Chuyên đề Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số (2022) - Toán 9

Chuyên đề Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số - Toán 9

A. Lý thuyết

1. Khái niệm hàm số

• Nếu đại lượng y phụ thuộc vào một đại lượng x thay đổi sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số

• Hàm số có thể được cho bằng bảng hoặc bằng công thức, ...

Ví dụ 1.

+) y là hàm số của x được cho dưới dạng bảng:

+) y là hàm số của x được cho dưới dạng công thức: $y=\frac{1}{2}x$; y = x + 2; y = 5x.

• Hàm số thường được ký hiệu bởi những chữ f, g, h, ... chẳng hạn khi y là hàm số của biến số x, ta viết y = f(x) hoặc y = g(x), ….

• f(a) là giá trị của hàm số y = f(x) tại x = a. Khi hàm số y được cho bởi công thức y = f(x), muốn tính giá trị f(a) của hàm số tại x = a, ta thay x = a vào biểu thức f(x) rồi thực hiện các phép tính trong biểu thức.

Ví dụ 2. Ta có hàm số y = f(x) = 2x + 1.

Khi đó, f(2) = 2 . 2 + 1 = 5.

• Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì y được gọi là một hàm hằng.

Ví dụ 3. Ta có y = f(x) = 3.

Khi đó với giá trị nào của x thì y = 3.

Vậy y là hàm hằng.

2. Đồ thị của hàm số

Tập hợp các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x; f(x)) trên mặt phẳng tọa độ được gọi là đồ thị của hàm số y = f(x).

Ví dụ 4. Cho đồ thị của hàm số y = f(x) = 2x.

Các cặp giá trị tương ứng trên mặt phẳng tọa độ là O(0; 0); A(1; 2).

3. Hàm số đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc $ℝ$.

• Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị của f(x) tương ứng cũng tăng lên thì hàm số y = f(x) được gọi là hàm số đồng biến trên $ℝ$ (gọi tắt là hàm số đồng biến).

• Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị của f(x) tương ứng giảm đi thì hàm số y = f(x) được gọi là hàm số nghịch biến trên R (gọi tắt là hàm số nghịch biến).

Nói cách khác, cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực R. Với $x_1,x_2\in ℝ$ ta có:

+ Nếu x₁ < x₂ mà f(x₁) < f(x₂) thì hàm số đồng biến.

+ Nếu x₁ < x₂ mà f(x₁) > f(x₂) thì hàm số nghịch biến.

Ví dụ 5. Cho hàm số y = x – 5, xác định với $\forall x\in ℝ$.

Ta có: x₁ < x₂ $\iff$ x₁ – 5 < x₂ – 5.

Hay f(x₁) < f(x₂) nên hàm số y = x – 5 đồng biến trên $ℝ$.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D . Với x1, x2 ∈ D; x1 < x2 khẳng định nào sau đây là đúng?

A. f(x1) < f(x2) thì hàm số đồng biến trên

B. f(x1) < f(x2) thì hàm số nghịch biến trên

C. f(x1) > f(x2) thì hàm số đồng biến trên

D. f(x1) = f(x2) thì hàm số đồng biến trên

Câu 2: Cho hàm số f(x) = 3 - x 2 . Tính f(-1)

A. -2

B. 2

C. 1

D. 0

Câu 3: Cho hàm số f(x) = x3 - 3x - 2. Tính 2.f(3)

A. 16

B. 8

C. 32

D. 64

Câu 4: Cho hai hàm số f(x) = -2x3 và h(x) = 10 - 3x . So sánh f(-2) và h(-1)

A. f(-2) < h(-1)

B. f(-2) ≤ h(-1)

C. f(-2) = h(-1)

D. f(-2) > h(-1)

Câu 5: Cho hai hàm số f(x) = x2 và g(x) = 5x - 4 . Có bao nhiêu giá trị của a để f(a) = g(a)

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 6: Cho hàm số y = 2x + 2. Tìm khẳng định đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên R.

B. Hàm số đã cho nghich biến trên R.

C. Điểm A(1; 3) thuộc đồ thị hàm số .

D. Tất cả sai.

Câu 7: Cho hàm số y = -3x +100. Tìm khẳng định đúng?

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên R.

B. Hàm số đã cho đồng biến trên R.

C. Điểm A(0; -3 ) thuộc đồ thị hàm số.

D. Tất cả sai.

Câu 8: Hàm số  xác định với:

A. x ≥ 0

B. ∀ x ∈R

C. x > 0

D. x < 0

Câu 9: Cho hàm số y = 2x+ 100 giá trị của y là bao nhiêu khi x=0

A.0

B.2

C.100

D.102

Câu 10: Trong các hàm số sau đâu là hàm hằng

A.y = x

B.y = 2x + 1

C. y = 2

D. y = 5/x

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1:

a) Cho hàm số y = f(x) = 2/3

Tính: f(−2); f(−1); f(0); f(12); f(1); f(2); f(3)f(−2); f(−1); f(0); f(12); f(1); f(2); f(3).

b) Cho hàm số 

Tính: g(−2); g(−1); g(0); g(12); g(1); g(2); g(3)g(−2); g(−1); g(0); g(12); g(1); g(2); g(3).

c) Có nhận xét gì về giá trị của hai hàm số đã cho ở trên khi biến xx lấy cùng một giá trị?

Lời giải:

a) Thay các giá trị vào hàm số . Ta có

b) Thay các giá trị vào hàm số  Ta có

c) Khi x lấy cùng một giá trị thì giá trị của g(x) lớn hơn giá trị của f(x) là 3 đơn vị.

Câu 2: Tìm số a, biết đồ thị hàm số y = 2x² – ax – 1 đi qua điểm M(2; 3).

Lời giải:

Vì đồ thị hàm số y = 2x² – ax – 1 đi qua điểm M(2; 3) nên:

2 . 2² – a . 2 – 1 = 3

$\iff$ 8 – 2a – 1 = 3

$\iff$ 7 – 2a = 3

$\iff$ 2a = 4

$\iff$ a = 2.

Vậy với a = 2 thì đồ thị hàm số đi qua M(2; 3).

Câu 3: Cho hàm số f(x) = x³ – 3x + 5. Hãy tính f(−1); $f\left(\frac{2}{3}\right)$; $f\left(\frac{-1}{2}\right)$

Lời giải:

Ta có: f(−1) = (−1)³ – 3. (−1) + 5 = −1 + 3 + 5 = 7;

$$\begin{gathered} f\left(\frac{2}{3}\right)={\left(\frac{2}{3}\right)}^3-3\cdot \frac{2}{3}+5 \\ =\frac{8}{27}-2+5=\frac{89}{27}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} f\left(-\frac{1}{2}\right)={\left(\frac{-1}{2}\right)}^3-3\cdot \left(\frac{-1}{2}\right)+5 \\ =\frac{-1}{8}+\frac{3}{2}+5 \\ =\frac{-1}{8}+\frac{12}{8}+\frac{40}{8}=\frac{51}{8}. \end{gathered}$$

Vậy f(−1) = 7; $f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{89}{27}$; $f\left(\frac{-1}{2}\right)=\frac{51}{8}$.

Câu 4: Cho hàm số y = f(x) = 1/2x + 5.

Tính f(0);     f(2);    f(3);     f(-2);     f(-10).

Lời giải:

f(0) = 1/2.0 + 5 = 5

f(2) = 1/2.2 + 5 = 6

f(3) = 1/2.3 + 5 = 13/2

f(-2) = 1/2.(-2) + 5 = 4

f(-10) = 1/2.(-10) + 5 = 0

Câu 5:

a) Biểu diễn các điểm sau trên mặt phẳng tọa độ Oxy:

A(1/3; 6),     B(1/2; 4),     C(1; 2),     D(2; 1),     E(3; 2/3),     F(4; 1/2).

b) Vẽ đồ thị của hàm số y = 2x.

Lời giải:

a)

b) Bảng giá trị

Đồ thị hàm số y = 2x đi qua 2 điểm (0; 0) và (1; 2)

Câu 6: Tính giá trị y tương ứng của các hàm số y = 2x + 1 và y = -2x + 1 theo giá trị đã cho của biến x rồi điền vào bảng sau:

Lời giải:

Câu 7: a) Cho hàm số

Tính: f(-2);    f(-1);    f(0);    f(1/2);    f(1);    f(2);    f(3)

b) Cho hàm số

Tính: g(-2);    g(-1);    g(0);    g(1/2);    g(1);    g(2);    g(3)

c) Có nhận xét gì về giá trị của hai hàm số đã cho ở trên khi biến x lấy cùng một giá trị?

Lời giải:

a) Ta có:

b) Ta có:

c) Từ kết quả câu a, b ta được bảng sau:

Nhận xét:

– Hai hàm số

là hai hàm số đồng biến vì khi x tăng thì y cũng nhận được các giá trị tương ứng tăng lên.

– Cùng một giá trị của biến x, giá trị của hàm số y = g(x) luôn luôn lớn hơn giá trị tương ứng của hàm số y = f(x) là 3 đơn vị.

Câu 8: Cho hàm số

a) Tính các giá trị tương ứng của y theo các giá trị của x rồi điền vào bảng sau:

b) Hàm số đã cho là hàm số đồng biến hay nghịch biến? Vì sao?

Lời giải:

Ta có:

Ta được bảng sau:

b) Hàm số đã cho là hàm số nghịch biến trên R vì khi giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) lại giảm đi.

Câu 9: Cho hai hàm số y = 2x và y = -2x

a) Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị của hai hàm số đã cho.

b) Trong hai hàm số đã cho, hàm số nào đồng biến? Hàm số nào nghịch biến? Vì sao?

Lời giải:

a) – Với hàm số y = 2x

Bảng giá trị:

Đồ thị hàm số y = 2x đi qua gốc tọa độ và điểm A( 1;2)

– Với hàm số y = -2x

Bảng giá trị:

Đồ thị hàm số y = -2x đi qua gốc tọa độ và điểm B( 1; – 2)

b) – Ta có O(x₁ = 0, y₁ = 0) và A(x₂ = 1, y₂ = 2) thuộc đồ thị hàm số y = 2x, nên với x₁ < x₂ ta được f(x₁) < f(x₂).

Vậy hàm số y = 2x đồng biến trên R.

– Lại có O(x₁ = 0, y₁ = 0) và B(x₃ = 1, y₃ = -2) thuộc đồ thị hàm số y = -2x, nên với x₁ < x₃ ta được f(x₁) < f(x₃).

Vậy hàm số y = -2x nghịch biến trên R.

Câu 10: Cho hàm số f(x) = 4x² – 5x + 2. Các điểm A(0; 2), B(−1; 4), C(1; 1) có thuộc đồ thị hàm số không? Tại sao?

Lời giải:

Vì f(0) = 4 . 0 – 5 . 0 + 2 = 2 nên điểm A(0 ; 2) thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Vì f(−1) = 4 . 1 + 5 . 1 + 2 = 11 nên điểm B(−1 ; 4) không thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Vì f(1) = 4 . 1 – 5 . 1 + 2 nên điểm C(1; 1) thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Vậy điểm A(0; 2), C(1; 1) thuộc đồ thị hàm số và điểm B(−1; 4) không thuộc đồ thị hàm số đã cho.

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Xác định hàm số f(x) biết rằng f(x + 1) = x2 - 2x + 3

Câu 2: Chứng minh công thức tính khoảng cách d giữa hai điểm A(x1; y1) và B(x2; y2) là d = 

Câu 3: Đồ thị hàm số y = √3 x được vẽ bằng compa và thước thẳng ở hình 4. Hãy tìm hiểu và trình bày lại các bước thực hiện vẽ đồ thị đó.

Câu 4: a) Vẽ đồ thị của các hàm số y = x và y = 2x trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy (hình 5).

b) Đường thẳng song song với trục Ox và cắt trục Oy tại các điểm có tung độ y = 4 lần lượt cắt các đường thẳng y = 2x, y = x tại hai điểm A và B.

Tìm tọa độ các điểm A, B, tính chu vi, diện tích của tam giác OAB theo đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimet

Hình 5

Câu 5: Cho các hàm số y = 0,5x và y = 0,5x + 2.

a) Tính giá trị y tương ứng của mỗi hàm số theo giá trị đã cho của biến x rồi điền vào bảng sau:

b) Có nhận xét gì về các giá trị tương ứng của hai hàm số đó khi biến x lấy cùng một giá trị?

Câu 6: Cho hàm số y = f(x) = 3x.

Cho x hai giá trị bất kì x₁, x₂ sao cho x₁ < x₂.

Hãy chứng minh f(x₁) < f(x₂) rồi rút ra kết luận hàm số đã cho đồng biến trên R.

Câu 7: Cho hai hàm số f(x) = x${}^2$ và g(x) = 3 - x

a, Tính f(-3); f(-$\frac{1}{2}$); f(0); g(1); g(2); g(3).

b, Xác định a để 2f(a) = g(a)

Câu 8: Cho hai hàm số y = f(x) = 3x và y = g(x) = -3x.

a, Chứng minh rằng f(x₁) < f(x₂) với x₁ < x₂. Từ đó rút ra kết luận hàm số y = f(x) = 3x đồng biến trên $\mathbb{R}$.

b, Tương tự câu a, hãy chứng minh hàm số y = g(x) = -3x là hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

c, Vẽ đồ thị của hai hàm số đã cho trên cùng mộ mặt phẳng tọa độ.

Câu 9:

Cho hai hàm số $y=2x$y=2x và $y=-2x$y=−2x

a) Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị của hai hàm số đã cho 

b) Trong hai hàm số đã cho, hàm số nào đồng biến ? Hàm số nào nghịch biến ? Vì sao ?

Câu 10: 

a) Cho hàm số y = f(x) = $\frac{2}{3}$x

Tính: f(-2); f(-1); f(0); f$\left(\frac{1}{2}\right)$; f(1); f(2); f(3)

b) Cho hàm số y = g(x) = $\frac{2}{3}$x + 3

Tính: g(-2); g(-1); g(0); g$\left(\frac{1}{2}\right)$; g(1); g(2); g(3)

c) Có nhận xét gì về giá trị của hai hàm số đã cho ở trên khi biến x lấy cùng một giá trị?

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Hàm số bậc nhất

Chuyên đề Đồ thị của hàm số y = ax + b

Chuyên đề Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau

Chuyên đề Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b

Chuyên đề Ôn tập chương 2