Chuyên đề Phương trình quy về phương trình bậc hai (2022) - Toán 9

Chuyên đề Phương trình quy về phương trình bậc hai - Toán 9

A.Lý thuyết

1. Phương trình trùng phương

a) Phương trình trùng phương

Định nghĩa: Phương trình trùng phương là phương trình có dạng:

${\mathrm{ax}}^4+{\mathrm{bx}}^2+\mathrm{c}=0 \left(\mathrm{a}\ne 0\right)$(1)

Ví dụ 1: $3{\mathrm{x}}^4+3{\mathrm{x}}^2+6=0$; ${\mathrm{x}}^4-3{\mathrm{x}}^2=0$; ${\mathrm{x}}^4-16=0$… là những phương trình trùng phương.

Nhận xét: Phương trình trên không phải là phương trình bậc hai, song ta có thể đưa về phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ

b) Các bước giải phương trình trùng phương

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Đặt ${\mathrm{x}}^2=\mathrm{t}\left(\mathrm{t}\ge 0\right)$, khi đó phương trình (1) trở thành ${\mathrm{at}}^2+\mathrm{bt}+\mathrm{c}=0$(2)

Bước 2: Giải phương trình (2) với ẩn t

Bước 3: Giải phương trình t = x²

Bước 4: Trả lời

So sánh với điều kiện rồi kết luận nghiệm của phương trình.

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

a) Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Định nghĩa: Phương trình chứ ẩn ở mẫu là phương trình có chứa ẩn ở mẫu số.

Ví dụ 2: $\frac{2\mathrm{x}+3}{\mathrm{x}+5}+\frac{1}{\mathrm{x}-5}=0$; $\frac{4\mathrm{x}}{\mathrm{x}+3}-\frac{2\mathrm{x}-3}{\mathrm{x}+1}=6$… là những phương trình chứa ẩn ở mẫu.

b) Các bước giải phương trình chứa ân ở mẫu.

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Trong các giá trị của ẩn vừa tìm được, loại các giá trị không thỏa mãn và kết luận nghiệm của phương trình.

3. Phương trình tích

a) Phương trình tích

Định nghĩa: Phương trình tích là phương trình có dạng A(x).B(x)….M(x) = 0, ở đó A(x); B(x); … M(x) là những biểu thức.

Ví dụ 3: $\left(\mathrm{x}+1\right)\left({\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+5\right); {\left(\mathrm{x}+1\right)}^2\left(2{\mathrm{x}}^2+12\mathrm{x}+18\right)$ …

b) Các bước giải phương trình tích

Bước 1: Giải từng nhân tử A(x) = 0; B(x) = 0; …của phương trình

Bước 2: So sánh điều kiện kết luận tập nghiệm.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức b = 2b'; Δ' = b'2 - ac. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi:

A. Δ' > 0

B. Δ' = 0

C. Δ' ≥ 0

D. Δ' ≤ 0

Lời giải:

Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức b = 2b'; Δ' = b'2 - ac:

• TH1: Nếu Δ' < 0 thì phương trình vô nghiệm

• TH2: Nếu Δ' = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = 

• TH3: Nếu Δ' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,2 = 

Chọn đáp án A.

Câu 2: Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức b = 2b'; Δ' = b'2 - ac. Nếu Δ' = 0 thì:

A. Phương trình có hai nghiệm phân biệt

B. Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

C. Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

D. Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Lời giải:

Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức b = 2b'; Δ' = b'2 - ac:

Nếu Δ' = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = 

Chọn đáp án C.

Câu 3: Tính Δ' và tìm số nghiệm của phương trình 7x2 - 12x + 4 = 0

A. Δ' = 6 và phương trình có hai nghiệm phân biệt

B. Δ' = 8 và phương trình có hai nghiệm phân biệt

C. Δ' = 8 và phương trình có nghiệm kép

D. Δ' = 0 và phương trình có hai nghiệm phân biệt

Lời giải:

Phương trình 7x2 - 12x + 4 = 0 có a = 7; b' = -6; c = 4 suy ra:

Δ' = (b')2 - ac = (-6)2 - 4.7 = 8 > 0

Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Chọn đáp án B.

Câu 4: Tìm m để phương trình 2mx2 - (2m + 1)x - 3 = 0 có nghiệm là x = 2

Câu 5: Tính Δ' và tìm nghiệm của phương trình 

Câu 6: Tìm nghiệm dương của phương trình: x2 - 8x + 10 = 0

A. m = 3

B. m = 6

C. m = 9

D. m = -2

Câu 8: Cho phương trình 2x2 – 4x + m = 0. Tìm m để phương trình trên vô nghiệm?

A. m < 3

B. m > - 3

C. m > 2

D. m < -2

Câu 9: Cho hai phương trình x2 – 4x + 4= 0 và x2 + (m + 1)x + m = 0 . Tìm m để hai phương trình trên có nghiệm chung?

A. m = 2 hoặc m = -1

B. m = 1 hoặc m = 2

C. m = -1

D. m = -2

Câu 10: Cho phương trình: -8x2 + 100x + 40m = 0. Tìm m để phương trình trên có nghiệm duy nhất?

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Tìm các giá trị của m để phương trình mx2 – 2(m – 1)x + m + 2 = 0 có nghiệm.

Câu 2: Phương trình (m – 3)x2 – 2(3m + 1)x + 9m – 1 = 0 có nghiệm khi?

Câu 3: Trong trường hợp phương trình −x2 + 2mx − m2 – m = 0 có hai nghiệm phân biệt. Hai nghiệm của phương trình là?

Câu 4: Trong trường hợp phương trình x2 – 2(m – 2)x + 2m − 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt. Hai nghiệm của phương trình là?

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm giá trị của tham số m để phương trình x2 + 2mx + m - 4 = 0 có nghiệm.

Câu 2: Tìm giá trị của tham số m để phương trình x2 - mx + m - 1 = 0 có đúng một nghiệm duy nhất?

Câu 3: Giải các phương trình sau bằng công thức thu gọn:

3x2 + 18x + 29 = 0;      x2 - 16x + 64 = 0

Câu 4: Giải phương trình :

a)  – 7x – 18 = 0;

b)    – 9 + 8 = 0.

Câu 5:

Giải các phương trình sau :

a) 3 – 4+ 1 = 0 ;

b)  + 4 – 21 = 0.

Câu 6:

Giải các phương trình sau :

a)  + 7 + 10 = 0 ;

b) 5 – 20 = 0.

Câu 7:

Giải các phương trình sau :

a) 7 + 6 + 2 = 0;

b) 9 – 24 +16 = 0.       

Câu 8:

Giải các phương trình sau :

a)  + 6 – 18x -9 = 0;

b)  + 2 – 2 + 2x – 3 = 0.

Câu 9:

Giải các phương trình sau :

a) x(x + 1)(x + 6)(x + 7) = 40 ;

b) (2x + 1)(2x + 5)( – 1) + 9 = 0 ;

c) (6 – x + 2)(6 + 3x + 2) = 96.

a) (x+2)² – 3x – 5 =(1 – x)(1 + x)

b) (x – 1)³ + 2x = x³  – x² – 2x + 1

c) x(x² – 6 ) – (x – 2)² = (x + 1)³

d) (x + 5)² + (x – 2)² + (x + 7)(x – 7) = 12x – 23

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Chuyên đề Bài tập ôn tập chương

Chuyên đề Góc ở tâm. Số đo cung

Chuyên đề Liên hệ giữa cung và dây

Chuyên đề Góc nội tiếp