Chuyên đề Phương trình quy về phương trình bậc hai (2022) - Toán 9

Với Chuyên đề Phương trình quy về phương trình bậc hai (2022) - Toán 9 mới nhất được biên soạn bám sát chương trình Toán 9 giúp các bạn học tốt môn Toán hơn.

1 1065 lượt xem
Tải về


Chuyên đề Phương trình quy về phương trình bậc hai - Toán 9

A.Lý thuyết

1. Phương trình trùng phương

a) Phương trình trùng phương

Định nghĩa: Phương trình trùng phương là phương trình có dạng:

ax4+bx2+c=0 a0(1)

Ví dụ 1: 3x4+3x2+6=0x4-3x2=0x4-16=0… là những phương trình trùng phương.

Nhận xét: Phương trình trên không phải là phương trình bậc hai, song ta có thể đưa về phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ

b) Các bước giải phương trình trùng phương

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Đặt x2=tt0, khi đó phương trình (1) trở thành at2+bt+c=0(2)

Bước 2: Giải phương trình (2) với ẩn t

Bước 3: Giải phương trình t = x2

Bước 4: Trả lời

So sánh với điều kiện rồi kết luận nghiệm của phương trình.

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

a) Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Định nghĩa: Phương trình chứ ẩn ở mẫu là phương trình có chứa ẩn ở mẫu số.

Ví dụ 2: 2x+3x+5+1x-5=04xx+3-2x-3x+1=6… là những phương trình chứa ẩn ở mẫu.

b) Các bước giải phương trình chứa ân ở mẫu.

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Trong các giá trị của ẩn vừa tìm được, loại các giá trị không thỏa mãn và kết luận nghiệm của phương trình.

3. Phương trình tích

a) Phương trình tích

Định nghĩa: Phương trình tích là phương trình có dạng A(x).B(x)….M(x) = 0, ở đó A(x); B(x); … M(x) là những biểu thức.

Ví dụ 3: x+1x2-6x+5; x+122x2+12x+18 …

b) Các bước giải phương trình tích

Bước 1: Giải từng nhân tử A(x) = 0; B(x) = 0; …của phương trình

Bước 2: So sánh điều kiện kết luận tập nghiệm.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức b = 2b'; Δ' = b'2 - ac. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi:

A. Δ' > 0

B. Δ' = 0

C. Δ' ≥ 0

D. Δ' ≤ 0

Lời giải:

Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức b = 2b'; Δ' = b'2 - ac:

• TH1: Nếu Δ' < 0 thì phương trình vô nghiệm

• TH2: Nếu Δ' = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

• TH3: Nếu Δ' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,2 = Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Chọn đáp án A.


Câu 2: Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức b = 2b'; Δ' = b'2 - ac. Nếu Δ' = 0 thì:

A. Phương trình có hai nghiệm phân biệt

B. Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

C. Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

D. Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Lời giải:

Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức b = 2b'; Δ' = b'2 - ac:

Nếu Δ' = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Chọn đáp án C.

Câu 3: Tính Δ' và tìm số nghiệm của phương trình 7x2 - 12x + 4 = 0

A. Δ' = 6 và phương trình có hai nghiệm phân biệt

B. Δ' = 8 và phương trình có hai nghiệm phân biệt

C. Δ' = 8 và phương trình có nghiệm kép

D. Δ' = 0 và phương trình có hai nghiệm phân biệt

Lời giải:

Phương trình 7x2 - 12x + 4 = 0 có a = 7; b' = -6; c = 4 suy ra:

Δ' = (b')2 - ac = (-6)2 - 4.7 = 8 > 0

Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Chọn đáp án B.

Câu 4: Tìm m để phương trình 2mx2 - (2m + 1)x - 3 = 0 có nghiệm là x = 2

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Chọn đáp án C.

Câu 5: Tính Δ' và tìm nghiệm của phương trình Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Chọn đáp án D.

