\frac{1}{2\pi }$(m)

Vậy bán kính mỗi đường tròn đều tăng thêm  $\frac{1}{2\pi }$(m).

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho $\pi =3,14$. Hãy điền vào ô trống

Câu 2: Hãy điền vào ô trống:

Câu 3: Cho tam giác ABC có AB = AC = 3cm và $\widehat{A}=120°$. Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Câu 4: Cho đường tròn (O), bán kính R và dây AB. Cho hai trường hợp sau:

a) Nếu số đo cung AB bằng $90°$. Hãy tính chu vi đường tròn đường kính AB.

b) Nếu độ dài cung AB bằng $\frac{5\pi R}{6}$. Hỏi số đo  của góc $\widehat{AOB}$ bằng bao nhiêu.

Câu 5: Cho đường tròn (O) bán kính OA. Từ trung điểm M của OA vẽ dây BC vuông góc với OA. Biết độ dài đường tròn (O) là $4\pi$ cm. Tính:

a) Bán kính đường tròn (O);

b) Độ dài cung BC của đường tròn.

Câu 6: Cho tam giác AB vuông tại A có AB = 5cm, $\widehat{B}=60°$. Đường tròn tâm I đường kính AB cắt BC ở D.

a) Chứng minh AD vuông góc với BC.

b) Chứng minh đường tròn tâm K đường kính AC đi qua D.

c) Tính độ dài cung nhỏ BD.

Câu 7: Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O), vẽ các nửa đường tròn đường kính AD và BC ra phía ngoài của tứ giác. Biết AB + CD = 10cm. Tính tổng các độ dài của hai nửa đường tròn này.

Câu 8: Tính chu vi các phần bị gạch trong các hình vẽ dưới đây:

Câu 9: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O). Vẽ ra phía ngoài tứ giác này bốn nửa đường tròn đường kính lần lượt là bốn cạnh của tứ giác. Chứng minh rằng tổng độ dài của hai nửa đường tròn có đường kính là hai cạnh đối diện của tứ giác bằng tổng độ dài hai nửa đường tròn có đường kính là hai cạnh đối diện còn lại.

Câu 10: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Vẽ dây CD = R (thuộc cung AD). Nối AC với BD cắt nhau tại M.

a) Chứng minh tam giác MCD đồng dạng với tam giác MBA, tìm tỉ số đồng dạng.

b) Cho $\widehat{ABC}=30°$. Tính độ dài cung nhỏ AC.

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Diện tích hình tròn, hình quạt tròn

Chuyên đề Ôn tập chương III

Chuyên đề Hình trụ - Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ

Chuyên đề Hình nón – Hình nón cụt. Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt

Chuyên đề Hình cầu. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu