Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Lý thuyết Hệ thức Vi-ét và ứng dụng (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

    Lý thuyết Hệ thức Vi-ét và ứng dụng lớp 9 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 9 Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng.

    1 12,276 21/12/2023
    Tải về
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Lý thuyết Toán 9 Bài 6: Hệ thức Vi – ét và ứng dụng

    Bài giảng Toán 9 Bài 6: Hệ thức Vi – ét và ứng dụng

    I. Lý thuyết

    1. Hệ thức Vi – ét

    Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm dù đó là hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép thì ta đều có thể viết được dưới dạng:

    x1=-b+∆2a; x2=-b+∆2a

    Định lí Vi – ét

    Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì ta có:

    x1+x2=-bax1.x2=ca

    Nhận xét: Nhờ định lý Vi – ét, nếu đã biết một nghiệm của phương trình bậc hai thì có thế suy ra nghiệm kia.

    2. Ứng dụng của định lý Vi – ét.

    a) Ứng dụng trong giải phương trình (bằng cách nhẩm miệng)

    + Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1 và nghiệm còn lại là x2 =ca

    + Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = -1 và nghiệm còn lại là x2 = -ca

    b) Tìm hai số khi biết tổng và tích.

    + Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình bậc hai x2 - Sx + P = 0

    + Điều kiện để có hai số đó là S2 - 4P ≥ 0

    II. Bài tập tự luyện

    Bài 1: Phương trình x2 + (2m + 1)x + 3m = 0 (với m là tham số) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm là x1 = -3. Tìm nghiệm x2.

    Lời giải:

    Ta có: a = 1; b = 2m + 1; c = 3m.

    ∆=b2-4ac=2m+12-4.1.3m=4m2-8m+1

    Vì phương trình có một nghiệm x1=-3 nên thay x = -3 vào phương trình ta có:

    -32+2m+1.-3+3m=0⇔9-6m-3+3m=0⇔-3m+6=0⇒m=-6:-3=2

    Với m = 2 ⇒∆=4.22-8.2+1=1> 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt

    Áp dụng định lý Vi – ét cho phương trình ta có:

    x1+x2=-ba=-2m+11=-2.2+11=5⇒x2=-5-x1=-5--3=-2

    Vậy nghiệm còn lại của phương trình là -2.

    Bài 2: Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a –b + c = 0 để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

    a) x2-4x-5=0

    b) x2+6x-7=0

    Lời giải:

    a) x2-4x-5=0

    Ta có: a = 1; b = -4; c = -5

    Ta có a – b + c = 1 – (-4) – 5 = 0

    Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

    x1=-1; x2=-ca=--51=5

    Vậy phương trình đã cho có nghiệm là S = {-1; 5}.

    b) x2+6x-7=0

    Ta có: a = 1; b = 6; c = -7

    Ta có: a + b + c = 1 + 6 + (-7) = 0

    Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

    x1=1; x2=ca=-71=-7

    Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {-7; 1}.

    Bài 3: Tìm hai số u, v biết:

    u + v = 32; u.v = 231

    Lời giải:

    S = 32; P = 231 ⇒ S2 – 4P = 322 – 4.231 = 100 > 0

    ⇒ Tồn tại u và v là hai nghiệm của phương trình: x2 – 32x + 231 = 0.

    Ta có: Δ = (-32)2 – 4.231 = 100 > 0

    ⇒ PT có hai nghiệm:

    x1=32+1002.1=21; x2=32-1002.1=11

    Vậy u = 21; v = 11 hoặc u = 11; v = 21.

    Bài 4: Tìm giá trị của m để phương trình x2-2x+4m=0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn 3x1+5x2=5.

    Lời giải:

    ∆'=b'2-ac=-12-1.4m=1-4m

    Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì:

    ∆'>0⇔1-4m>0⇔4m<1⇔m<14

    Áp dụng định lý Vi – ét cho phương trình ta có:

    x1+x2=-ba=21=2 (1)

    Theo đề bài lại có: 3x1+5x2=5 (2)

    Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình x1+x2=23x1+5x2=5

    Giải hệ phương trình ta được: x1=52x2=-12

    Mà cũng theo định lý Vi – ét

    x1.x2=ca=4m1=4m⇒52.-12=4m⇔-54=4m⇔m=-54:4=-516

    Vậy m=-516 thì phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn 3x1+5x2=5.

    Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ, chi tiết khác:

    Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc hai

    Lý thuyết Giải bài toán bằng cách lập phương trình

    Lý thuyết Ôn tập chương 4

    Lý thuyết Phương trình bậc nhất hai ẩn

    Lý thuyết Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

    Tham khảo các loạt bài Toán 9 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 12,276 21/12/2023
    Tải về
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: