Chuyên đề Hình nón – Hình nón cụt. Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt (2022) - Toán 9

Chuyên đề Hình nón – Hình nón cụt. Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt - Toán 9

A. Lý thuyết

1. Hình nón

Khi quay tam giác vuông AOC một vòng quanh cạnh OA cố định thì được một hình nón.

- Điểm A được gọi đỉnh của hình nón.

- Hình tròn (O) được gọi là đáy của hình nón.

- Mỗi vị trí của AC được gọi là một đường sinh của hình nón.

- Đoạn AO được gọi là đường cao của hình nón.

2. Diện tích và thể tích của hình nón

Đặt AC = l; l là đường sinh.

Cho hình nón có bán kính đáy R và đường sinh l, chiều cao h.

- Diện tích xung quanh: S_xq = πRl.

- Diện tích toàn phần: S_tp = πRl + πR².

- Thể tích: $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h$.

Ví dụ 1. Một hình nón có đường cao bằng 24 cm và thể tích bằng 800π cm3. Tính diện tích toàn phần của hình nón này.

Lời giải:

Gọi R là bán kính và h là chiều cao của hình nón.

Do đó bán kính của hình nón là 10 cm.

Đường sinh của hình nón là:

$S{B}^2=\sqrt{S{O}^2+O{B}^2}$$=\sqrt{{24}^2+{10}^2}=26\left(cm\right)$

Diện tích toàn phần của hình nón là:

Stp = πR(l + R) = π . 10 (26 + 10) = 360π (cm²).

3. Hình nón cụt

Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần hình nón nằm giữa mặt phẳng nói trên và mặt phẳng đáy được gọi là một hình nón cụt.

- Hai hình tròn (O) và (O') được gọi là hai đáy.

- Đoạn OO' được gọi là trục. Độ dài OO' là chiều cao.

- Đoạn AC được gọi là đường sinh.

4. Diện tích và thể tích hình nón cụt

Cho hình nón cụt có các bán kính đáy R và r, chiều cao h, đường sinh l.

- Diện tích xung quanh: S_xq = π (R + r) l.

- Thể tích: $V=\frac{1}{3}\pi h(R^2+Rr+r^2)$.

Ví dụ 2. Một hình nón đỉnh S có bán kính đáy bằng 9 cm và chiều cao SO = 21,6 cm. Cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy tạo ra một hình nón cụt có chiều cao 12 cm. Tính diện tích xung quanh của hình nón cụt.

Lời giải:

Xét mặt cắt qua trục của hình nón là ∆SAB cân tại S.

Trong mặt phẳng SAB có O’C // OB.

Theo định lý Ta – lét ta có $\frac{O\text{'}C}{OB}=\frac{SO\text{'}}{SO}$.

Do đó $\frac{O\text{'}C}{9}=\frac{9,6}{21,6}\Rightarrow$ O’C = 4 (cm).

Trong mặt phẳng SAB vẽ $CH\perp AB$, ta được:

CH = OO’ = 12 cm, BH = 9 – 4 = 5 (cm).

Suy ra BC = $\sqrt{B{H}^2+C{H}^2}$$=\sqrt{{12}^2+5^2}=13$ (cm)

Diện tích xung quanh của hình nón cụt là:

Sxq = π(R₁ + R₂)l = π(9 + 4) . 13 = 169π (cm²)

Vậy diện tích xung quanh của hình nón cụt là 169π cm².

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho hình nón có bán kính đáy R = 3(cm) và chiều cao h = 4(cm). Diện tích xung quanh của hình nón là:

A. 25π (cm²)

B. 12π (cm²)

C. 20π (cm²)

D. 15π (cm²)

Lời giải:

Chọn đáp án D.

Câu 2: Cho hình nón có đường kính đáy d = 10 cm và diện tích xung quanh 65π (cm²) . Tính thể tích khối nón:

A. 100π (cm³)

B. 120π (cm³)

C. 300π (cm³)

D. 200π (cm³)

Lời giải:

Chọn đáp án A.

Câu 3: Cho hình nón có chiều cao h = 10cm và thể tích V = 1000π (cm³). Tính diện tích toàn phần của hình nón:

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án B.

Câu 4: Một chiếc xô hình nón cụt làm bằng tôn để đựng nước. Các bán kính đáy là 10cm và 5cm, chiều cao là 20cm. Tính dung tích của xô:

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án A.

Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có: BC = 20cm; AC = 12cm. Quay tam giác ABC cạnh AB ta được một hình nón có thể tích là:

A. 2304π (cm³)

B. 1024π (cm³)

C. 786π (cm³)

D. 768π (cm³)

Lời giải:

Chọn đáp án D.

Câu 6: Cho một hình nón có bán kính đáy r = 5cm và đường sinh 13cm. Tính thể tích hình nón

A. 100π

B. 30π

C. 300π

D. 325π

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án A.

Câu 7: Cho hình nón có thể tích 100π và chu vi đáy là 10π. Tính độ dài đường sinh

A. 12

B. 20

C.13

D. 14

Lời giải:

Chọn đáp án C.

Câu 8: Cho hình nón có bán kính đáy là r = 10 cm và đường sinh dài 26 cm. Tính chiều cao của hình nón

A. 12 cm

B. 24 cm

C. 20 cm

D. 16cm

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án B.

Câu 9: Cho hình nón có diện tích đáy là 9π cm², đường sinh 5cm. Tính chiều cao của hình nón?

A. 3cm

B.5cm

C. 7cm

D. 4cm

Lời giải:

Chọn đáp án D.

Câu 10: Một hình nón có đường sinh gấp 2 lần bán kính đường tròn đáy. Tìm khẳng định đúng?

A. h = √3r

B. h = 2r C .h = r

D. h = √2r

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án A.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Mặt cắt chứa trục của một hình nón là một tam giác đều có diện tích $9\sqrt{3}$cm². Tính thể tích của hình nón đó.

Lời giải:

Gọi mặt cắt là tam giác đều ABC, đáy của hình nón có tâm là O.

Ta đặt AB = AC = BC = a thì bán kính đáy hình nón là $R=\frac{a}{2}$ và chiều cao của hình nón là $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Vì diện tích của tam giác đều là $9\sqrt{3}$ cm² nên ta có:

Do đó bán kính đáy là R = 3 cm và chiều cao hình nón là:

$h=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$(cm)

Thể tích của hình nón là:

$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h$$=\frac{1}{3}\pi .3^2.3\sqrt{3}=9\sqrt{3}\pi$ (cm³)

Vậy thể tích của hình nón là: $9\sqrt{3}$ cm³.

Câu 2: Một hình nón cụt có các bán kính đáy là 21 cm và 49 cm. Biết diện tích xung quanh của nó là 3710π cm². Tính thể tích của hình nón cụt.

Lời giải:

Gọi mặt cắt chứa trục của hình nón cụt là hình thang cân ABCD.

Trong mặt phẳng này vẽ $BH\perp CD$.

Ta đặt O’B= R₁, OC = R₂, OO’ = h và BC = 1.

Ta có: BH = OO’ = h; HC = R₂ – R₁ = 49 – 21 = 28 (cm).

Vì diện tích xung quanh của hình nón cụt là 3710π cm² nên:

π(R₁  +R₂)l = 3710π

Suy ra: $l=\frac{3710\pi }{\pi (21+49)}=53$  (cm)

Xét ∆BHC vuông tại H, ta có:

$BH=\sqrt{B{C}^2-H{C}^2}$$=\sqrt{{53}^2-{28}^2}=45\left(cm\right)$

Thể tích của hình nón cụt là:

$$\begin{gathered} V=\frac{1}{3}\pi h(R_1^2+R_2^2+R_1{R}_2) \\ =\frac{1}{3}\pi .45({21}^2+{49}^2+21.49) \\ =58065\pi \left(c{m}^3\right) \end{gathered}$$

Vậy thể tích của hình nón cụt là 58 065π cm³.

Câu 3: Một chao đèn có dạng mặt xung quanh của một hình nón cụt. Các bán kính đáy lần lượt là R1 = 5 cm, R2 = 13 cm. Biết diện tích xung quanh của chao đèn là 306π cm². Tính chiều cao của chao đèn.

Lời giải:

Gọi mặt cắt chứa trục của chao đèn là hình thang cân ABCD.

Chiều cao OO’ = h và đường sinh BC = l.

Vì diện tích xung quanh của chao đèn là 306π cm² nên ta có:

π(R₁ + R₂)l = 306 π

$\Rightarrow$ π(5 + 13)l = 306 π

$\Rightarrow$ l = 17 (cm)

Trong mặt phẳng ABCD ta vẽ $BH\perp CD$.

Ta có BH = OO’ = h; OH = O’B = R₁.

Do đó HC = R₂ – R₁ = 8 (cm).

Xét ∆BHC vuông tại H, ta có:

$BH=\sqrt{B{C}^2-H{C}^2}$$=\sqrt{{17}^2-8^2}=15$ (cm)

Vậy chiều cao của chao đèn là 15 cm.

Câu 4: Chiếc nón (h.88) có dạng mặt xung quanh là một hình nón. Quan sát hình và cho biết, đâu là đường tròn đáy, đâu là mặt xung quanh, đâu là đường sinh của nón.

Lời giải:

Đường tròn đáy là phần vành rộng nhất của nón

Mặt xung quanh là phần bên ngoài của nón, tính từ đỉnh nón đến đường tròn đáy

Đường sinh là đường thẳng bất kì, nối từ đỉnh đến đường tròn đáy

Câu 5: Một hình nón được đặt vào bên trong một hình lập phương như hình vẽ (cạnh của hình lập phương bằng 1) (h.93). Hãy tính:

a) Bán kính đáy của hình nón.

b) Độ dài đường sinh.

