Chuyên đề Vị trí tương đối của hai đường tròn (2022) - Toán 9

Chuyên đề Vị trí tương đối của hai đường tròn - Toán 9

A. Lý thuyết

1. Ba vị trí tương đối của hai đường tròn.

a) Hai đường tròn cắt nhau.

Hai đường tròn có hai điểm chung được gọi là hai đường tròn cắt nhau.

    + Hai điểm A, B là hai giao điểm.

    + Đoạn thẳng AB là dây chung.

    + Đặt O₁A = R; O₂A = r khi đó: |R - r| < O₁O₂ < R + r

    + Đường thẳng O₁O₂ là đường nối tâm, đoạn thẳng O₁O₂ là đoạn nối tâm.

    + Tính chất đường nối tâm: Đường nối tâm là đường trung trực của dây chung

b) Hai đường tròn tiếp xúc nhau.

Hai đường tròn chỉ có một điểm chung được gọi là hai đường tròn tiếp xúc.

    + Điểm A gọi là tiếp điểm.

    + Có hai trường hợp tiếp xúc của hai đường tròn:

     ⋅ Tiếp xúc ngoài tại A: O₁O₂ = R + r

     ⋅ Tiếp xúc trong tại A: O₁O₂ = |R - r|

c) Hai đường tròn không giao nhau

Hai đường tròn không có điểm chung nào được gọi là hai đường tròn không giao nhau.

    + Hai đường tròn ngoài nhau: O₁O₂ > R + r

    + Hai đường tròn đựng nhau: O₁O₂ < |R - r|

    + Đặc biệt, khi (O₁) và (O₂) đồng tâm: O₁O₂ = 0

2. Định lý

    + Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là đường trung trực của dây cung.

    + Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.

3. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

    + Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.

    + Tiếp tuyến chung ngoài không cắt đường nối tâm.

    + Tiếp tuyến chung trong cắt đường nối tâm.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Nếu hai đường tròn tiếp xúc với nhau thì số điểm chung của hai đường tròn là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải:

Hai đường tròn tiếp xúc với nhau thì có một điểm chung duy nhất

Chọn đáp án A

Câu 2: Cho hai đường tròn (O; R) và (O; r) với R > r cắt nhau tại hai điểm phân biệt và OO' = d . Chọn khẳng định đúng?

A. d = R - r

B. d > R + r

C. R - r < d < R + r

D. d < R - r

Lời giải:

Hai đường tròn (O; R) và (O'; r)(R > r) cắt nhau

Khi đó (O) và (O') có hai điểm chung và đường tròn nối tâm là đường trung trực của đoạn AB

Hệ thức liên hệ R - r < OO' < R + r

Chọn đáp án C

Câu 3: Cho hai đường tròn (O; 8cm) và (O; 6cm) cắt nhau tại A, B sao cho OA là tiếp tuyến của (O). Độ dài dây AB là

A. AB = 8,6 cm

B. AB = 6,9 cm

C. AB = 4,8 cm

D. AB = 9,6 cm

Lời giải:

Vì OA là tiếp tuyến của (O') nên tam giác vuông tại A

Vì (O) và (O') cắt nhau tại A, B nên đường tròn nối tâm OO' là trung trực của đoạn AB

Gọi giao điểm của AB và OO' là I thì AB ⊥ OO' tại I là trung điểm của AB

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAO' ta có:

Chọn đáp án D

Câu 4: Cho đường tròn (O) bán kính OA và đường tròn (O') đường kính OA. Vị trí tương đối của hai đường tròn là:

A. Nằm ngoài nhau

B. Cắt nhau

C. Tiếp xúc ngoài

D. Tiếp xúc trong

Lời giải:

Vì hai đường tròn có một điểm chung là A và  nên hai đường tròn tiếp xúc trong

Chọn đáp án D

Câu 5: Cho đường tròn (O) bán kính OA và đường tròn (O') đường kính OA. Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ tại C. Khi đó

Lời giải:

Chọn đáp án B

Câu 6: Cho hai đường tròn (O1; 4) và (O2; R) tiếp xúc ngoài nhau biết O1O2 = 10cm. Tìm R

A. 4cm

B. 6cm

C. 14cm

D. 10cm

Lời giải:

Để hai đường tròn đã cho tiếp xúc ngoài khi và chỉ khi:

R1 + R2 = O1O2

Hay 4 + R = 10 nên R = 6cm

Chọn đáp án B.

