Trong mp tọa độ Oxy có parabol (P): y = x² và đường thẳng (d) y = (m + 2)x + 3. Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có các hoành độ là các số nguyên.

*Lời giải:

b) Gọi $x_1,x_2$ là nghiệm của phương trình (1). Theo định lí Vi-ét: $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=m+2\\ x_1{x}_2=-3\end{array}$

Để $x_1,x_2\in Z$ mà $x_1{x}_2=-3$ nên $\{\begin{array}{c}{x}_1=-1\\ x_2=3\end{array}$ hoặc $\{\begin{array}{c}{x}_1=3\\ x_2=-1\end{array}$ hoặc $\{\begin{array}{c}{x}_1=-3\\ x_2=1\end{array}$ hoặc $\{\begin{array}{c}{x}_1=1\\ x_2=-3\end{array}$

Suy ra $[\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2\\ x_1+x_2=-2\end{array}\iff [\begin{array}{c}m+2=2\\ m+2=-2\end{array}\iff [\begin{array}{c}m=0\\ m=-4\end{array}$

Vậy với m = 0 hoặc m = -4 thì (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ là các số nguyên.

*Phương pháp giải:

Áp dụng viet:

- Hệ thức Vi – ét: Cho phương trình bậc hai một ẩn a$x^2$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) . Nếu $x_1,x_2$ là nghiệm của phương trình thì ta có:

$\left\{\begin{array}{l}S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ P=x_1.x_2=\frac{c}{a}\end{array}\right.$

* Dạng bài toán:

- Hệ thức Vi – ét: Cho phương trình bậc hai một ẩn a$x^2$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) . Nếu $x_1,x_2$ là nghiệm của phương trình thì ta có:

$\left\{\begin{array}{l}S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ P=x_1.x_2=\frac{c}{a}\end{array}\right.$

- Ứng dụng của hệ thức Vi – ét:

+) Nếu phương trình a$x^2$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là $x_1$ = 1, nghiệm kia là $x_2=\frac{c}{a}$

+) Nếu phương trình a$x^2$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là $x_1$ = -1, nghiệm kia là $x_2=-\frac{c}{a}$

+) Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình $X^2-SX+P=0$

Các dạng bài tập và ví dụ minh họa

Dạng 1: Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm

Phương pháp giải:

- Áp dụng hệ thức Vi-ét cho hai nghiệm: $\left\{\begin{array}{l}S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ P=x_1.x_2=\frac{c}{a}\end{array}\right.$

- Biến đổi biểu thức về nghiệm của phương trình từ đề bài (dùng hằng đẳng thức, nhân đa thức với đa thức, công trừ phân thức,…) để áp dụng công thức Vi-ét nhằm tính giá trị của biểu thức theo ($x_1+x_2$) và ($x_1.x_2$)

Dạng 2: Tìm tham số m để phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải:

- Tính biệt thức: $\Delta =b^2$- 4ac hoặc $\Delta \text{'}=b{\text{'}}^2$- ac (với b = 2b’) để tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm.

- Áp dụng hệ thức Vi-ét cho hai nghiệm: $\left\{\begin{array}{l}S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ P=x_1.x_2=\frac{c}{a}\end{array}\right.$

- Biến đổi biểu thức về nghiệm của phương trình từ đề bài để áp dụng công thức Vi-ét nhằm tìm ra điều kiện của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Dạng 3: Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số

Phương pháp giải:

Để tìm hệ thức giữa các nghiệm $x_1,x_2$ của phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số ta làm như sau:

- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm $x_1,x_2$ là $\Delta \ge 0$

- Áp dụng hệ thức Vi-ét $\left\{\begin{array}{l}S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ P=x_1.x_2=\frac{c}{a}\end{array}\right.$

- Biến đổi biểu thức kết quả sao cho không còn chứa tham số.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Các dạng bài tập Hệ thức Vi-ét và ứng dụng (có đáp án 2024) và cách giải 

Lý thuyết Hệ thức Vi-ét và ứng dụng (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9