Chuyên đề Đồ thị của hàm số y = ax^2 (a khác 0) (2022) - Toán 9

Chuyên đề Đồ thị của hàm số y = ax^2 (a khác 0) - Toán 9

A. Lý thuyết

1. Đồ thị của hàm số 

Định nghĩa: Đồ thị của hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{ax}}^2\left(\mathrm{a}\ne 0\right)$ là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một parabol đỉnh O (với O là gốc tọa độ).

Tính chất:

+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.

+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị.

2. Cách vẽ đồ thị hàm số $\mathbf{y}\mathbf{=}{\mathbf{ax}}^{\mathbf{2}}(a\ne 0)$

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Lập bảng giá trị (thường từ 5 đến 7 giá trị) tương ứng giữa x và y.

Bước 3: Vẽ đồ thị và kết luận.

Chú ý: Vì đồ thị hàm số y =ax² (a ≠ 0) luôn đi qua gốc tọa độ O và nhận trục Oy làm trục đối xứng nên khi vẽ đồ thị của hàm số này, ta chỉ cần tìm một số điểm bên phải trục Oy rồi lấy các điểm đối xứng với chúng qua Oy.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Đồ thị hàm số y = 1/3 x2 đi qua điểm nào sau đây?

Lời giải:

Chọn đáp án B.

Câu 2: Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x2 với đường thẳng y = 4x - 3 là?

A. (-1; 1), (3; 9)

B. (-1; 1), (-3; 9)

C. (1; 1), (3; 9)

D. (1; 1), (-3; 9)

Lời giải:

Do đó tọa độ giao điểm là (1; 1), (3; 9)

Chọn đáp án C.

Câu 3: Số giao điểm của đồ thị hàm số y = 4x2 với đường thẳng y = 4x - 3

A. 1

B. 0

C. 2

D. 3

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

Khi đó phương trình hoành độ giao điểm trên vô nghiệm.

Vậy không có giao điểm nào

Chọn đáp án B.

Câu 4: Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm A( 1; 2) thuộc đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0).

Hỏi điểm nào thuộc đồ thị hàm số ?

A. M (2; 8)

B. N ( -2; 4)

C. P( - 3; 9)

D. Q( 4; 16)

Lời giải:

Vì điểm A(1; 2) thuộc đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0) nên:

2 = a.12 ⇒ a = 2

Vây hàm số đã cho là y = 2x2.

Trong các điểm đã cho chỉ có điểm M (2; 8) thuộc đồ thị hàm số .

Chọn đáp án A.

Câu 5: Biết đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0) đi qua điểm A(1; a). Hỏi có bao nhiêu giá trị của a thỏa mãn?

A. 1

B.2

C. 0

D. Vô số

Lời giải:

Do đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0) đi qua điểm A(1; a) nên:

a = a.12 ⇔ a = a ( luôn đúng với mọi a khác 0).

Vậy có vô số giá trị của a thỏa mãn.

Chọn đáp án D.

Câu 6: Cho đồ thị hàm số y = -2x2. Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số đã cho có tung độ - 8.

A. (2; -8)

B. (-2; -8)

C. Cả A và B đúng

D. Tất cả sai

Lời giải:

Các điểm thuộc đồ thị hàm số đã cho có tung độ bằng -8 thỏa mãn:

-8 = -2x2 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = ±2

Vậy có 2 điểm thuộc đồ thị hàm số đã cho có tung độ bằng -8 là M (-2; - 8) và N(2; -8)

Chọn đáp án C.

Câu 7: Cho y = ax2 (a ≠ 0) đồ thị hàm số . Với giá trị nào của a thì đồ thị của hàm số đã cho nằm phía trên trục hoành.

A. a < 0

B. a > 0

C.

D. a > 2

Lời giải:

Đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0) là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục tung làm đối xứng.

+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành.

+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành.

Do đó, để đồ thị hàm số đã cho nằm phía trên trục hoành thì a > 0.

Chọn đáp án B.

Câu 8: Cho đồ thị của các hàm số sau:

(1): y = - 2x2      (2): y = x2      (3): y = -3x2      (4): y = -10x2

Hỏi có bao nhiêu đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải:

Đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0) là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục tung làm đối xứng.

+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành.

+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành.

Trong đồ thị các hàm số đã cho; các đồ thị nằm phía dưới trục hoành là”

(1): y = -2x2; (3): y = - 3x2 và (4):y = -10x2

Chọn đáp án C.

Câu 9: Cho đồ thị hàm số y = 3x2. Tìm tung độ của điểm thuộc parabol có hoành độ là số nguyên dương nhỏ nhất?

A. 0

B. 1

C. -3

D. 3

Lời giải:

Số nguyên dương nhỏ nhất là 1.

Do đó, tung độ của điểm thuộc parabol có hoành độ 1 là: y = 3.12 = 3

Chọn đáp án D.

Câu 10: Cho đồ thị hàm số y = x2 và y = 3x2. Tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho?

A. O(0; 0)

B. A(1; 1)

C. O(0; 0) và A(1; 1)

D. O(0; 0) và B( 1; 3)

Lời giải:

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là nghiệm phương trình:

x2 = 3x2 ⇔ -2x2 = 0 ⇔ x = 0

Với x = 0 thì y= 02 = 0

Do đó,đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau tại điểm duy nhất là gốc tọa độ O(0; 0).

Chọn đáp án A.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Cho hàm số y = ax2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của y khi x đi từ -2017 đến 2018

Lời giải:

Ta thấy rằng hệ số a của đồ thị này dương, nên đồ thị có giá trị nhỏ nhất là y = 0 tại x = 0

Nhận thấy rằng trong khoảng -2017 đến 2018 đi qua hoành độ x = 0

Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số y = ax2 là y(0) = 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của y bằng 0 tại x = 0

Câu 2: Cho parabol (P):  và đường thẳng (d): y = 5x + 4. Tìm m để đường thẳng d cắt (P) tại điểm có tung độ y = 9

Lời giải:

Thay y = 9 vào phương trình đường thẳng d ta được 9 = 5x + 4 ⇔ x = 1

nên tọa độ giao điểm của đường thẳng d và parabol (P) là 91; 9)

Thay x = 1; y = 9 vào hàm số  ta được

Vậy m = 16 là giá trị cần tìm

Câu 3: Cho parabol (P):  và đường thẳng (d): y = 2x + 2. Biết đường thẳng d cắt (P) tại một điểm có tung độ y = 4. Tìm hoành độ giao điểm còn lại của d và parabol (P)

Lời giải:

Thay y = 4 vào phương trình đường thẳng d ta được 2x + 2 = 4 ⇔ x = 1

Nên tọa độ giao điểm của đường thẳng d và parabol (P) là (1; 4)

Thay x = 1; y = 4 vào hàm số  ta được:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):

Câu 4: Cho parabol (P): và đường thẳng (d): y = 3x – 5. Biết đường thẳng d cắt (P) tại một điểm có tung độ y = 1. Tìm m và hoành độ giao điểm còn lại của d và parabol (P)

Lời giải:

Thay y = 1 vào phương trình đường thẳng d ta được 3x – 5 = 1 ⇔ x = 2

Nên tọa độ giao điểm của đường thẳng d và parabol (P) là (2; 1)

Thay x = 2; y = 1 vào hàm số  ta được:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):

Vậy hoành độ giao điểm còn lại là x = 10

Câu 5: Cho đồ thị hàm số y = 2x2 (P) như hình vẽ. Dựa vào đồ thị, tìm m để phương trình 2x2 – m – 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt.

Lời giải:

Ta có 2x2 – m – 5 = 0 (*) ⇔ 2x2 = m + 5

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của parabol (P): y = 2x2 và đường thẳng d: y = m + 5

Để (*) có hai nghiệm phân biệt thì d cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Từ đồ thị hàm số ta thấy:

Với m + 5 > 0 ⇔ m > −5 thì d cắt (P) tại hai điểm phân biệt hay phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khi m > −5

Câu 6: Cho parabol (P): y = (m – 1)x2 và đường thẳng (d): y = 3 – 2x. Tìm m để đường thẳng d cắt (P) tại điểm có tung độ y = 5.

Lời giải:

Thay y = 5 vào phương trình đường thẳng d ta được 5 = 3 – 2x ⇔ x = −1

Nên tọa độ giao điểm của đường thẳng d và parabol (P) là (−1; 5)

Thay x = −1; y = 5 vào hàm số y = (m – 1)x2 ta được:

(m – 1). (−1)2 = 5 ⇔ m – 1 = 5 ⇔ m = 6

Vậy m = 6 là giá trị cần tìm

Câu 7: Vẽ đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{1}{2}{\mathrm{x}}^2$.

Lời giải:

Tập xác định của hàm số là R.

Bảng giá trị

Đồ thị hàm số:

Câu 8: Cho hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{ax}}^2$. Tìm hệ số a biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; -12).

Lời giải:

Vì đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; -12) nên ta thay x = 2; y = -12 vào hàm số ta được:

-12 = a.2²

$\iff -12=4\mathrm{a}\iff \mathrm{a}=-12:4\iff \mathrm{a}=-3$

Vậy a = -3 thì đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; -12).

Câu 9: Cho hàm số y = 0,1x².

a) Vẽ đồ thị hàm số.

b) Các điểm sau có thuộc đồ thị hay không : A(3; 0,9), B(–5; 2,5), C(–10; 1)?

Lời giải:

a) Bảng giá trị :

x	–5	–3	0	3	5
y = 0,1x2	2,5	0,9	0	0,9	2,5

 

b) Thay hoành độ điểm A vào phương trình hàm số :

y = 0,1.3² = 0,9 = y_A

Vậy điểm A(3; 0,9) thuộc đồ thị hàm số.

Thay hoành độ điểm B vào phương trình hàm số :

y = 0,1.(–5)² = 2,5 = y_B

Vậy điểm B(–5; 2,5) thuộc đồ thị hàm số.

Thay hoành độ điểm C vào phương trình hàm số :

y = 0,1.(–10)² = 10 ≠ y_C

Vậy điểm C(–10; 1) không thuộc đồ thị hàm số.

Câu 10: Cho hàm số y = ax². Xác định hệ số a trong các trường hợp sau:

a) Đồ thị của nó đi qua điểm A(3 ; 12) ;

b) Đồ thị của nó đi qua điểm B(–2 ; 3).

Lời giải:

a) Đồ thị hàm số y = ax² đi qua điểm A(3; 12) nên tọa độ điểm A nghiệm đúng phương trình hàm số.

Ta có : 12 = a.3² ⇔ a = $\frac{12}{9}$ =$\frac{4}{3}$

Vậy hàm số đã cho là y =$\frac{4}{3}$ x².

b) Đồ thị hàm số y = ax² đi qua điểm B(–2 ; 3) nên tọa độ điểm B nghiệm đúng phương trình hàm số.

Ta có : 3 = a.(–2)² ⇔ a =$\frac{3}{4}$

Vậy hàm số đã cho là y =$\frac{3}{4}$ x²

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hàm số  . Tìm giá trị nhỏ nhất của y khi đi từ đến 2.

Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho Parabol (P): y = 2x2 . Vẽ đồ thị parabol (P)

Câu 3: Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x² với đường thẳng y = 4x - 3 là?

Câu 4: Số giao điểm của đồ thị hàm số y = 4x² với đường thẳng y = 4x - 3

Câu 5: Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm A( 1; 2) thuộc đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0).

Hỏi điểm nào thuộc đồ thị hàm số ?

Câu 6: Cho đồ thị hàm số y = -2x². Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số đã cho có tung độ - 8.

Câu 7: Cho y = ax² (a ≠ 0) đồ thị hàm số . Với giá trị nào của a thì đồ thị của hàm số đã cho nằm phía trên trục hoành.

Câu 8: Cho đồ thị của các hàm số sau:

(1): y = - 2x²      (2): y = x²      (3): y = -3x²      (4): y = -10x²

Hỏi có bao nhiêu đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành?

Câu 9: Cho parabol (P): y = (m – 1)x² và đường thẳng (d): y = 3 – 2x. Tìm m để đường thẳng d cắt (P) tại điểm có tung độ y = 5.

Câu 10: Cho parabol (P):  và đường thẳng (d): y = 5x + 4. Tìm m để đường thẳng d cắt (P) tại điểm có tung độ y = 9

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Phương trình bậc hai một ẩn

Chuyên đề Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Chuyên đề Công thức nghiệm thu gọn

Chuyên đề Hệ thức Vi – ét và ứng dụng

Chuyên đề Phương trình quy về phương trình bậc hai