Hình 93

Lời giải:

a) Ta có đường tròn đáy của hình nón nội tiếp trong hình vuông của một mặt của hình lập phương. Do đo bán kính của hình tròn đáy của hình nón bằng một nửa của cạnh hình lập phương và bằng 0,5.

b) Đỉnh của hình nón tiếp xúc với một mặt của hình lập phương nên đường cao của hình nón bằng với cạnh của hình lập phương và bằng 1.

Theo định lí Pitago, độ dài đường sinh của hình nón là:

Câu 6: Cắt mặt cắt xung quanh của một hình nón theo một đường sinh và trải phẳng ra thành một hình quạt. Biết bán kính hình quạt tròn bằng độ dài đường sinh và độ dài cung bằng chu vi đáy.

Quan sát hình 94 và tính số đo cung của hình quạt tròn.

Lời giải:

Câu 7: Khi quay tam giác vuông để tạo ra một hình nón như hình 87 thì góc CAO gọi là nửa góc ở đỉnh của hình nón. Biết nửa góc ở đỉnh của một hình nón là 30^o, độ dài đường sinh là a. Tính số đo cung của hình quạt khi khai triển mặt xung quanh của hình nón.

Lời giải:

mà AB = AC

⇒ ΔABC đều

⇒ BC = AC = a

⇒ bán kính đáy hình nón: r = BO = BC/2 = a/2

⇒ Chu vi hình tròn đáy: C = 2πr = πa

Khai triển mặt xung quanh hình nón ta được hình quạt AOB có bán kính R = a.

Độ dài cung AB: 

Ta luôn có: l = C ⇒  ⇒ x = 180º.

Câu 8: Hình khai triển của mặt xung quanh của một hình nón là một hình quạt. Nếu bán kính hình quạt là 16cm, số đo cung là 120^o thì độ dài đường sinh của hình nón bằng bao nhiêu:

Lời giải:

Khi khai triển mặt xung quanh của hình nón, ta được một hình quạt có bán kính bằng độ dài đường sinh.

Đề bài cho ta bán kính hình tròn chứa hình quạt là 16cm nên độ dài đường sinh của hình nón là 16cm.

Câu 9: Hình 98 cho ta hình ảnh của một cái đồng hồ cát với các kích thước kèm theo (AO = OB).

Hãy so sánh tổng thể tích của hai hình nón và thể tích của hình trụ.

Hình 98

Lời giải:

Câu 10: Viết công thức tính nửa góc ở đỉnh của một hình nón (góc α của tam giác vuông OAS – hình 99) sao cho diện tích mặt khai triển của mặt nón bằng một một phần tư diện tích của hình tròn (bán kính SA).

Hình 99

Lời giải:

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Một tam giác ABC vuông tại A có AB = 4cm, AC = 5cm quay quanh AC. Tính độ dài đường sinh và nửa góc ở đỉnh của hình nón tạo thành.

Câu 2: Hình khai triển của một hình nón là một hình quạt tròn có số đo cung là 120° ; bán kính hình quạt là 8cm. Tính diện tích xung quanh của hình nón.

Câu 3: Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón cụt biết  + = 15, . = 54 và độ dài đường sinh là 20cm, chiều cao của nón là 15cm.

Câu 4: Tam giác OMN vuông tại o có OM = 12cm ; ON = Quay  tam giác OMN quanh cạnh OM. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón tạo thành.

Câu 5: Hình khai triển của một hình nón là một hình quạt tròn có bán kính 6cm và góc ở tâm là 120°. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón.

Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại A và góc B = 30° ; BC = 2cm. Quay tam giác vuông quanh AB tạo thành hình nón. Tính số đo cung của hình quạt khi khai triển mặt xung quanh của hình nón.

Câu 7: Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón cụt biết chiều cao là 10cm, đường sinh là 14cm và hiệu hai bán kính bằng 2, tích hai bán kính bằng 24.

Câu 8: Tìm mối liên hệ giữa  và  trong đó  là diện tích xung quanh của hình trụ và  là diện tích xung quanh của hình nón. Biết hình trụ và hình nón này chung đáy và chung đường cao h, trong đó h =  (r là bán kính đáy).

Câu 9: Tính thể tích hình nón cụt khi cắt hình nón có chiều cao là 15cm ; đường sinh là 17cm bởi mặt phẳng song song với đáy sao cho chiều cao của hình nón cụt được tạo thành là 6cm.

Câu 10: Viết công thức tính nửa góc ở đỉnh của một hình nón (góc α của tam giác vuông OAS – hình 99) sao cho diện tích mặt khai triển của mặt nón bằng một một phần tư diện tích của hình tròn (bán kính SA).

Hình 99

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Hình cầu. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

Chuyên đề Ôn tập chương 4

Chuyên đề Phương trình bậc nhất hai ẩn

Chuyên đề Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Chuyên đề Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế