Cho cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ = 2 và công sai d = 3. Tìm số hạng u₅.

Đáp án đúng là: C

* Lời giải:

Cấp số cộng (u_n) có công thức tổng quát là

u_n = u₁ + (n - 1).d

Þ u_n = 2 + (n - 1).3

= 2 + 3n - 3 = 3n - 1.

Vậy u₅ = 3.5 - 1 = 14.

* Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tổng quát để tính:

Thay d và u1 vào rồi tìm ra chỉ số n

* Lý thuyết nắm thêm

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

- Số không đổi d được gọi là công sai của cấp số cộng.

- Nếu (u_n) là một cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi

$u_{n+1}=u_n+d,n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Nhận xét:

- Cấp số cộng (u_n) là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai d > 0.

- Cấp số cộng (u_n) là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai d < 0.

- Đặc biệt, khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) được xác định bởi công thức:

u_n = u₁ + (n - 1)d với $n\ge 1,n\in \mathbb{N}$.

3) Tính chất của cấp số cộng

Ba số hạng $u_{k-1},u_k,u_{k+1}\left(k\ge 2\right)$

là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi $u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}$

4) Tổng n số hạng đầu tiên Sn được xác định bởi công thức:

Sn=u1+u2+...+un=n(u1+un)2=n[2u1+(n−1)d]2

Các dạng bài tập cấp số cộng

Dạng 1. Xác định cấp số cộng và các yếu tố của cấp số cộng

Phương pháp giải:

- Dãy số (un) là một cấp số cộng khi và chỉ khi un + 1 – un = d không phụ thuộc vào n và d là công sai của cấp số cộng đó.

- Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Ta thiết lập một hệ phương trình hai ẩn u­1 và d. Tìm u­1 và d.

- Tìm số hạng thứ n dựa vào công thức tổng quát: un = u1 + (n – 1)d hoặc công thức truy hồi un = un - 1 + d.

Dạng 2. Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng. Chứng minh cấp số cộng

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: Ba số hạng uk-1; uk; uk+1 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi $u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}$.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Cấp số cộng – Toán 11 Kết nối tri thức 

50 bài tập về Cấp số cộng (có đáp án 2024) và cách giải