Câu 7: Cho hai đường tròn (O1; 3cm ) và (O2; R) cắt nhau, biết O1O2 = 11 cm và R > 3. Bán kính R có thể bằng bao nhiêu?

A. R = 8 cm

B. R = 9cm

C. R = 14cm

D. R = 15cm

Lời giải:

Để hai đường tròn đã cho cắt nhau khi và chỉ khi:

R - 3 < O1O2 < R + 3 hay R - 3 < 11 < R + 3

Suy ra: R < 14 và 8 < R.

Trong các phương án đã cho chỉ có phương án B thỏa mãn

Chọn đáp án B.

Câu 8: Cho hai đường tròn (O; 15cm) và (I; 20cm) cắt nhau tại hai điểm A và B . Biết rằng O và I nằm hai phía đối với đường thẳng AB và AB = 24cm . Tính đoạn nối tâm OI?

A. 20cm

B. 21cm

C. 23cm

D. 25 cm

Lời giải:

Gọi giao điểm của AB và OI là điểm H .

Theo tính chất đường nối tâm ta có H là trung điểm của AB nên HA = HB = 24 : 2 = 12 cm

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông OAH ta có:

OH2 = OA2 – AH2 = 152 – 122 = 81 nên OH = 9 cm

Áp dụng đinh lí Pytago vào tam giác vuông AHI ta có:

HI2 = AI2 – AH2 = 202 – 122 = 256 nên HI = 16 cm

Do đó, OI = OH + HI = 9 + 16 = 25 cm

Chọn đáp án D.

Câu 9: Cho hai đường tròn (O; 10 cm ) và (I; 6cm). Xác định vị trí hai đường tròn biết OI = 3 cm?

A. Ở ngoài nhau

B. Đường tròn (O) đựng đường tròn ( I)

C. Cắt nhau

D. Tiếp xúc trong

Lời giải:

Ta có: OI < R – r ( 3 < 10 – 6)

Do đó, đường tròn (O) đựng đường tròn (I) .

Chọn đáp án B.

Câu 10: Cho hai đường tròn (A; 6cm) và (B; 3cm). Tìm điều kiện để hai đường tròn đã cho ở ngoài nhau?

A. AB > 9cm

B. AB < 9cm

C. AB = 3cm

D. AB < 3cm

Lời giải:

Để hai đường tròn đã cho ở ngoài nhau khi và chỉ khi:

AB > R + r hay AB > 6 + 3 = 9cm

Chọn đáp án A.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Cho đường tròn tâm O bán kính OA và đường tròn đường kính OA. Xác định tính tương đối của hai đường tròn

Lời giải:

Gọi đường tròn (O') là đường tròn đường kính OA.

Ta có:

⇒ (O) và (O') tiếp xúc trong.

Câu 2: Cho hai đường tròn (O; 20) và (O'; 15) cắt nhau tại A và B. Tính đoạn thẳng nối OO' biết rằng AB = 24

Lời giải: 

Ta có 2 trường hợp xảy ra:

Gọi C là giao điểm của đường thẳng AB và OO'

Câu 3: Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r) cắt nhau tại hai điểm A và B. Vẽ đường kính AOC và đường kính AO'D

a) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng

b) Qua A vẽ cát tuyến cắt (O) và (O') lần lượt tại M và N. CMR: MN ≤ CD

Lời giải:

a) Tam giác ABC có AC là đường kính nên tam giác ABC vuông tại B hay AB ⊥ BC

Tam giác ABD có AD là đường kính nên tam giác ABD vuông tại B hay AB ⊥ BD

⇒ C, B, D cùng thuộc đường thẳng qua B và vuông góc với AB

b) Xét tam giác ACD có OO' là đường trung bình nên OO' = 1/2 CD

Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của O và O' nên MN

Khi đó E, F lần lượt là trung điểm của AM và AN

⇒ EF = 1/2 MN

Ta đưa việc so sánh CD với MN qua so sánh OO' với EF

Xét 2 đường thẳng OE và O'F song song với nhau.

EF vuông góc với cả hai đoạn thẳng nên EF là đoạn thẳng nhỏ nhất trong các đoạn nối từ 1 điểm trên OE tới 1 điểm trên O'F. Khi đó: EF ≤ OO' ⇒ MN ≤ CD

Câu 4: Cho hai đường tròn (O); (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN với M ∈ (O); N ∈ (O’). Gọi P là điểm đối xứng với M qua OO’; Q là điểm đối xứng với N qua OO’. Khi đó, tứ giác MNQP là hình gì?

Lời giải:

Vì P là điểm đối xứng với M qua OO’

Q là điểm đối xứng với N qua OO’ nên MN = PQ

P ∈ (O); Q ∈ (O’) và MP ⊥ OO’; NQ ⊥ OO’ ⇒ MP // NQ mà MN = PQ

nên MNPQ là hình thang cân

Câu 5: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) (R > R’) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ các bán kính OB // O’D với B, D ở cùng phía nửa mặt phẳng bờ OO’. Đường thẳng DB và OO’ cắt nhau tại I. Tiếp tuyến chung ngoài GH của (O) và (O’) với G, H nằm ở nửa mặt phẳng bờ OO’ không chứa B, D. Tính PI theo R và R’

Lời giải:

Câu 6: Cho hai đường tròn (O; 8cm) và (O’; 6cm) cắt nhau tại A, B sao cho OA là tiếp tuyến của (O’). Tính độ dài dây AB

Lời giải:

Vì OA là tiếp tuyến của (O’) nên ∆OAO’ vuông tại A

Vì (O) và (O’) cắt nhau tại A, B nên đường nối tâm OO’ là trung trực của đoạn AB

Gọi giao điểm của AB và OO’ là I thì AB ⊥ OO’ tại I là trung điểm của AB

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAO’ ta có:

Câu 7: Cho hai đường tròn (O; 6cm) và (O’; 2cm) cắt nhau tại A, B sao cho OA là tiếp tuyến của (O’). Tính độ dài dây AB

Lời giải:

Vì OA là tiếp tuyến của (O’) nên OAO’ vuông tại A

Vì (O) và (O’) cắt nhau tại A, B nên đường nối tâm OO’ là trung trực của đoạn AB

Gọi giao điểm của AB và OO’ là I thì AB ⊥ OO’ tại I là trung điểm của AB

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAO’ ta có:

Câu 8: Cho đường tròn tâm O bán kính OA và đường tròn đường kính OA. Xác định tính tương đối của hai đường tròn

Lời giải:

Gọi đường tròn (O') là đường tròn đường kính OA.

Ta có:

⇒ (O) và (O') tiếp xúc trong.

Câu 9: Cho hai đường tròn (O); (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN với M ∈ (O); N ∈ (O’). Gọi P là điểm đối xứng với M qua OO’; Q là điểm đối xứng với N qua OO’. MN + PQ bằng:

Lời giải:

Vì P là điểm đối xứng với M qua OO’

Q là điểm đối xứng với N qua OO’ nên MN = PQ

P ∈ (O); Q ∈ (O’) và MP ⊥ OO’; NQ ⊥ OO’ ⇒ MP // NQ mà MN = PQ

nên MNPQ là hình thang cân

Kẻ tiếp tuyến chung tại A của (O); (O’) cắt MN; PQ lần lượt tại B; C

⇒ OP ⊥ PQ tại P ∈ (O) nên PQ là tiếp tuyến của (O).

Chứng minh tương tự ta có PQ là tiếp tuyến của (O’)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

BA = BM = BAO NHIÊU; CP = CA = CQ suy ra B; C lần lượt là trung điểm của MN; PQ và MN + PQ = 2MB + 2 PC = 2AB + 2AC = 2BC

Lại có BC là đường trung bình của hình thang MNPQ nên MP + NQ = 2BC

Do đó MN + PQ = MP + NQ

Câu 10: Cho hình 76, trong đó hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc với nhau tại A. Chứng minh rằng các tiếp tuyến Bx và Cy song song với nhau.

Lời giải:

Ta có:

O, A, O’ thẳng hàng

C, A, B thẳng hàng

 (hai góc đối đỉnh) (1)

Tam giác OAB cân tại O

$\Rightarrow \widehat{OAB}=\widehat{OBA}$ (2)

Tam giác O’AC cân tại O’

$\Rightarrow \widehat{O\text{'}AC}=\widehat{O\text{'}CA}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: $\widehat{OBA}=\widehat{O\text{'}CA}$

Mà cặp góc này ở vị trí so le trong

Do đó, OB // O’C

Có: $Bx\perp OB$ (tính chất tiếp tuyến)

$\Rightarrow Bx\perp O\text{'}C$

Mà $Cy\perp O\text{'}C$ (tính chất tiếp tuyến)

Do đó, Bx // Cy

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hai đường tròn (O; 20) và (O'; 15) cắt nhau tại A và B. Tính đoạn thẳng nối OO' biết rằng AB = 24

Câu 2: Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r) cắt nhau tại hai điểm A và B. Vẽ đường kính AOC và đường kính AO'D

a) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng

b) Qua A vẽ cát tuyến cắt (O) và (O') lần lượt tại M và N. CMR: MN ≤ CD

Câu 3: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), hai đường chéo cắt nhau tại O. Vẽ đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác AOB, đường tròn (K) ngoại tiếp tam giác COD. Chứng minh rằng hai đường tròn (I) và (K) tiếp xúc với nhau.

Câu 4: Cho các đường tròn (A; 10), (B; 15), (C; 15) tiếp xúc ngoài với nhau đôi một. Hai đường tròn (B) và (C) tiếp xúc với nhau tại A’. Đường tròn (A) tiếp xúc vớ đường tròn (B) và (C) lần lượt tại C’ và B’

    a) Chứng minh rằng AA’ là tiếp tuyến chung của đường tròn (B) và (C). Tính độ dài AA’

    b) Tính diện tích tam giác A’B’C’

Câu 5: Cho đường tròn (O; R) và đường tròn (O’; R’) với R > R’ tiếp xúc trong với nhau tại A. Đường nối tâm OO’ cắt đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại B và C (B, C khác A). Vẽ các đường tròn (M) và (N) có đường kính lần lượt là BC và OO’

    a) Chứng minh rằng BC = 2 OO’ và AM = 2 AN

    b) Từ A vẽ tiếp tuyến AE với đường tròn (N). Chứng minh rằng AE cũng là tiếp tuyến của đường tròn (M).

Câu 6: Cho đường thẳng xy và đường tròn (O; R) không giao nhau. Gọi M là một điểm di động trên xy. Vẽ đường tròn đường kính OM cắt đường tròn (O) tại A và B. Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 7: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) (R > R’) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ các bán kính OB // O’D với B, D ở cùng phía nửa mặt phẳng bờ OO’. Đường thẳng DB và OO’ cắt nhau tại I.

    a) Tính góc BAD?

    b) Tính OI biết R = 3 cm; R’ = 2 cm

    c) Tính OI theo R và R’

    d) Chứng minh rằng BD, OO’ và tiếp tuyến chung ngoài của (O) và (O’) đồng quy.

Câu 8: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn (O) tại C. Gọi D và E theo thứ tự là hình chiếu của A và B trên d.

    a) Xác định vị trí tương đối của các đường tròn (A; AD) và (B; BE)

    b) Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE.

Câu 9: Xét ΔABC có các góc B, C nhọn. Các đường tròn đường kính AB và AC cắt nhau tại điểm thứ hai H. Một đường thẳng d bất kì qua A và cắt hai đường tròn nói trên lần lượt tại M và N.

    a) Chứng minh H thuộc cạnh BC

    b) Tứ giác BCNM là hình gì?

    c) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BC, MN. Chứng minh bốn điểm A, H, P, Q thuộc một đường tròn

    d) Xác định vị trí của d để MN có độ dài lớn nhất.

Câu 10: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B, trong đó O’ nằm trên đường tròn (O). Kẻ đường kính O’OC của đường tròn (O).

a) Chứng minh rằng CA, CB là các tiếp tuyến của đường tròn (O’)

b) Đường vuông góc với AO’ tại O’ cắt CB ở I. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng O’B ở K. Chứng minh rằng ba điểm O, I, K thẳng hàng.

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Ôn tập chương 2

Chuyên đề Phương trình bậc nhất hai ẩn

Chuyên đề Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Chuyên đề Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Chuyên đề Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số