Câu 6: Tìm nghiệm dương của phương trình: x2 - 8x + 10 = 0

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Lời giải:

Ta có: a = 1; b = - 8 nên b’ = -4; c = 10.

Δ' = (-4)2 - 1.10 = 16 - 10 = 6

Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là;

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Vậy cả hai nghiệm trên đều là nghiệm dương của phương trình đã cho.

Chọn đáp án D.

Câu 7: Cho phương trình 2x2 - 10x + m + 1 = 0; ( m là tham số). Tìm m để biệt thức Δ' = 11

A. m = 3

B. m = 6

C. m = 9

D. m = -2

Ta có: a = 2 ; b = -10 nên b’ = -5; c = m + 1

Δ' = (-5)2 - 2.(m + 1) = 25 - 2m - 2 = 23 - 2m

Để Δ' = 11 thì 23 – 2m = 11

⇔ -2m = -12 ⇔ m = 6

Chọn đáp án B.

Câu 8: Cho phương trình 2x2 – 4x + m = 0. Tìm m để phương trình trên vô nghiệm?

A. m < 3

B. m > - 3

C. m > 2

D. m < -2

Ta có: a = 2; b = - 4 nên b’ = -2 và c = m

Δ' = (-2)2 - 2m = 4 - 2m

Để phương trình đã cho vô nghiệm thì:4 – 2m < 0 hay m > 2 .

Chọn đáp án C.

Câu 9: Cho hai phương trình x2 – 4x + 4= 0 và x2 + (m + 1)x + m = 0 . Tìm m để hai phương trình trên có nghiệm chung?

A. m = 2 hoặc m = -1

B. m = 1 hoặc m = 2

C. m = -1

D. m = -2

* Xét phương trình : x2 – 4x + 4= 0

⇔ (x-2)2 = 0 ⇔ x - 2 = 0 ⇔ x = 2

Vậy phương trình này có nghiệm duy nhất.

Để hai phương trình đã cho có nghiệm chung khi và chỉ khi x = 2 là nghiệm phương trình

x2 + (m + 1)x + m = 0.Suy ra:

22 + (m + 1).2 + m = 0

⇔ 4 + 2m + 2 + m = 0 ⇔ 6 + 3m = 0

⇔ 3m = +6 ⇔ m = -2

Chọn đáp án D.

Câu 10: Cho phương trình: -8x2 + 100x + 40m = 0. Tìm m để phương trình trên có nghiệm duy nhất?

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Chọn đáp án B.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Tìm các giá trị của m để phương trình mx2 – 2(m – 1)x + m + 2 = 0 có nghiệm.

Phương trình mx2 – 2(m – 1)x + m + 2 = 0 có a = m; b’ = − (m – 1); c = m + 2

Suy ra ∆' = (m – 1)2 – m(m + 2) = −4m + 1

TH1: m = 0, ta có phương trình 2x + 2 = 0 ⇔ x = −1

TH2: m ≠ 0. Phương trình có nghiệm khi Trắc nghiệm Công thức nghiệm thu gọn có đáp án

Kết hợp cả hai trường hợp ta có với Trắc nghiệm Công thức nghiệm thu gọn có đáp án thì phương trình có nghiệm

Câu 2: Phương trình (m – 3)x2 – 2(3m + 1)x + 9m – 1 = 0 có nghiệm khi?

Phương trình (m – 3)x2 – 2(3m + 1)x + 9m – 1 = 0 có a = m – 3; b’ = − (3m + 1) và c = 9m – 1

TH1: Nếu m – 3 = 0 ⇒ m = 3 thì phương trình (m – 3)x2 – 2(3m + 1)x + 9m – 1 = 0 trở thành −2(3.3 + 1) x + 9.3 – 1 = 0 ⇒ −20x + 26 = 0 ⇒  Trắc nghiệm Công thức nghiệm thu gọn có đáp án 

Vậy m = 3 thì phương trình có nghiệm duy nhất nên ta nhận m = 3

TH2: m ≠ 3 thì phương trình là phương trình bậc hai. Phương trình có nghiệm khi

Trắc nghiệm Công thức nghiệm thu gọn có đáp án

Câu 3: Trong trường hợp phương trình −x2 + 2mx − m2 – m = 0 có hai nghiệm phân biệt. Hai nghiệm của phương trình là?

Phương trình −x2 + 2mx − m2 – m = 0 có a = −1; b’ = m; c = −m2 – m

Suy ra ∆' = m2 – (−1).( −m2 – m) = −m

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi –m > 0 ⇔ m < 0

Trắc nghiệm Công thức nghiệm thu gọn có đáp án

Câu 4: Trong trường hợp phương trình x2 – 2(m – 2)x + 2m − 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt. Hai nghiệm của phương trình là?

Phương trình x2 – 2(m – 2)x + 2m − 5 = 0 có a = 1; b’ = − (m – 2); c = 2m – 5

Suy ra ∆' = [− (m – 2)]2 – 1.(2m − 5) = m2 – 6m + 9 = (m – 3)2

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ∆' > 0 ⇔ (m – 3)2 > 0 ⇔ m ≠ 3

Khi đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

Trắc nghiệm Công thức nghiệm thu gọn có đáp án

Câu 5: Giải phương trình 2x2 - 6x + 4 = 0

Lời giải:

    + Tính Δ' = (-3)2 - 2.4 = 9 - 8 = 1 > 0

    + Do Δ' > 0, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là

Lý thuyết Công thức nghiệm thu gọn - Lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ nhất

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x1 = 2; x2 = 1.

Câu 6: Giải phương trình 3x2 - 6x + 3 = 0

Lời giải:

+ Tính Δ' = (-3)2 - 3.3 = 9 - 9 = 0

+ Do Δ' = 0, phương trình có nghiệm kép là x1 = x2 = -(-3/3) = 1

Vậy phương trình có nghiệm kép là x1 = x2 = 1

Câu 7: Giải phương trình 5x2 - 2x + 3 = 0

Lời giải:

+ Tính Δ' = (-1)2 - 5.3 = -14 < 0

+ Do Δ' < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 8: Giải các phương trình sau

a) x4-13x2+36=0

b) 5x4+3x2+2=0

c) x4+4x2+3=0

Lời giải:

a) x4-13x2+36=0

Đặt x2=tt0 khi đó phương trình trở thành:

t2-13t+36=0=-132-4.36=25t=-b+2a=--13+52=9tmt=-b-2a=--13-52=4tm

+ Với t = 9 x2=9x=3x=-3

+ Với x2=4x=2x=-2

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {-3; -2; 2; 3}.

b) 5x4+3x2+2=0

Đặt x2=tt0, khi đó phương trình trở thành

5t2+3t+2=0=32-5.4.2=9-40=-31

Vì <0 nên phương trình vô nghiệm

Do đó phương trình ban đầu vô nghiệm

c) x4+4x2+3=0

Đặt x2=tt0, khi đó phương trình trở thành

t2+4t+3=0

Có a = 1; b = 4; c = 4 a-b+c=0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt t1=-1; t2=-ca=-31=-3

Vì t0 do đó cả t1; t2 đều không thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 9: Giải các phương trình sau

a) 480x-480x+3=8

b) 1x-1-3x2x3-1=2xx2+x+1

Lời giải :

a) Điều kiện: x0; x-3

480x-480x+3=8480.x+3x.x+3-480.xx.x+3=8x.x+3x.x+3480x+1440-480x-8x2-24xx.x+3=0-8x2-24+1440xx+3=08x2+24x-1440=0x2+3x-180=0*

=32-4.1.-180=729 > 0

Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là:

x1=-3+7292=12 (thỏa mãn);

x1=-3-7292=-15 (thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình là 12; -15

b) Điều kiện: x1

1x-1-3x2x3-1=2xx2+x+1x2+x+1x-1x2+x+1-3x2x-1x2+x+1-2xx-1x-1x2+x+1=0x2+x+1-3x2-2x2+2x=0-4x2+3x+1=0 *

=32-4.-4.1=9+16=25

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

x1=-3+252.-4=-14(thỏa mãn);

x2=-3-252.-4=1(không thỏa mãn)

Do đó tập nghiệm của phương trình ban đầu là S = -14.

Câu 10: Giải các phương trình sau

a) 3x2-5x+1x2-4=0

b) 2x2+x-42-2x-12=0

Lời giải:

a) 3x2-5x+1x2-4=0

3x2-5x+1=0  1x2-4=0           2

+) Giải (1) 3x2-5x+1=0

=52-4.3.1=25-12=13>0

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

x1=-b+2a=5+132.3=5+136;

x2=-b-2a=5-132.3=5-136

+) Giải (2) x2-4=0x2=4x=2x=-2

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm -2; 2; 5-136; 5+136.

b) 2x2+x-42-2x-12=0

2x2+x-4-2x-1.2x2+x-4+2x-1=02x2-x-32x2+3x-5=02x2-x-3=0    12x2+3x-5=0  2

+) Giải (1) 2x2-x-3=0

=-12-4.2.-3=25

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

x1=1+252.2=32x2=1-252.2=-1

+ Giải (2) 2x2+3x-5=0

=32-4.2.-5=49

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt

x1=-3+492.2=1x2=-3-492.2=-52

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S=-52; 32; -1; 1.

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm giá trị của tham số m để phương trình x2 + 2mx + m - 4 = 0 có nghiệm.

Câu 2: Tìm giá trị của tham số m để phương trình x2 - mx + m - 1 = 0 có đúng một nghiệm duy nhất?

Câu 3: Giải các phương trình sau bằng công thức thu gọn:

3x2 + 18x + 29 = 0;      x2 - 16x + 64 = 0

Câu 4: Giải phương trình :

a) x^{4}  – 7x – 18 = 0;

b) x^{4}    – 9x^{2}  + 8 = 0.

Câu 5:

Giải các phương trình sau :

a) 3x^{4}  – 4x^{2} + 1 = 0 ;

b) x^{4}  + 4x^{2}  – 21 = 0.

Câu 6:

Giải các phương trình sau :

a) x^{4}  + 7x^{2}  + 10 = 0 ;

b) 5x^{4}  – 20x^{2}  = 0.

Câu 7:

Giải các phương trình sau :

a) 7x^{4}  + 6x^{2}  + 2 = 0;

b) 9x^{4}  – 24x^{2}  +16 = 0.       

Câu 8:

Giải các phương trình sau :

a) x^{4}  + 6x^{3}  – 18x -9 = 0;

b) x^{4}  + 2x^{3}  – 2x^{2}  + 2x – 3 = 0.

Câu 9:

Giải các phương trình sau :

a) x(x + 1)(x + 6)(x + 7) = 40 ;

b) (2x + 1)(2x + 5)(x^{2}  – 1) + 9 = 0 ;

c) (6x^{2}  – x + 2)(6x^{2}  + 3x + 2) = 96x^{2} .

Câu 10 Giải các phương trình:

a) (x+2)2 – 3x – 5 =(1 – x)(1 + x)

b) (x – 1)3 + 2x = x3  – x2 – 2x + 1

c) x(x2 – 6 ) – (x – 2)2 = (x + 1)3

d) (x + 5)2 + (x – 2)2 + (x + 7)(x – 7) = 12x – 23

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Chuyên đề Bài tập ôn tập chương

Chuyên đề Góc ở tâm. Số đo cung

Chuyên đề Liên hệ giữa cung và dây

Chuyên đề Góc nội tiếp

1 1065 lượt xem
Tải về


Xem thêm các chương trình khác: