Chuyên đề Góc nội tiếp (2022) - Toán 9

Chuyên đề Góc nội tiếp - Toán 9

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa

- Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.

- Cung bị chắn là cung nằm bên trong góc.

Ví dụ 1. Cho đường tròn (O) và hai dây cung AB, AC.

Khi đó, $\widehat{BAC}$ là góc nội tiếp và cung bị chắn là cung nhỏ BC.

2. Định lí

Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Ví dụ 2. Cho đường tròn (O) có $\widehat{BAC}$ là góc nội tiếp chắn cung nhỏ BC (như hình 1) và chắn cung lớn BC (như hình 2).

3. Hệ quả

Trong một đường tròn:

- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

- Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90°) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Ví dụ 3. Cho đường tròn (O) và $\widehat{BAC}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) (như hình vẽ).

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Hình nào dưới đây biểu diễn góc nội tiếp?

A. Hình 1

B. Hình 2

C. Hình 3

D. Hình 4

Lời giải:

Chọn đáp án B

Câu 2: Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 90° có số đo

A. Bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung

B. Bằng số đo góc ở tâm cùng chắn một cung

C. Bằng số đo cung bị chắn

D. Bằng nửa số đo cung lớn

Lời giải:

Trong một đường tròn:

Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90°) có số đo bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung

Chọn đáp án A

Câu 3: Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Trong một đường tròn, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông

B. Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau

C. Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

D. Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp bằng nhau thì cùng chắn một cung

Lời giải:

Trong một đường tròn:

+ Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau

+ Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau

+ Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông

Như vậy hai góc nội tiếp bằng nhau có thể cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau

Phương án A, B, C đúng và D sai

Chọn đáp án D

Câu 4: Cho đường tròn (O) và điểm I nằm ngoài (O) . Từ điểm I kẻ hai dây cung AB và CD (A nằm giữa I và B, C nằm giữa I và D)

Cặp góc nào sau đây bằng nhau?

Lời giải:

Chọn đáp án A

Câu 5: Cho đường tròn (O) và điểm I nằm ngoài (O). Từ điểm I kẻ hai dây cung AB và CD (A nằm giữa I và B, C nằm giữa I và D)

Tích IA.IB bằng

A. ID.CD

B. IC.CB

C. IC.CD

D. ID.ID

Lời giải:

Chọn đáp án D

Câu 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O), biết 

Tính số đo của 

A. 150°

B.90°

C. 120°

D. 210°

Lời giải:

Tổng số đo 3 góc của 1 tam giác bằng 180° nên :

Chọn đáp án A

Câu 7: Cho tam giác ABC cân tại A có . Tìm khẳng định đúng ?

Lời giải:

Chọn đáp án A

Câu 8: Cho đường tròn tâm O và 2 đường kính AB và CD. Biết rằng  . Tìm khẳng định sai ?

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án B

Câu 9: Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O; 4) .Biết rằng AC = 4cm . Lấy D là điểm bất kì khác A, B,C trên đường tròn. Chọn khẳng định sai ?

Lời giải:

Chọn đáp án C.

Câu 10: Cho đường tròn tâm O. Trên đường tròn lấy 4 điểm phân biệt A,B, C và D. Hỏi cặp góc nào sau đây bằng nhau

Lời giải:

Chọn đáp án D.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn đường cao AH và nội tiếp đường tròn (O). Vẽ đường kính AM.

a) Tính $\widehat{ACM}$.

b) Chứng minh $\widehat{BAH}=\widehat{OCA}$.

Lời giải:

a) Ta có:

$\widehat{ACM}$có đỉnh C nằm trên đường tròn (O)

AC và BC là dây của đường tròn (O)

Do đó $\widehat{ACM}$là góc nội tiếp của đường tròn (O)

Mặt khác AM là đường kính nên $\widehat{ACM}$là góc nội tiếp chắn nữa đường tròn

$\Rightarrow \widehat{ACM}=90°$ (do góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông).

b) $\widehat{ABC}$có đỉnh B nằm trên đường tròn (O) và BA, BC là hai dây của đường tròn

Do đó $\widehat{ABC}$ là góc nội tiếp của đường tròn (O) chắn $\stackrel{⏜}{AC}$.

Đặt góc $\widehat{ABC}=x\left(0<x<90°\right)$

Xét tam giác AHB vuông tại H có:

$\widehat{BAH}+\widehat{ABH}+\widehat{AHB}=180°$ (định lý tổng ba góc trong một tam giác)

$\iff \widehat{BAH}+x+90°=180°$

$\iff \widehat{BAH}=180°-90°-x$

$\iff \widehat{BAH}=90°-x$     (1)

Lại có $\widehat{AOC}$ là góc ở tâm chắn cung $\stackrel{⏜}{AC}$và $\widehat{ABC}$ là góc nội tiếp chắn cung $\stackrel{⏜}{AC}$

$\Rightarrow \widehat{AOC}=2.\widehat{ABC}=2x$

Xét tam giác OAC có:

OA = OC

=> tam giác OAC cân tại O

$\Rightarrow \widehat{OAC}=\widehat{OCA}$

Ta có:

$\widehat{OAC}+\widehat{OCA}+\widehat{AOC}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác).

$\iff 2\widehat{OCA}+2x=180°$

$\iff 2\left(\widehat{OCA}+x\right)=180°$

$\iff \widehat{OCA}+x=180°:2$

$\iff \widehat{OCA}+x=90°$

$\iff \widehat{OCA}=90°-x$     (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{OCA}=\widehat{BAH}$

Câu 2: Cho đường tròn (O) và điểm I không nằm trên đường (O). Qua điểm I nằm ngoài đường tròn ta vẽ các dây cung AB và CD sao cho A nằm giữa B và I; C nằm giữa I và D.

a) So sánh các cặp góc $\widehat{ACI}$và $\widehat{ABD}$; $\widehat{CAI}$ và $\widehat{CDB}$.

b) Chứng minh tam giác IAC đồng dạng với tam giác IDB.

c) Chứng minh IA.IB = IC.ID.

Lời giải:

a) Ta có:

$\widehat{ABD}$ là góc nội tiếp đường tròn (O) chắn $\stackrel{⏜}{AD}$ nhỏ.

$\Rightarrow \widehat{ABD}=\frac{1}{2}$ sđ $\stackrel{⏜}{AD}$nhỏ (định lí) (1)

Lại có: $\widehat{ACD}$ là góc nội tiếp đường tròn (O) chắn $\stackrel{⏜}{AD}$ lớn.

$\Rightarrow \widehat{ACD}=\frac{1}{2}$ sđ $\stackrel{⏜}{AD}$ lớn (định lí) (2)

Ta có:

sđ $\stackrel{⏜}{AD}$ nhỏ + sđ $\stackrel{⏜}{AD}$ lớn $=360°$

=> $\frac{1}{2}$ sđ $\stackrel{⏜}{AD}$ nhỏ + $\frac{1}{2}$ sđ $\stackrel{⏜}{AD}$ $=180°$ (3)

Từ (1); (2); (3) $\Rightarrow \widehat{ACD}+\widehat{ABD}=180°$ (4)

Ta có $\widehat{ACD}+\widehat{ACI}=180°$ (do hai góc kề bù) (5)

Từ (4) và (5) $\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{ACI}$ (hai góc cùng bù với góc $\widehat{ACD}$ ).

Chứng minh tương tự cho hai góc $\widehat{CAI}$ và $\widehat{CDB}$ (hai góc cùng bù với góc $\widehat{BAC}$ )

$\Rightarrow \widehat{CAI}=\widehat{CDB}$.

b) Vì  I, A, B thẳng hàng nên $\widehat{ABD}=\widehat{IBD}$, do đó $\widehat{IBD}=\widehat{ACI}$

Vì I, C, D thẳng hàng nên $\widehat{CDB}=\widehat{IDB}$, do đó $\widehat{IDB}=\widehat{CAI}$

Xét hai tam giác IDB và tam giác IAC có:

$\widehat{IBD}=\widehat{ACI}$ (chứng minh trên)

$\widehat{IDB}=\widehat{CAI}$ (chứng minh trên)

Do đó $\Delta IDB$ đồng dạng với $\Delta IAC$ (g – g)

c) Vì $\Delta IDB$đồng dạng với $\Delta IAC$ $\Rightarrow \frac{ID}{IA}=\frac{IB}{IC}$(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

=> IA.IB = IC.ID

Câu 3: Cho đường tròn (O), đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N. Gọi P là giao điểm của BM và AN. Chứng minh SP vuông góc với AB.

Lời giải:

Vì $\widehat{AMB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (do AB là đường kính)

$\Rightarrow \widehat{AMB}$ là góc vuông

$\Rightarrow BM\perp SA$

$\Rightarrow BM$ là đường cao của tam giác SAB.

Vì $\widehat{ANB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (do AB là đường kính)

$\Rightarrow \widehat{ANB}$ là góc vuông

$\Rightarrow AN\perp SB$

$\Rightarrow AN$ là đường cao của tam giác SAB

Giao điểm của BM và AN là trực tâm tam giác SAB.

=> P là trực tâm của tam giác SAB.

$\Rightarrow SP\perp AB$ (điều phải chứng minh).

Câu 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB, điểm D thuộc đường tròn. Gọi E là điểm đối xứng với A qua D.

a) Tam giác ABE là tam giác gì?

b) Gọi K là giao điểm của EB với (O). Chứng minh OD vuông góc với AK.

Lời giải:

a) Ta có:

$\widehat{ADB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (do AB là đường kính)

$\Rightarrow \widehat{ADB}$ là góc vuông

$\Rightarrow \widehat{ADB}=90°$

Xét tam giác ABE có:

$\widehat{ADB}=90°$ nên $BD\perp AE$

=> BD là đường cao của tam giác ABE.    (1)

Mặt khác A đối xứng với E qua D nên D là trung điểm cuả AE

=> BD là đường trung tuyến của tam giác ABE.   (2)

Từ (1) và (2) ta thấy BD vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác ABE

=> Tam giác ABE là tam giác cân tại B.

b) Ta có:

D là trung điểm của AE

O là trung điểm của AB

Do đó DO là đường trung bình của tam giác ABE

=> DO // EB.

Lại có $\widehat{AKB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (do AB là đường kính)

$\Rightarrow \widehat{AKB}$ là góc vuông.

$\Rightarrow \widehat{AKB}=90°$

$\Rightarrow AK\perp BE$

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}AK\perp BE\\ DO//BE\end{array}\right.\Rightarrow AK\perp DO$ (quan hệ từ vuông góc đến song song).

Câu 5: Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) đường kính BD. Biết $\widehat{BAC}$ = 45^o. Tính số đo $\widehat{CBA}$.

Lời giải:

Câu 6: Cho ∆ABC nhọn có $\widehat{BAC}={60}^o$. Vẽ đường tròn đường kính BC tâm O cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Tính số đo $\widehat{ODE}$.

Lời giải:

Câu 7: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và dây AC căng cung AC có số đo bằng 60^o.

a) So sánh các góc tam giác ABC.

b) Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của các cung AC và BC. Hai dây AN và BM cắt nhau tại I. Chứng minh rằng CI là phân giác góc ACB.

Lời giải:

b) Ta có: $\widehat{ABM}=\widehat{CBM}$ (góc nội tiếp chắn cung AM bằng cung MC).

Nên BM là tia phân giác $\widehat{ABC}$.

Tương tự $\widehat{CAN}=\widehat{BAN}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung CN bằng cung BN)

Nên AN là đường phân giác của $\widehat{BAC}$.

Ta thấy ΔABC có AN và BM là hai tia phân giác cắt nhau tại I nên CI là tia phân giác $\widehat{ACB}$ (tính chất ba đường phân giác của tam giác).

Cách vẽ:

- Vẽ đường tròn tâm O bán kính 1,5cm

- Vẽ hai đường kính AC và BD vuông góc với nhau

- Nối AB, BC, CD, DA lại với nhau ta được hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn (O; 1,5)

Chứng minh:

Theo cách vẽ ta có:

OA = OC = R

OB = OD = R

Do đó, tứ giác ABCD là hình bình hành

Ta lại có: AC = BD = 2R nên hình bình hành ABCD là hình chữ nhật

Mặt khác, BD vuông góc với AC nên ABCD là hình vuông.

Xét đường tròn (O) có:

SM là tiếp tuyến tại M của đường tròn (O)

Do đó, SM vuông góc với OM tại M

Do đó, tam giác OMS vuông tại M

$\Rightarrow \widehat{OMS}={90}^o$

 $\Rightarrow \widehat{MSO}+\widehat{MOS}={90}^o$(1)

Lại có: AB vuông góc với CD tại O (gt)

$\Rightarrow \widehat{MOA}={90}^o$

 $\Rightarrow \widehat{MOS}+\widehat{MOA}={90}^o$(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra:  $\widehat{MSO}=\widehat{MOA}$

 $\Rightarrow \widehat{MSD}=\widehat{MOA}$(3)

Mà  $\widehat{MOA}=2\widehat{MBA}$ (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung AM) (4)

Từ (3) và (4) ta suy ra: $\widehat{MSD}=2\widehat{MBA}$ .

Vì AB = AC (gt)

 $\Rightarrow \stackrel{⏜}{AB}=\stackrel{⏜}{AC}$(hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau)

Mà góc ABC và góc AEB lần lượt là hai góc nội tiếp chắn hai cung AB và AC

 $\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{AEB}$ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Xét tam giác ABD và tam giác ABE có:

Góc A chung

 $\widehat{ABC}=\widehat{AEB}$hay  $\widehat{ABD}=\widehat{AEB}$(cmt)

Do đó, tam giác ABD và tam giác AEB đồng dạng (góc – góc)

$\Rightarrow \frac{AE}{AB}=\frac{AB}{AD}\Rightarrow A{B}^2=AD.AE$.

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Lấy M là điểm tùy ý trên nửa đường tròn (M khác A và B). Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB). Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn (O) vẽ hai nửa đường tròn tâm $O_1$, đường kính AH và đường tròn $O_2$, đường kính BH. Đoạn MA và MB cắt hai nửa đường tròn $\left(O_1\right)$và $\left(O_2\right)$lần lượt tại P và Q. Chứng minh:

a) MH = PQ;

b) Các tam giác MPQ và MBA đồng dạng;

c) PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn $\left(O_1\right)$và $\left(O_2\right)$.

Câu 2: Cho đường tròn (O) có các dây cung AB; BC; CA. Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ AB. Vẽ dây MN song song với BC. Gọi S là giao điểm của MN và AC. Chứng minh SM = SC và SN = SA.

Câu 3: Cho đường tròn (O) và hai dây song song AB, CD. Trên cung nhỏ AB lấy điểm M tùy ý. Chứng minh $\widehat{AMC}=\widehat{BMD}$.

Câu 4: Cho đường tròn (O) và hai dây AM và BM vuông góc với nhau. Gọi I, K lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ MA và MB.

a) Chứng minh ba điểm A, O, B thẳng hàng.

b) Gọi P là giao điểm của AK và BI. Chứng minh P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB.

Câu 5: Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC bằng nhau. Qua A vẽ một cát tuyến cắt dây BC ở D và cắt (O) ở E. Chứng minh $A{B}^2=AH.AD$.

Câu 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AF.

a) Tứ giác BFCH là hình gì? Vì sao?

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm H, M, F thẳng hàng.

c) Chứng minh AH = 2OM.

Câu 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R), đường cao AH, biết AB = 8cm, AC = 15cm, AH = 5cm. Tính bán kính đường tròn (O).

Câu 8: Cho tam giác ABC có đường cao AH nội tiếp đường tròn (O), đường kính AD. Chứng minh: AB.AC = AH.AD.

Câu 9: Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Vẽ đường kính MN vuông góc với BC (điểm M thuộc cung BC không chứa A). Chứng minh các tia AM, AN lần lượt là các tia phân giác của góc trong và các góc ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC.

Câu 10: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R và điểm C nằm ngoài nửa đường tròn và cùng phía với nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB và chứa nửa đường tròn. Đường thẳng CA cắt nửa đường tròn ở M, CB cắt nửa đường tròn ở N. Gọi H là giao điểm của AN và BM.

a) Chứng minh CH vuông góc với AB.

b) Gọi I là trung điểm của CH. Chứng minh MI là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O).

Câu 11: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AC và AD của hai đường tròn (O) và (O’). Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng.

Câu 12: Cho đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C chạy trên một nửa đường tròn. Vẽ đường tròn (I) tiếp xúc với (O) tại C và tiếp xúc với đường kính AB tại D.

a) Nêu cách vẽ đường tròn (I) nói trên.

b) Đường tròn (I) cắt CA, CB lần lượt tại các điểm thứu hai là M, N. Chứng minh M, I, N thẳng hàng.

c) Chứng minh đường thẳng CD đi qua điểm chính giữa nửa đường tròn (O) không chứa C.

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Chuyên đề Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn

Chuyên đề Cung chứa góc

Chuyên đề Tứ giác nội tiếp

Chuyên đề Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp