Lý thuyết Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (Tiếp theo) (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

Lý thuyết Toán 9 Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (tiếp theo)

Bài giảng Toán 9 Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (tiếp theo)

I. Lý thuyết

1. Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Trả lời

Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

2. Các lưu ý

- Đối với một số bài sau khi ta đã tìm được hệ phương trình giữa các ẩn với nhau ta cần đặt ẩn phụ để giải hệ.

- Lưu ý tới điều kiện của ẩn phụ.

- Sau khi giải xong ẩn phụ cần trả về ẩn chính.

II. Bài tập vận dụng

Bài 1: Hai người cùng làm một công việc trong 7h12 phút thì xong công việc nếu người thứ 1 làm trong 4h người thứ 2 làm trong 3h thì được 50% công việc. Hỏi mỗi người làm một mình trong mấy giờ thì xong ?

Lời giải :

Đổi 7h 12 phút = $\frac{36}{5}$(h)

Gọi thời gian người thứ 1 làm 1 mình xong công việc là x (h) (x > 0)

Gọi thời gian người thứ 2 làm 1 mình xong công việc là y (h) (y > 0)

1h người thứ nhất 1 làm được $\frac{1}{\mathrm{x}}$(công việc), người thứ 2 làm được $\frac{1}{\mathrm{y}}$(công việc)

Vì hai người cùng làm thì công việc xong sau $\frac{36}{5}$(h) nên 1 h cả hai người làm được $1:\frac{36}{5}=\frac{5}{36}$(công việc)

Ta có phương trình: $\frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{\mathrm{y}}=\frac{5}{36}$(1)

Trong 4h người thứ 1 làm được $\frac{4}{\mathrm{x}}$(công việc), trong 3h người thứ 2 làm được $\frac{3}{\mathrm{y}}$(công việc) mà khi đó hoàn thành được $\frac{1}{2}$ công việc nên ta có phương trình :

$\frac{4}{\mathrm{x}}+\frac{3}{\mathrm{y}}=\frac{1}{2}$(2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{\mathrm{y}}=\frac{5}{36}\\ \frac{4}{\mathrm{x}}+\frac{3}{\mathrm{y}}=\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\mathrm{x}}=\mathrm{a}\\ \frac{1}{\mathrm{y}}=\mathrm{b}\end{array}\right.$khi đó ta có hệ: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}+\mathrm{b}=\frac{5}{36}\\ 4\mathrm{a}+3\mathrm{b}=\frac{1}{2}\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}4\mathrm{a}+4\mathrm{b}=\frac{5}{9}\\ 4\mathrm{a}+3\mathrm{b}=\frac{1}{2}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}+\mathrm{b}=\frac{5}{6}\\ \left(4\mathrm{a}+4\mathrm{b}\right)-\left(4\mathrm{a}+3\mathrm{b}\right)=\frac{5}{9}-\frac{1}{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}+\mathrm{b}=\frac{5}{36}\\ \mathrm{b}=\frac{1}{18}\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}+\frac{1}{18}=\frac{5}{36}\\ \mathrm{b}=\frac{1}{18}\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=\frac{5}{36}-\frac{1}{18}\\ \mathrm{b}=\frac{1}{18}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=\frac{1}{12}\\ \mathrm{b}=\frac{1}{18}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\mathrm{x}}=\frac{1}{12}\\ \frac{1}{\mathrm{y}}=\frac{1}{18}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=12\\ \mathrm{y}=18\end{array}\right.\left(\mathrm{thỏa} \mathrm{mãn} \mathrm{điều} \mathrm{kiện}\right) \end{gathered}$$

Vậy người thứ nhất nếu làm một mình thì 12h xong công việc, người thứ hai làm một mình thì 18h xong công việc.

Bài 2: Một chiếc thuyền di chuyển xuôi và ngược dòng trên một khúc sông dài 40km hết tất cả 4h 30 phút. Biết thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4 km. Tính vận tốc dòng nước?

Lời giải:

Gọi vận của thuyền khi nước yên lặng là: x (km/h) (x > y > 0)

Gọi vận tốc của dòng nước là: y (km/h)

Vận tóc xuôi dòng là x + y (km/h), Vận tốc ngược dòng là x –y (km/h)

Thời gian thuyền xuôi dòng 5km là: $\frac{5}{\mathrm{x}+\mathrm{y}}$(h)

Thời gian thuyền ngược dòng 4km là: $\frac{4}{\mathrm{x}-\mathrm{y}}$(h)

Vì thời gian thuyền xuôi dòng 5 km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4 km, nên ta có phương trình: $\frac{5}{\mathrm{x}+\mathrm{y}}=\frac{4}{\mathrm{x}-\mathrm{y}}$(1)

Vì chiếc thuyền xuôi và ngược dòng trên khúc sông dài 40 km hết 4h30 phút = $\frac{9}{2}$h, nên ta có phương trình: $\frac{40}{\mathrm{x}+\mathrm{y}}+\frac{40}{\mathrm{x}-\mathrm{y}}=\frac{9}{2}$

Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\frac{5}{\mathrm{x}+\mathrm{y}}=\frac{4}{\mathrm{x}-\mathrm{y}}\\ \frac{40}{\mathrm{x}+\mathrm{y}}+\frac{40}{\mathrm{x}-\mathrm{y}}=\frac{9}{2}\end{array}\right.$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\mathrm{x}+\mathrm{y}}=\mathrm{a}\\ \frac{1}{\mathrm{x}-\mathrm{y}}=\mathrm{b}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}5\mathrm{a}=4\mathrm{b}\\ 40\mathrm{a}+40\mathrm{b}=\frac{9}{2}\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=\frac{4\mathrm{b}}{5}\\ 40.\frac{4\mathrm{b}}{5}+40\mathrm{b}=\frac{9}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=\frac{4\mathrm{b}}{5}\\ 32\mathrm{b}+40\mathrm{b}=\frac{9}{2}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=\frac{4\mathrm{b}}{5}\\ 72\mathrm{b}=\frac{9}{2}\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=\frac{4\mathrm{b}}{5}\\ \mathrm{b}=\frac{1}{16}\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=\frac{4}{5}.\frac{1}{16}\\ \mathrm{b}=\frac{1}{16}\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=\frac{1}{20}\\ \mathrm{b}=\frac{1}{16}\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\mathrm{x}+\mathrm{y}}=\frac{1}{20}\\ \frac{1}{\mathrm{x}-\mathrm{y}}=\frac{1}{16}\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+\mathrm{y}=20\\ \mathrm{x}-\mathrm{y}=16\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}=36\\ \mathrm{x}-\mathrm{y}=16\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=18\\ \mathrm{y}=2\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

Vậy vận tốc của thuyền là 18km/h, vận tốc của nước là 2km/h.

Trắc nghiệm Toán 9 Bài 6: Giải hệ phương trình bằng phương cách lập hệ phương trình (Tiếp theo)

Câu 1: Một mảnh đất hình chữ nhật có nửa chu vi bằng 34 m. Đường chéo hình chữ nhật dài 26 m. Tính chiều dài mảnh đất hình chữ nhật.

A. 24m

B. 12m

C. 18m

D. 20m

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật lần lượt là: x, y

(34 > x > y > 0; m)

Vì mảnh đất hình chữ nhật có nửa chu vi bằng 37m nên ta có x + y = 37

Đường chéo hình chữ nhật dài 26m

nên ta có phương trình: x² + y² = 26²

Suy ra hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+y=34\\ x^2+y^2=676\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=37-x\\ x^2+{\left(37-x\right)}^2=676\left(1\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Giải phương trình (1) ta được:

2x² – 68x + 480 = 0

$\iff$x² – 34x + 240 = 0

$\iff$x (x – 10) – 24 (x – 10) = 0

$\iff$ (x – 10) (x – 24) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x=10\Rightarrow y=24\left(L\right)\\ x=24\Rightarrow y=10\left(N\right)\end{array}\right.$

Vậy chiều dài mảnh đất ban đầu là 24m

Câu 2: Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ. Trên thực tếm xí nghiệp 1 vượt mức 12%, xí nghiệp 2 vượt mức 10%, do đó cả hai xí nghiệp làm tổng cộng 400 dụng cụ. Tính số dụng cụ xí nghiệp 2 phải làm theo kế hoạch.

A. 160 dụng cụ

B. 200 dụng cụ

C. 120 dụng cụ

D. 240 dụng cụ

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Gọi số dụng cụ cần làm của xí nghiệp 1 và xí nghiệp 2 lần lượt là x, y

(x, y$\in \mathbb{N}*$ x, y < 360, dụng cụ)

Số dụng cụ xí nghiệp 1 và xí nghiệp 2 làm được khi vượt mức lần lượt là 112%x và 110%y (dụng cụ)

Ta có hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+y=360\\ 112\%x+110\%y=400\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=200\\ y=160\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy xí nghiệp 1 phải làm 200 dụng cụ, xí nghiệp 2 phải làm 160 dụng cụ.

Câu 3: Một khách du lịch đi trên ô tô 4 giờ sau đó đi tiếp bằng tàu hỏa trong 7 giờ được quãng đường dài 640 km. Hỏi vận tốc của tàu hỏa biết mỗi giờ tàu hỏa đi nhanh hơn ô tô 5 km.

A. 40 km/h

B. 50 km/h

C. 60 km/h

D. 65 km/h

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Gọi vận tốc của tàu hỏa và ô tô lần lượt là x, y (km/h, x > y > 0; x > 5)

Vì khách du lịch đi ô tô 4 giờ sau đó đi tiếp bằng tàu hỏa trong 7 giờ được quãng đường dài 640 km

nên ta có phương trình 7x + 4y = 640

Và mỗi giờ tàu hỏa đi nhanh hơn ô tô 5 km

nên ta có phương trình x – y = 5

Suy ra hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x-y=5\\ 7x+4y=640\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=y+5\\ 7\left(y+5\right)+4y=640\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=55\\ x=60\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy vận tốc tàu hỏa là 60km/h

Câu 4: Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 18. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 66. Tổng các chữ số của số đó là?

A. 9

B. 8

C. 7

D. 6

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Gọi số cần tìm là $\overline{ab},a\in \mathbb{N}*,b\in \mathbb{N}*;a,b\le 9$

Đổi chỗ hai chữ số của nó thì ta được một số mới là

Ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\overline{ba}-\overline{ab}=18\\ \overline{ba}+\overline{ab}=66\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2\overline{ab}=48\\ \overline{ba}+\overline{ab}=66\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\overline{ab}=24\\ \overline{ba}=42\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy số cần tìm là 24 nên tổng các chữ số là 2 + 4 = 6

Câu 5: Một khách du lịch đi trên ô tô 5 giờ sau đó đi tiếp bằng xe máy trong 3 giờ được quãng đường dài 330 km. Hỏi vận tốc của ô tô, biết rằng mỗi giờ xe máy đi chậm hơn ô tô 10 km.

A. 40 km/h

B. 50 km/h

C. 35 km/h

D. 45 km/h

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Gọi vận tốc của ô tô và xe máy lần lượt là x, y (km/h, x > y > 0; x > 10)

Vì khách du lịch đi trên ô tô 5 giờ, sau đó đi tiếp bằng xe máy trong 3 giờ được quãng đường dài 330 km nên ta có phương trình 5x + 3y = 330

Và mỗi giờ ô tô đi nhanh hơn xe máy 10 km nên ta có phương trình x – y = 10

Suy ra hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x-y=10\\ 5x+3y=330\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=y+10\\ 5\left(y+10\right)+3y=330\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}8y=280\\ x=y+10\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=35\\ x=45\end{array}\left(tm\right)\right. \end{gathered}$$

Vậy vận tốc ô tô là 45 km/h

Câu 6: Cho một số có hai chữ số. Chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 5. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta được một số bằng $\frac{3}{8}$ số ban đầu. Tìm tích các chữ số của số ban đầu.

A. 12

B. 16

C. 14

D. 6

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Gọi số cần tìm là $\overline{ab},a\in \mathbb{N}*,b\in \mathbb{N}*;a,b\le 9$

Đổi chỗ hai chữ số của nó thì ta được một số mới là $\overline{ba}$

Ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}a-b=5\\ \overline{ba}=\frac{3}{8}\overline{ab}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=b+5\\ b.10+a=\frac{3}{8}\left(a.10+b\right)\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=b+5\\ 80b=8\left(b+5\right)=30\left(b+5\right)+3b\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=b+5\\ 66b=110\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=2\\ a=7\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy số cần tìm là 72 nên tích các chữ số là 2.7 = 14

Câu 7: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 4 giờ 48 phút bể đầy. Nếu vòi I chảy riêng trong 4 giờ, vòi II chảy riêng trong 3 giờ thì cả hai vòi chảy được bể. Tính thời gian vòi I chảy 1 mình đầy bể.

A. 6 giờ

B. 8 giờ

C. 10 giờ

D. 12 giờ

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Gọi thời gian vòi I, vòi II chảy một mình đầy bể lần lượt là x, y $\left(x,y>\frac{24}{5}\right)$

(đơn vị: giờ)

Mỗi giờ vòi I chảy được $\frac{1}{x}$ (bể),

vòi II chảy được $\frac{1}{y}$ bể

nên cả hai vòi chảy được $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ bể

Vì hai vòi ngước cùng chảy vào một bể thì sau 4 giờ 48 phút $\left(=\frac{24}{5}h\right)$ bể đầy

nên ta có phương trình: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{25}$

Nếu vòi I chảy riêng trong 4 giờ,

vòi II chảy riêng trong 3 giờ

thì cả hai vòi chảy được $\frac{3}{4}$ bể

nên ta có phương trình $\frac{4}{x}+\frac{3}{y}=\frac{3}{4}$

Suy ra hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{4}{x}+\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{24}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{4}{x}+\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\\ \frac{3}{x}+\frac{3}{y}=\frac{5}{8}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=\frac{1}{8}\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{12}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=8\\ y=12\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy thời gian vòi I một mình đầy bể là 8h.

Câu 8: Năm ngoái, cả 2 cánh đồng thu hoạch được 500 tấn thóc. Năm nay, do áp dụng khoa học kĩ thuật nên lượng lúa thu được trên cánh đồng thứ nhất tăng lên 30% so với năm ngoái, trên cánh đồng thứ hai tăng 20%. Do đó tổng cộng cả hai cánh đồng thu được 630 tấn thóc. Hỏi trên mỗi cánh đồng năm nay thu được bao nhiêu tấn thóc?

A. 400 tấn và 230 tấn

B. 390 tấn và 240 tấn

C. 380 tấn và 250 tấn

D. Tất cả đều sai

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Gọi số thóc năm ngoái thu được của cánh đồng thứ nhất là (x) (tấn) (x > 0)

Gọi số thóc năm ngoái thu được của cánh đồng thứ hai là y (tấn) (y > 0)

Năm ngoái, cả 2 cánh đồng thu hoạch được 500 tấn thóc nên ta có phương trình:

x + y = 500 (1)

Năm nay, lượng lúa thu được trên cánh đồng thứ nhất tăng lên 30% so với năm ngoái, trên cánh đồng thứ hai tăng 20% nên ta có phương trình:

$$\begin{gathered} x+\frac{30}{100}x+y+\frac{20}{100}y=630 \\ \iff \frac{130}{100}x+\frac{120}{100}y=630 \left(2\right) \end{gathered}$$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+y=500\\ \frac{130}{100}x+\frac{120}{100}y=630\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{120}{100}x+\frac{120}{100}y=600\\ \frac{130}{100}x+\frac{120}{100}y=630\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{10}{100}x=30\\ x+y=500\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=300\\ x+y=500\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=300\\ y=200\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy lượng lúa thu hoạch được năm nay của

cánh đồng thứ nhất là 300.1,3 = 390 (tấn);

lượng lúa thu được năm nay của

cánh đồng thứ hai là 200.1,2 = 240 tấn.

Câu 9: Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số mới lớn hơn số đã cho là 63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành 99. Tổng các chữ số của số đó là?

A. 9

B. 8

C. 7

D. 6

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Gọi số cần tìm là $\overline{ab},a\in \mathbb{N}*,b\in \mathbb{N}*;a,b\le 9$

Đổi chỗ hai chữ số của nó thì ta được một số mới là $\overline{ba}$

Ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\overline{ba}-\overline{ab}=63\\ \overline{ba}+\overline{ab}=99\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2\overline{ab}=36\\ \overline{ba}+\overline{ab}=99\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\overline{ab}=18\\ \overline{ba}=81\end{array}\left(tm\right)\right. \end{gathered}$$

Vậy số cần tìm là 18 nên tổng các chữ số là 1 + 8 = 9

Câu 10: Hai người đi xe đạp xuất phát đồng thời từ hai thành phố cách nhau 38 km. Họ đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ. Hỏi vận tốc của người thứ nhất, biết rằng đến khi gặp nhau, người thứ nhất đi được nhiều hơn người thứ hai 2 km.

A. 7 km/h

B. 8 km/h

C. 9 km/h

D. 10 km/h

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Gọi vận tốc của người thứ nhất và người thứ hai lần lượt là x, y (km/h, x, y > 0)

Quãng đường người thứ nhất đi được khi gặp nhau là 2x (km)

Quãng đường người thứ hai đi được đến khi gặp nhau là 2y (km)

Ta có hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2x+2y=38\\ 2x-2y=2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=10\\ y=9\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy vận tốc của người thứ nhất là 10 (km/h)

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Ôn tập chương 3

Lý thuyết Hàm số y = ax^2 (a ≠ 0)

Lý thuyết Đồ thị của hàm số y=ax^2 (a ≠ 0)

Lý thuyết Phương trình bậc hai một ẩn

Lý thuyết Công thức nghiệm của phương trình bậc hai