Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Chuyên đề Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số (2022) - Toán 9

    Với Chuyên đề Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số (2022) - Toán 9 mới nhất được biên soạn bám sát chương trình Toán 9 giúp các bạn học tốt môn Toán hơn.

    1 1,208 27/08/2022
    Tải về
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Chuyên đề Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số - Toán 9

    A. Lý thuyết

    1. Quy tắc cộng đại số

    Định nghĩa: Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương.

    Các bước cộng đại số:

    Bước 1: Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình đã cho để được phương trình mới.

    Bước 2: Dùng phương trình mới đấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia)

    Ví dụ 1: Xét hệ phương trình 2x-y=53x+y=10(I). Áp dụng quy tắc cộng đại số để biến đổi hệ phương trình.

    Ta có: 2x-y=5 13x+y=10 2.

    Cộng vế với vế của phương trình (1) với phương trình (2) ta được hệ mới:

    2x-y+3x+y=5+102x-y=5⇔2x-y+3x+y=152x-y=5⇔5x=152x-y=5

    2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

    a) Trường hợp thứ nhất: Các hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hệ phương trình đã bằng nhau hoặc đối nhau

    Bước 1: Cộng (trừ) vế với với của hai phương trình ban đầu với nhau đề được phương trình mới.

    Bước 2: Viết lại hệ phương trình mới với một phương trình là phương trình mới sau khi đã cộng (trừ) đại số và một phương trình là phương trình ban đầu của hệ. Giải hệ phương trình.

    Ví dụ 2: Xét hệ phương trình: x+3y=54x+3y=11

    Ta có: x+3y=5     14x+3y=11 2

    Trừ vế với vế của phương trình (1) cho phương trình (2) ta được hệ phương trình mới:

    x+3y-4x+3y=5-11x+3y=5⇔x+3y-4x-3y=-6x+3y=5⇔-3x=-6x+3y=5⇔x=-6:-3x+3y=5⇔x=22+3y=5⇔x=23y=5-2⇔x=23y=3⇔x=2y=1

    Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là (2; 1).

    b) Trường hợp thứ 2: Các hệ số của mỗi ẩn trong phương trình không bằng nhau hoặc không đối nhau

    Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với các số thích hợp sao cho với một ẩn nào đó các hệ số bằng nhau hoặc đối nhau.

    Bước 2: Cộng (trừ) vế với với của hai phương trình ban đầu với nhau đề được phương trình mới.

    Bước 3: Viết lại hệ phương trình mới với một phương trình là phương trình mới sau khi đã cộng (trừ) đại số và một phương trình là phương trình ban đầu của hệ. Giải hệ phương trình.

    Ví dụ 3: Xét hệ phương trình 2x+3y=5 13x+2y=7 2

    Nhân hai vế của phương trình (1) với 3 và hai vế của phương trình (2) với 2 ta được hệ mới

    3.2x+3y=3.52.3x+2y=2.7⇔6x+9y=156x+4y=14

    B. Bài tập

    I. Bài tập trắc nghiệm

    Câu 1: Cho hệ phương trình Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án. Nghiệm của hệ phương trình là

    Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

    Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

    Chọn đáp án A

    Câu 2: Cho hệ phương trình Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án. Nghiệm của hệ phương trình là (x, y), tính x - y

    A. x - y = -1

    B. x - y = 1

    C. x - y = 0

    D. x - y = 2

    Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

    Chọn đáp án B

    Câu 3: Cho hệ phương trình Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án. Biết nghiệm của hệ phương trình là (x; y), tính Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

    Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

    Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

    Chọn đáp án D

    Câu 4: Cho hệ phương trình Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án. Biết nghiệm của hệ phương trình (x; y) , tính x.y

    A. 2

    B. 0

    C. -2

    D. 1

    Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

    Chọn đáp án B

    Câu 5: Cho hệ phương trình Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án. Biết nghiệm của hệ phương trình là (x; y), tính x/y

    A. 2

    B. -2

    C. -1/2

    D. 1/2

    Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

    Chọn đáp án C

    Câu 6: Giải hệ phương trình: Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

    A. (2; 1)

    B. (3; -1)

    C. ( -2; 1)

    D. (0; 2)

    Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

    Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: (2; 1)

    Chọn đáp án A.

    Câu 7: Xác định hệ số a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(2; 0) và B (-1; 3) ?

     

    A. a = 1; b = -2

    B. a = -1; b = 2

    C. a = 1; b = 2

    D. a = -1; b = -2

    Do đồ thị hàm số đã cho đi qua hai điểm A và B nên ta có:

    Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

    Chọn đáp án B.

    Câu 8: Giải hệ phương trình: Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

    A. (3 ; 2)

    B. (1; -3)

    C. ( -2; 1)

    D. (1; 3)

    Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

    Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (-2; 1)

    Chọn đáp án C.

    Câu 9: Cho hệ phương trình Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án. Tính x2 + y2

    A. 8

    B. 5

    C. 10

    D. 17

    Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

    Chọn đáp án A.

    Câu 10: Giải hệ phương trình: Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

    A.( 3; 2)

    B.(3; 3)

    C. ( 0; 6)

    D. ( 0; 3).

    Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

    Vậy nghiệm của phương trình đã cho là (0; 3).

    Chọn đáp án D.

    II. Bài tập tự luận có lời giải

    Câu 1: Số nghiệm của hệ phương trình Trắc nghiệm Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số có đáp án là?

    Trắc nghiệm Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số có đáp án

    Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (4;7)

    Câu 2: Số nghiệm của hệ phương trình Trắc nghiệm Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số có đáp án là?

    Trắc nghiệm Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số có đáp án

    Vậy hệ phương trình vô nghiệm

    Câu 3: Chứng minh nghiệm x > 0; y < 0 là nghiệm của hệ phương trình Trắc nghiệm Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số có đáp án

    Trắc nghiệm Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số có đáp án

    Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (31; −3)

    ⇒ x > 0; y < 0

    Câu 4: Giải hệ phương trình sauLý thuyết Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số - Lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ nhất

    Lời giải:

    Cộng từng vế của hai phương trình trong hệ (I) ta được: 4x = 4

    Do đó ta có hệ:

    Lý thuyết Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số - Lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ nhất

    Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) = (1; -1).

    Câu 5: Giải hệ phương trình sau:Lý thuyết Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số - Lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ nhất

    Lời giải:

    Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 2, khi đó ta được hệ tương đương:

    Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

    Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (x; y) = (2; 1).

    Câu 6: Giải các hệ phương trình sau:

    2x+5y=82x-3y=0

    Lời giải:

    2x+5y=82x-3y=0

    ⇔2x+5y-2x-2y=8-02x-3y=0

    (trừ vế với vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai)

    2x+5y-2x+3y=82x-3y=0⇔8y=82x-3y=0⇔y=8:82x-3y=0⇔2x-3.1=0y=1⇔2x-3=0y=1⇔2x=3y=1⇔x=32y=1

    Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = 32; 1.

    Câu 7: Giải các hệ phương trình sau:

     2x+3y=-23x-2y=-3

    Lời giải:

    2x+3y=-23x-2y=-3⇔6x+9y=-66x-4y=-6

    (Ta nhân cả hai vế của phương trình một với 3 và phương trình hai với 2)

    ⇔6x+9y=-66x+9y-6x-4y=-6--6

    (trừ vế với vế của phương thứ nhất cho phương trình thứ hai)

    ⇔6x+9y=-66x+9y-6x+4y=0⇔6x+9y=-613y=0⇔6x+9y=-6y=0⇔6x+9.0=-6y=0⇔6x=-6y=0⇔x=-1y=0

    Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (-1; 0).

    Câu 8: Giải các hệ phương trình sau:

    3x-1+2y=132x-1-y=4

    Lời giải:

    3x-1+2y=132x-1-y=4

    Điều kiện: x≥1; y≥0

    Đặt x-1=a a≥0y=b b≥0

    Khi đó hệ phương trình trở thành 3a+2b=13 12a-b=4     2

    Nhân cả hai vế của phương trình (2) với 2 khi đó ta có hệ mới

    3a+2b=13 14a-2b=8   3

    Lấy (1) + (3) ta được hệ

    3a+2b+4a-2b=13+83a+2b=13⇔7a=213a+2b=13⇔a=21:73a+2b=13⇔a=33.3+2b=13⇔a=32b=13-9⇔a=32b=4⇔a=3b=2⇒x-1=3y=2⇔x-1=9y=4⇔x=10y=4

    Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là (10; 4).

    Câu 9: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

    a)2x−11y=−710x+11y=31

    b)4x+7y=164x−3y=−24

    c)0,35x+4y=−2,60,75x−6y=9

    d)2x+23y=532x−3y=92

    e)10x−9y=815x+21y=0,5

    f)3,3x+4,2y=19x+14y=4

    Lời giải:

    a)2x−11y=−710x+11y=31⇔2x−11y+10x+11y=−7+312x−11y=−7

    ⇔12x=242x−11y=−7⇔x=22.2−11y=−7

    ⇔x=24−11y=−7⇔x=2−11y=−11⇔x=2y=1

    Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (2; 1)

    b)4x+7y=164x−3y=−24⇔4x+7y=164x+7y−4x−3y=16−−24

    ⇔4x+7y=1610y=40⇔4x+7y=16y=4

    ⇔4.x+7.4=16y=4⇔4x+28=16y=4

    ⇔4x=−12y=4⇔x=−3y=4

    Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (-3; 4).

    c)0,35x+4y=−2,60,75x−6y=9⇔3.0,35x+4y=3.−2,62.0,75x−6y=2.9

    ⇔1,05x+12y=−7,81,5x−12y=18⇔2,55x=10,21,5x−12y=18

    ⇔x=41,5.4−12y=18⇔x=46−12y=18

    ⇔x=4−12y=12⇔x=4y=−1

    Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (4; -1).

    d)2x+23y=532x−3y=92⇔32x+23y=5.332x−3y=92

    ⇔32x+63y=1532x−3y=92⇔2x+23y=532x+63y−32x−3y=15−92

    ⇔2x+23y=573y=10,5⇔2x=5−23yy=32

    ⇔2x=5−23.32y=32⇔2x=2y=32⇔x=2y=32Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x;y=2;32

    e)10x−9y=815x+21y=0,5

    ⇔30x−27y=2430x+42y=1⇔30x−27y=2430x+42y−30x−27y=1−24

    ⇔30x−27y=24y=−23:69⇔30x−27y=24y=−23:69

    ⇔30x−27.−13=24y=−13⇔30x=24−9y=−13

    ⇔30x=15y=−13⇔x=12y=−13

    Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = 12;−13 .

    f)3,3x+4,2y=19x+14y=4⇔30113,3x+4,2y=30119x+14y=4

    ⇔9x+12611y=30119x+14y=4⇔9x+14y=49x+14y−9x+12611y=4−3011

    ⇔9x+14y=42811y=1411⇔9x+14y=4y=12

    ⇔9x+14.12=4y=12⇔9x+7=4y=12

    ⇔9x=−3y=12⇔x=−13y=12

    Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = −13;12 .

    Câu 10: Giải các hệ phương trình:

    a) 8x−7y=512x+13y=−8

    b) 35x−4y=15−27−25x+87y=18

    Lời giải:

    a) 8x−7y=512x+13y=−8⇔3.8x−7y=5.3212x+13y=−8.2

    ⇔24x−21y=1524x+26y=−16⇔24x−21y=1524x−21y−24x+26y=15−−16

    ⇔24x−21y=15−47y=31⇔24x−21y=15y=−3147

    ⇔24.x−21.−3147=15y=−3147⇔24x+65147=15y=−3147

    ⇔24x=5447y=−3147⇔x=9188y=−3147

    Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = 9188;−3147.

    b) 35x−4y=15−27−25x+87y=18⇔2.35x−4y=2.15−273.−25x+87y=18.3

    ⇔65x−8y=30−47−65x+247y=54

    ⇔65x−8y=30−4765x−8y+−65x+247y=30−47+54

    ⇔65x−8y=30−47247−8y=84−47

    ⇔65x−8y=30−47y=84−47247−8⇔65x−8y=30−47y=72

    ⇔65x−872=30−47y=72

    ⇔65x=30−47+47y=72

    ⇔65x=30y=72⇔x=5y=72

    Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = 5;72

    III. Bài tập vận dụng

    Câu 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

    Câu 2: Giải hệ phương trình Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

    Câu 3: Hệ phương trình: Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số cực hay - Toán lớp 9 có nghiệm (x;y) = ?

    Câu 4: Hệ phương trình sau: Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số cực hay - Toán lớp 9. Tổng x + y =?

    Câu 5: Giải hệ phương trình sau: Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số cực hay - Toán lớp 9. So sánh xy với 0.

    Câu 6: Cho hệ phương trình sau: Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số cực hay - Toán lớp 9. kết quả của x + y – 1 = ?

    Câu 7: Tìm hai số a và b sao cho 5a – 4b = -5 và đường thẳng: ax + by = -1 đi qua điểm A(-7; 4).

    Câu 8: Tìm giá trị của a và b để đường thẳng ax – by = 4 đi qua hai điểm A(4; 3), B(-6; -7)

    Câu 9: Giải các hệ phương trình theo hai cách (Cách thứ nhất: đưa hệ phương trình về dạng: ax+by=ca'x+b'y=c';Cách thứ hai: Đặt ẩn phụ, chẳng hạn 3x – 2 = s; 3y + 2 = t);

    a) 23x−2−4=53y+243x−2+73y+2=−2

    b) 3x+y+5x−y=12−5x+y+2x−y=11

    Câu 10: Tìm giá trị của m để ba đường thẳng sau đây đồng quy: (d1): 5x + 11y = 8, (d2): 10x – 7y = 74, (d3): 4mx + (2m – 1)y = m + 2

    Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

    Chuyên đề Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

    Chuyên đề Ôn tập chương 3

    Chuyên đề Hàm số y = ax^2 (a khác 0)

    Chuyên đề Đồ thị của hàm số y = ax^2 (a khác 0)

    Chuyên đề Phương trình bậc hai một ẩn

    Tham khảo các loạt bài Toán 9 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 1,208 27/08/2022
    Tải về
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: