Lý thuyết Hệ thức Vi-ét và ứng dụng (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

Lý thuyết Toán 9 Bài 6: Hệ thức Vi – ét và ứng dụng

Bài giảng Toán 9 Bài 6: Hệ thức Vi – ét và ứng dụng

I. Lý thuyết

1. Hệ thức Vi – ét

Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm dù đó là hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép thì ta đều có thể viết được dưới dạng:

${\mathrm{x}}_1=\frac{-\mathrm{b}+\sqrt{∆}}{2\mathrm{a}}; {\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}+\sqrt{∆}}{2\mathrm{a}}$

Định lí Vi – ét

Nếu x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\\ {\mathrm{x}}_1.{\mathrm{x}}_2=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}\end{array}\right.$

Nhận xét: Nhờ định lý Vi – ét, nếu đã biết một nghiệm của phương trình bậc hai thì có thế suy ra nghiệm kia.

2. Ứng dụng của định lý Vi – ét.

a) Ứng dụng trong giải phương trình (bằng cách nhẩm miệng)

+ Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = 1 và nghiệm còn lại là x₂ =$\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$

+ Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = -1 và nghiệm còn lại là x₂ = -$\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$

b) Tìm hai số khi biết tổng và tích.

+ Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình bậc hai x² - Sx + P = 0

+ Điều kiện để có hai số đó là S² - 4P ≥ 0

II. Bài tập tự luyện

Bài 1: Phương trình x² + (2m + 1)x + 3m = 0 (với m là tham số) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm là x₁ = -3. Tìm nghiệm x₂.

Lời giải:

Ta có: a = 1; b = 2m + 1; c = 3m.

$∆={\mathrm{b}}^2-4\mathrm{ac}={\left(2\mathrm{m}+1\right)}^2-4.1.3\mathrm{m}=4{\mathrm{m}}^2-8\mathrm{m}+1$

Vì phương trình có một nghiệm ${\mathrm{x}}_1=-3$ nên thay x = -3 vào phương trình ta có:

$$\begin{gathered} {\left(-3\right)}^2+\left(2\mathrm{m}+1\right).\left(-3\right)+3\mathrm{m}=0 \\ \iff 9-6\mathrm{m}-3+3\mathrm{m}=0 \\ \iff -3\mathrm{m}+6=0 \\ \Rightarrow \mathrm{m}=\left(-6\right):\left(-3\right)=2 \end{gathered}$$

Với m = 2 $\Rightarrow ∆=4.2^2-8.2+1=1$> 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt

Áp dụng định lý Vi – ét cho phương trình ta có:

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}}{\mathrm{a}}=\frac{-\left(2\mathrm{m}+1\right)}{1}=\frac{-\left(2.2+1\right)}{1}=5 \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}_2=-5-{\mathrm{x}}_1=-5-\left(-3\right)=-2 \end{gathered}$$

Vậy nghiệm còn lại của phương trình là -2.

Bài 2: Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a –b + c = 0 để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) ${\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}-5=0$

b) ${\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}-7=0$

Lời giải:

a) ${\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}-5=0$

Ta có: a = 1; b = -4; c = -5

Ta có a – b + c = 1 – (-4) – 5 = 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

${\mathrm{x}}_1=-1; {\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\frac{-\left(-5\right)}{1}=5$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là S = {-1; 5}.

b) ${\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}-7=0$

Ta có: a = 1; b = 6; c = -7

Ta có: a + b + c = 1 + 6 + (-7) = 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

${\mathrm{x}}_1=1; {\mathrm{x}}_2=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\frac{-7}{1}=-7$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {-7; 1}.

Bài 3: Tìm hai số u, v biết:

u + v = 32; u.v = 231

Lời giải:

S = 32; P = 231 ⇒ S² – 4P = 32² – 4.231 = 100 > 0

⇒ Tồn tại u và v là hai nghiệm của phương trình: x² – 32x + 231 = 0.

Ta có: Δ = (-32)² – 4.231 = 100 > 0

⇒ PT có hai nghiệm:

${\mathrm{x}}_1=\frac{32+\sqrt{100}}{2.1}=21; {\mathrm{x}}_2=\frac{32-\sqrt{100}}{2.1}=11$

Vậy u = 21; v = 11 hoặc u = 11; v = 21.

Bài 4: Tìm giá trị của m để phương trình ${\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+4\mathrm{m}=0$ có hai nghiệm phân biệt ${\mathrm{x}}_1; {\mathrm{x}}_2$ thỏa mãn $3{\mathrm{x}}_1+5{\mathrm{x}}_2=5$.

Lời giải:

$∆\text{'}=\mathrm{b}{\text{'}}^2-\mathrm{ac}={\left(-1\right)}^2-1.4\mathrm{m}=1-4\mathrm{m}$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì:

$∆\text{'}>0\iff 1-4\mathrm{m}>0\iff 4\mathrm{m}<1\iff \mathrm{m}<\frac{1}{4}$

Áp dụng định lý Vi – ét cho phương trình ta có:

${\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}}{\mathrm{a}}=\frac{2}{1}=2$ (1)

Theo đề bài lại có: $3{\mathrm{x}}_1+5{\mathrm{x}}_2=5$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2=2\\ 3{\mathrm{x}}_1+5{\mathrm{x}}_2=5\end{array}\right.$

Giải hệ phương trình ta được: $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1=\frac{5}{2}\\ {\mathrm{x}}_2=\frac{-1}{2}\end{array}\right.$

Mà cũng theo định lý Vi – ét

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_1.{\mathrm{x}}_2=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\frac{4\mathrm{m}}{1}=4\mathrm{m} \\ \Rightarrow \frac{5}{2}.\left(\frac{-1}{2}\right)=4\mathrm{m}\iff \frac{-5}{4}=4\mathrm{m}\iff \mathrm{m}=\frac{-5}{4}:4=\frac{-5}{16} \end{gathered}$$

Vậy $\text{m=}\frac{-5}{16}$ thì phương trình có hai nghiệm ${\mathrm{x}}_1; {\mathrm{x}}_2$ thỏa mãn $3{\mathrm{x}}_1+5{\mathrm{x}}_2=5$.

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc hai

Lý thuyết Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Lý thuyết Ôn tập chương 4

Lý thuyết Phương trình bậc nhất hai ẩn

Lý thuyết Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn