Chuyên đề Góc ở tâm. Số đo cung (2022) - Toán 9

Chuyên đề Góc ở tâm. Số đo cung - Toán 9

A. Lý thuyết

1. Góc ở tâm

Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn.

• Hai cạnh của góc ở tâm cắt đường tròn tại hai điểm, do đó chia đường tròn thành hai cung.

+ Cung nhỏ: cung nằm bên trong góc (với góc α (0 < α < 180°)).

+ Cung lớn: Cung nằm bên ngoài góc.

• Cung AB được kí hiệu là $\stackrel{⏜}{AB}$. Để phân biệt hai cung có chung các mút là A và B như hình vẽ (0 < α < 180°), ta kí hiệu: $\stackrel{⏜}{AmB}, \stackrel{⏜}{AnB}$

    Trong đó: $\stackrel{⏜}{AnB}$ là cung nhỏ, $\stackrel{⏜}{AmB}$ là cung lớn.

    Với α = 180° thì mỗi cung là một nửa đường tròn.

• Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn.

Khi đó, $\stackrel{⏜}{AnB}$ là cung bị chắn bởi góc AOB hay góc AOB chắn cung nhỏ $\stackrel{⏜}{AnB}$.

2. Số đo cung

• Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.

• Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360° và số đo cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn).

• Số đo của nửa đường tròn bằng 180°.

Số đo của cung AB được kí hiệu là sđ $\stackrel{⏜}{AB}$.

Ví dụ 1. Cho góc α = 80° là góc ở tâm O như hình vẽ. Tính số đo cung lớn.

Lời giải:

- Chú ý:

+ Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn 180°.

+ Cung lớn có số đo lớn hơn 180°.

+ Khi hai mút của cung trùng nhau, ta có “cung không” với số đo là 0° và cung cả đường tròn có số đo là 360°.

3. So sánh hai cung

•  Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng số đo bằng nhau.

•  Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.

Ví dụ 2. Cho đường tròn (O) như hình vẽ.

Ta thấy hai cung $\stackrel{⏜}{AmB}$ và $\stackrel{⏜}{CnD}$ có số đo bằng nhau và đều bằng 60^o.

Khi đó, hai cung $\stackrel{⏜}{AmB}$ và $\stackrel{⏜}{CnD}$ bằng nhau.

- Kí hiệu: Hai cung AB và CD bằng nhau được kí hiệu là $\stackrel{⏜}{AB}=\stackrel{⏜}{CD}$.

Ví dụ 3. Cho đường tròn (I) như hình vẽ.

Ta thấy hai cung $\stackrel{⏜}{EmF}$ và $\stackrel{⏜}{GnH}$ có số đo nhỏ hơn (45^o < 75^o).

Khi đó, $\stackrel{⏜}{EmF}$ nhỏ hơn $\stackrel{⏜}{GnH}$.

- Kí hiệu: Cung EF nhỏ hơn cung GH được kí hiệu là $\stackrel{⏜}{EF}>\stackrel{⏜}{GH}$.

Ta có thể gọi cung GH lớn hơn cung EF và kí hiệu là $\stackrel{⏜}{GH}<\stackrel{⏜}{EF}$.

4. Khi nào  ?

Định lí: Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì 

Ví dụ 4. Điểm C nằm trên cung nhỏ AB như hình vẽ.

Chứng minh: 

Lời giải:

Ta có điểm C nằm trên cung nhỏ AB.

Khi đó, điểm C chia cung nhỏ AB thành hai cung nhỏ AC và BC.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Chọn khẳng định đúng. Góc ở tâm là góc

A. Có đỉnh nằm trên đường tròn

B. Có đỉnh trùng với tâm đường tròn

C. Có hai cạnh là hai đường kính của dường tròn

D. Có đỉnh nằm trên bán kính của đường tròn

Lời giải:

Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm

Chọn đáp án B

Câu 2: Chọn khẳng định đúng. Trong một đường tròn, số đo cung nhỏ bằng

A. Số đo cung lớn

B. Số đo góc ở tâm chắn cung đó

C. Số đo ở góc của tâm chắn cung lớn

D. Số đo của cung nửa đường tròn

Lời giải:

Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó

Chọn đáp án B

Câu 3: Trong hai cung của một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau, cung nào nhỏ hơn

A. Có số đo lớn hơn

B. Có số đo nhỏ hơn 90°

C. Có số đo lớn hơn 90°

D. Có số đo nhỏ hơn

Lời giải:

Trong hai cung của một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau, cung nào nhỏ hơn thì có số đo nhỏ hơn

Chọn đáp án D

Câu 4: Cho hai tiếp tuyến tại A và B cuả đường tròn (O) cắt nhau tại M , biết 

Tính 

Lời giải:

Chọn đáp án C

Câu 5: Cho hai tiếp tuyến tại A và B cuả đường tròn (O) cắt nhau tại M , biết 

Số đo cung AB nhỏ và số đo cung AB lớn lần lượt là

A. 50° và 310°

B. 130° và 230°

C. 75° và 285°

D. 100° và 260°

Lời giải:

Chọn đáp án B

Câu 6: Chọn câu đúng. Trong hai cung của một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau.

A. Hai cung bằng nhau nếu chúng đều là cung nhỏ

B. Hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo nhỏ hơn 90^o

C. Hai cung bằng nhau nếu chúng đều là cung lớn

D. Hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau

Lời giải:

Trong hai cung của một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau, hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau

Đáp án cần chọn là: D

Câu 7: Cho hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M, biết 

Lời giải:

Vì MA, MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) nên OM là tia phân giác của ; MO là tia phân giác của 

Mà tam giác OAM vuông tại A (do MA là tiếp tuyến) nên

Đáp án cần chọn là: C

Câu 8: Cho hai tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O) cắt nhau tại N, biết 

Lời giải:

Vì NC, ND là hai tiếp tuyến của đường tròn nên ON là tia phân giác của ; NO là tia phân giác của 

Mà tam giác ODN vuông tại D (do ND là tiếp tuyến) nên:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 9: Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O). Tính số đo cung AC lớn.

A. 240^o      

B. 120^o       

C. 360^o       

D. 210^o

Lời giải:

Vì tam giác ABC đều có O là tâm đường tròn ngoại tiếp nên O cũng là giao ba đường phân giác nên AO; CO lần lượt là các đường phân giác 

Xét tam giác AOC có  nên số đo cung nhỏ AC là 120^o

Do đó số đo cung lớn AC là 360^o – 120^o = 240^o

Đáp án cần chọn là: A

Câu 10: Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O). Tính số đo cung BC nhỏ.

A. 240^o      

B. 60^o

C. 180^o       

D. 120^o

Lời giải:

Vì tam giác ABC đều có O là tâm đường tròn ngoại tiếp nên O cũng là giao ba đường phân giác nên BO; CO lần lượt là các đường phân giác 

Do đó số đo cung nhỏ BC là 120^o

Đáp án cần chọn là: D

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Cho đường tròn (O; R). Trên đường tròn đó lấy hai điểm A và B sao cho $AB=R\sqrt{2}$. Tính số đo của hai cung AB.

Lời giải:

Đặt cung nhỏ AB là $\stackrel{⏜}{AmB}$ và cung lớn AB là $\stackrel{⏜}{AnB}$.

Hai điểm A và B nằm trên đường tròn (O; R) nên OA = OB = R

Nên ΔABC vuông tại A (theo định lý Py – ta – go đảo).

Vậy số đo cung nhỏ và cung lớn AB lần lượt là 90^o và 270^o.

Câu 2: Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và $\left(O;\frac{R\sqrt{3}}{2}\right)$. Trên đường tròn nhỏ lấy một điểm M. Tiếp tuyến tại M của đường tròn nhỏ cắt đường tròn lớn tại A và B. Tia OM cắt đường tròn lớn tại C. Chứng minh rằng $\stackrel{⏜}{CA}=\stackrel{⏜}{CB}$.

Lời giải:

Tiếp tuyến tại M của đường tròn nhỏ cắt đường tròn lớn tại A và B hay AM là tiếp tuyến của đường tròn $\left(O;\frac{R\sqrt{3}}{2}\right)$ nên $OM\perp AB$.

Do đó OM là đường cao của ΔOAB.

Mặt khác, ΔOAB có OA = OB = R nên ΔOAB cân tại O.

Xét ΔOAB cân tại O có OM là đường cao nên OM cũng là đường phân giác hay $\widehat{AOM}=\widehat{BOM}$

Câu 3: Kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành một góc ở tâm có số đo là bao nhiêu độ vòa những thời điểm sau:

a) 3 giờ;     b) 5 giờ;     c) 6 giờ;

d) 12 giờ;     e) 20 giờ?

Lời giải:

Trên mặt đồng hồ người ta chia thành 12 phần bằng nhau. Góc ở tâm tạo bởi hai kim giữa hai số liền nhau là:

360^o : 12 = 30^o

a) Thời điểm 3 giờ (hình a) thì góc ở tâm có số đo là: 3.30^o = 90^o

b) Thời điểm 5 giờ (hình b) thì góc ở tâm có số đo là: 5. 30^o = 150^o

c) Thời điểm 6 giờ (hình c) thì góc ở tâm có số đo là: 6.30^o = 180^o

d) Thời điểm 12 giờ (hình d) thì góc ở tâm có số đo là: 0^o

e) Thời điểm 20 giờ (hình e) thì góc ở tâm có số đo là: 4.30^o= 120^o

Câu 4: Cho hai đường thẳng xy và st cắt nhau tại O, trong các góc tạo thành có góc 40o. Vẽ một đường tròn tâm O. Tính số đo của các góc ở tâm xác định bởi hai trong bốn tia gốc O.

Lời giải:

Câu 5: Trên các hình 5, 6 hãy dùng dụng cụ đo góc để tìm số đo cung AmB.

Từ đó, tính số đo cung AnB tương ứng.

Lời giải:

Câu 6: Xem hình 7. Tính số đo của góc ở tâm AOB và số đo cung lớn AB.

Lời giải:

Câu 7: Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B cắt nhau tại M. Biết góc AMB = 35o.

a) Tính số đo của góc ở tâm tạo bởi bán kính OA, OB.

b) Tính số đo mỗi cung AB (cung lớn và cung nhỏ).

Lời giải:

a) Góc ở tâm tạo bởi OA và OB là 

Tứ giác OAMB có:

Câu 8: Cho tam giác đều ABC. Gọi O là tâm của đường tròn đi qua đỉnh A, B, C.

a) Tính số đo các góc ở tâm tạo bởi hai trong ba bán kính OA, OB, OC.

b) Tính số đo các cung tạo bởi hai trong ba điểm A, B, C.

Lời giải:

Câu 9: Cho hai đường tròn cùng tâm O với bán kính khác nhau. Hai đường thẳng đi qua O cắt hai đường tròn đó tại các điểm A, B, C, D, M, N, P, Q (h.8).

a) Em có nhận xét gì về số đo của các cung nhỏ AM, CP, BN, DQ?

b) Hãy nêu tên các cung nhỏ bằng nhau.

c) Hãy nêu tên hai cung lớn bằng nhau.

Hình 8

Lời giải:

b) Các cung nhỏ có số đo bằng nhau là:

Trong đường tròn lớn:

Trong đường tròn nhỏ:

c) Hai cung lớn  có số đo bằng nhau.

Câu 10: Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai? Vì sao?

a) Hai cung bằng nhau thì số đo bằng nhau.

b) Hai cung có số đo bằng nhau thì bằng nhau.

c) Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn là cung lớn.

d) Trong hai cung trên một đường tròn, cung nào có số đo nhỏ hơn thì nhỏ hơn.

Lời giải:

a) Đúng. Do định lí về so sánh hai cung.

b) Sai. Không rõ hai cung có cùng nằm trên một đường tròn hay trên hai đường tròn bằng nhau hay không.

c) Sai. (Lí luận như câu b)

d) Đúng. (Lí luận như câu a)

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho (O ; R), vẽ dây AB có độ dài bằng R, dây AC vuông góc với AB. Tính số đo các cung AB, AC, BC.

Câu 2: Cho (O ; R) và 2 đường kính AB, CD vuông góc với nhau.

a) So sánh các cung nhỏ AC, CB, BD, DA.

b) Tứ giác ACBD là hình gì ?

Câu 3: Cho đường tròn (O ; R) và 2 tiếp tuyến tại A, B cắt nhau ở C. Biết OC = 2R, số đo cung nhỏ AB bằng bao nhiêu?

Câu 4: Cho (O ; R) và dây AB = R . Tính số đo cung nhỏ AB và cung lớn AB?

Câu 5: Cho (O ; R) vẽ 2 dây AB và AC sao cho AB = R, AC = R . Tính số đo cung nhỏ BC.

Câu 6: Cho (O ; R), vẽ dây AB = R . Tính số đo cung nhỏ, cung lớn AB.

Câu 7: Trên dây AB không đi qua tâm của (O) lấy C và D sao cho AC = CD = Vẽ các bán kính OM, ON của đường tròn thứ tự đi qua C, D.

a) So sánh AM và AN.

b) Chứng minh rằng MN // AB. 

b) Từ 3 giờ đến 6 giờ thì kim giờ quay được một góc ở tâm bằng bao nhiêu độ ?

Câu 9: Hai tiếp tuyến tại A, B của đường tròn (O; R) cắt nhau tại M. Biết OM = 2R. Tính số đo của góc ở tâm AOB ?

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Liên hệ giữa cung và dây

Chuyên đề Góc nội tiếp

Chuyên đề Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Chuyên đề Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn

Chuyên đề Cung chứa góc