Lý thuyết Công thức nghiệm của phương trình bậc hai (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

Lý thuyết Toán 9 Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Bài giảng Toán 9 Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

I. Lý thuyết

1. Công thức nghiệm

a) Biệt thức $∆$

Đối với phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) ta có biệt thức Δ như sau:

Δ = b² - 4ac

Ta sửa dụng biết thức Δ để giải phương trình bậc hai.

b) Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Đối với phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) và biệt thức Δ = b² - 4ac

+ Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là

${\mathrm{x}}_1=\frac{-\mathrm{b}+\sqrt{∆}}{2\mathrm{a}}; {\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}-\sqrt{∆}}{2\mathrm{a}}$

+ Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép là

${\mathrm{x}}_1={\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}$

+ Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Chú ý: Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a và c trái dấu, tức là ac < 0. Khi đó ta có Δ = b² - 4ac > 0 ⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

II. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải các phương trình sau

a) ${\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}+9=0$

b) $2{\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+1=0$

c) $2{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+5=0$

Lời giải:

a) ${\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}+9=0$

+ Tính $∆={\mathrm{b}}^2-4\mathrm{ac}=6^2-4.1.9=36-36=0$

+ Do $∆=0$, phương trình có nghiệm kép

${\mathrm{x}}_1={\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}=\frac{-\mathrm{b}}{2.1}=-3$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-3}.

b) $2{\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+1=0$

+ Tính $∆={\mathrm{b}}^2-4\mathrm{ac}={\left(-6\right)}^2-4.1.2=36-8=28$

+ Do $∆>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

${\mathrm{x}}_1=\frac{-\mathrm{b}+\sqrt{∆}}{2\mathrm{a}}=\frac{6+\sqrt{28}}{2.2}=\frac{3+\sqrt{7}}{2}$;

${\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}-\sqrt{∆}}{2\mathrm{a}}=\frac{6-\sqrt{28}}{2.2}=\frac{3-\sqrt{7}}{2}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $\mathrm{S}=\left\{\frac{3+\sqrt{7}}{2}; \frac{3-\sqrt{7}}{2}\right\}$.

c) $2{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+5=0$.

+ Tính $∆={\mathrm{b}}^2-4\mathrm{ac}=3^2-4.2.5=9-40=-31$

+ Do $∆<0$ nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 2: Phương trình (m–1)x² + 3x – 1 = 0.

a) Tìm m để phương trình có nghiệm.

b) Tìm m để phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

a)

+ Với a = 0 $\Rightarrow \mathrm{m}-1=0\Rightarrow \mathrm{m}=1$, phương trình trở thành

3x - 1 = 0 $\iff 3\mathrm{x}=1\iff \mathrm{x}=\frac{1}{3}$.

Do đó m = 1 thỏa mãn điều kiện phương trình có nghiệm

+ Với $\mathrm{a}\ne 0\Rightarrow \mathrm{m}-1\ne 0\Rightarrow \mathrm{m}\ne 1$, phương trình là phương trình bậc hai

Ta có: $∆={\mathrm{b}}^2-4\mathrm{ac}=3^2-4.\left(\mathrm{m}-1\right).\left(-1\right)$

$∆=9+4\mathrm{m}-4=5+4\mathrm{m}$

Để phương trình có nghiệm thì $∆\ge 0$

$$\begin{gathered} \iff 4\mathrm{m}+5\ge 0 \\ \iff 4\mathrm{m}\ge -5 \\ \iff \mathrm{m}\ge \frac{-5}{4} \end{gathered}$$

Kết hợp hai trường hợp ta được $\mathrm{m}\ge -\frac{5}{4}$ thì phương trình có nghiệm

b) Để phương trình vô nghiệm thì $∆<0\iff 4\mathrm{m}+5<0$

$\iff 4\mathrm{m}<-5\iff \mathrm{m}<\frac{-5}{4}$.

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Công thức nghiệm thu gọn

Lý thuyết Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc hai

Lý thuyết Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Lý thuyết Ôn tập chương 4