Lý thuyết Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế (mới 2024 + Bài Tập) - Toán 9

Lý thuyết Toán 9 Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Bài giảng Toán 9 Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

I. Lý thuyết

1. Quy tắc thế

Định nghĩa: Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương.

Quy tắc thế gồm 2 bước sau:

Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ (Phương trình thứ nhất thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1).

Ví dụ 1: Xét hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-2\mathrm{y}=5\\ 2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=6\end{array}\right.$(I)

Ta thực hiện các bước rút thế như sau:

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-2\mathrm{y}=5 \left(1\right)\\ 2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=6 \left(2\right)\end{array}\right.$

Từ phương trình (1) ta rút được x = 2y + 5 thế vào phương trình (2) ta được:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-2\mathrm{y}=5\\ 2\left(2\mathrm{y}+5\right)+3\mathrm{y}=6\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2\mathrm{y}+5\\ 4\mathrm{y}+10+3\mathrm{y}=6\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2\mathrm{y}+5\\ 7\mathrm{y}+10=6\end{array}\right. \end{gathered}$$

2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Định nghĩa: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế là ta sửa dụng phương pháp thế để tìm ra tất cả các nghiệm của phương trình.

Các bước giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

Bước 1: Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn.

Bước 2: Giải phương trình một ẩn đó rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-2\mathrm{y}=5\\ 2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=6\end{array}\right.$.

Từ ví dụ 1 ta có:

Ta thực hiện các bước rút thế như sau:

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-2\mathrm{y}=5 \left(1\right)\\ 2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=6 \left(2\right)\end{array}\right.$

Từ phương trình (1) ta rút được x = 2y + 5 thế vào phương trình (2) ta được:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-2\mathrm{y}=5\\ 2\left(2\mathrm{y}+5\right)+3\mathrm{y}=6\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2\mathrm{y}+5\\ 4\mathrm{y}+10+3\mathrm{y}=6\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2\mathrm{y}+5\\ 7\mathrm{y}+10=6\end{array}\left(\mathrm{II}\right)\right. \end{gathered}$$

Ta giải tiếp hệ phương trình (II)

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2\mathrm{y}+5\\ 7\mathrm{y}+10=6\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2\mathrm{y}+5\\ 7\mathrm{y}=6-10\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2\mathrm{y}+5\\ 7\mathrm{y}=-4\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2\mathrm{y}+5\\ \mathrm{y}=\frac{-4}{7}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2.\left(\frac{-4}{7}\right)+5\\ \mathrm{y}=\frac{-4}{7}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{27}{7}\\ \mathrm{y}=\frac{-4}{7}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là

II. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế

a) $\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}-\mathrm{y}=3\\ \mathrm{x}+\mathrm{y}=6\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}\left(\mathrm{x}+1\right)\left(\mathrm{y}-1\right)=\left(\mathrm{x}-2\right)\left(\mathrm{y}+1\right)-1\\ 2\left(\mathrm{x}-2\right)\mathrm{y}-\mathrm{x}=2\mathrm{xy}-3\end{array}\right.$

Lời giải:

a) $\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}-\mathrm{y}=3\\ \mathrm{x}+\mathrm{y}=6\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=2\mathrm{x}-3\\ \mathrm{x}+\left(2\mathrm{x}-3\right)=6\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=2\mathrm{x}-3\\ \mathrm{x}+2\mathrm{x}-3=6\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=2\mathrm{x}-3\\ 3\mathrm{x}-3=6\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=2\mathrm{x}-3\\ 3\mathrm{x}=9\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=9:3\\ \mathrm{y}=2\mathrm{x}-3\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=3\\ \mathrm{y}=2.3-3\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=3\\ \mathrm{y}=3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là (3; 3)

b) $\left\{\begin{array}{l}\left(\mathrm{x}+1\right)\left(\mathrm{y}-1\right)=\left(\mathrm{x}-2\right)\left(\mathrm{y}+1\right)-1\\ 2\left(\mathrm{x}-2\right)\mathrm{y}-\mathrm{x}=2\mathrm{xy}-3\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{xy}-\mathrm{x}+\mathrm{y}-1=\mathrm{xy}+\mathrm{x}-2\mathrm{y}-2-1\\ 2\mathrm{xy}-4\mathrm{y}-\mathrm{x}=2\mathrm{xy}-3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{xy}-\mathrm{x}+\mathrm{y}-\mathrm{xy}-\mathrm{x}+2\mathrm{y}=1-2-1\\ 2\mathrm{xy}-4\mathrm{y}-\mathrm{x}-2\mathrm{xy}=-3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}-2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=-2\\ -\mathrm{x}-4\mathrm{y}=-3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-4\mathrm{y}+3\\ -2\left(-4\mathrm{y}+3\right)+3\mathrm{y}=-2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-4\mathrm{y}+3\\ 8\mathrm{y}-6+3\mathrm{y}=-2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-4\mathrm{y}+3\\ 11\mathrm{y}=-2+6\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-4\mathrm{y}+3\\ 11\mathrm{y}=4\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-4.\frac{4}{11}+3\\ \mathrm{y}=\frac{4}{11}\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{17}{11}\\ \mathrm{y}=\frac{4}{11}\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là $\left(\frac{17}{11}; \frac{4}{11}\right)$.

Bài 2: Xác định các hệ số a, b, biết rằng hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}+\mathrm{by}=3\\ \mathrm{ax}+\mathrm{by}=6\end{array}\right.$nhận nghiệm (1; 2).

Lời giải:

Thay x = 1 và y = 2 vào hệ ta được:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2.1+\mathrm{b}.2=3\\ \mathrm{a}.1+2.\mathrm{b}=6\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}2+2\mathrm{b}=3\\ \mathrm{a}+2\mathrm{b}=6\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2\mathrm{b}=3-2\\ \mathrm{a}+2\mathrm{b}=6\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}2\mathrm{b}=1\\ \mathrm{a}+2\mathrm{b}=6\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}+2.\frac{1}{2}=6\\ \mathrm{b}=\frac{1}{2}\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}+1=6\\ \mathrm{b}=\frac{1}{2}\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=6-1\\ \mathrm{b}=\frac{1}{2}\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=5\\ \mathrm{b}=\frac{1}{2}\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

Trắc nghiệm Toán lớp 9 Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Câu 1: Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-y=3\\ 3x-4y=2\end{array}\right.$có nghiệm (x, y).

Tích x². y là?

A. 7000

B. 490

C. 70

D. 700

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x-y=3\\ 3x-4y=2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=y+3\\ 3\left(y+3\right)-4y=2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=y+3\\ y=7\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=10\\ y=7\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (10; 7)

Do đó: x²y = 10².7 = 700

Câu 2: Nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}3\left(y-5\right)+2\left(x-3\right)=0\\ 7\left(x-4\right)+3\left(x+y-1\right)-14=0\end{array}\right.$ là (x; y).Tính x² + y².

A. 8

B. 34

C. 21

D. 24

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}3\left(y-5\right)+2\left(x-3\right)=0\\ 7\left(x-4\right)+3\left(x+y-1\right)-14=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}3y-15+2x-6=0\\ 7x-28+3x+3y-3-14=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2x+3y=21\\ 10x+3y=45\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}3y=21-2x\\ 10x+21-2x=45\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}3y=21-2x\\ 8x=24\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=3\\ 3y=15\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=5\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

(x; y) = (3; 5)

$\Rightarrow$ x² + y² = 3² + 5² = 34

Câu 3: Số nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}-x-\sqrt{2}y=\sqrt{3}\\ \sqrt{2}x+2y=-\sqrt{6}\end{array}\right.$ là?

A. 1

B. 0

C. 2

D. Vô số

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}-x-\sqrt{2}y=\sqrt{3}\\ \sqrt{2}x+2y=-\sqrt{6}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=-\sqrt{2}y-\sqrt{3}\\ \sqrt{2}\left(-\sqrt{2}y-\sqrt{3}\right)+2y=-\sqrt{6}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=-\sqrt{2}y-\sqrt{3}\\ -2y-\sqrt{6}+2y=-\sqrt{6}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=-\sqrt{2}y-\sqrt{3}\\ -\sqrt{6}=-\sqrt{6}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y\in ℝ\\ x=-\sqrt{2}y-\sqrt{3}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm

Câu 4: Số nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\left(x+1\right)\left(y-1\right)=xy-1\\ \left(x-3\right)\left(y-3\right)=xy-3\end{array}\right.$ là?

A. 1

B. 0

C. 2

D. Vô số

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\left(x+1\right)\left(y-1\right)=xy-1\\ \left(x-3\right)\left(y-3\right)=xy-3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}xy-x+y-1=xy-1\\ xy-3x-3y+9=xy-3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}-x+y=0\\ -3x-3y=-12\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=y\\ -3x-3y=-12\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=y\\ -6y=-12\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=y\\ y=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

(x; y) = (2; 2)

Câu 5: Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+by=-1\\ bx-2ay=1\end{array}\right.$

Biết rằng hệ phương trình có nghiệm là (1; −2). Tính a – b

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Thay x = 1; y = −2 vào hệ ta được:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2.1+b.(-2)=-1\\ b.1-2a.(-2)=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}-2b=-3\\ b+4a=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=\frac{3}{2}\\ \frac{3}{2}+4a=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=\frac{3}{2}\\ a=-\frac{1}{8}\end{array}\right. \\ \Rightarrow a-b=-\frac{13}{8} \end{gathered}$$

Vậy a – b = $-\frac{13}{8}$

Câu 6: Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+by=-4\\ bx-ay=-5\end{array}\right.$

Biết rằng hệ phương trình có nghiệm là (1; −2). Tính a + b

A. −1

B. 1

C. 2

D. −7

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Thay x = 1; y = −2 vào hệ ta được $\left\{\begin{array}{l}2+b(-2)=-4\\ b-a(-2)=-5\end{array}\right.$

Ta coi đây là một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là a và b và giải hệ phương trình này

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2+b(-2)=-4\\ b-a(-2)=-5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}-2b=-6\\ b+2a=-5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=3\\ 3+2.a=-5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=3\\ a=-4\end{array}\right. \end{gathered}$$

Suy ra a + b = −4 + 3 = −1

Câu 7: Cho hai đường thẳng

d₁: mx – 2(3n + 2)y = 6 và

d₂: (3m – 1)x + 2ny = 56. Tìm tích m.n để hai đường thẳng cắt nhau tại điểm I (−2; 3).

A. 0

B. 1

C. 2

D. −2

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

+) Thay tọa độ điểm I vào phương trình d₁ ta được:

m.(−2) – 2(3n + 2).3 = 6

$\iff$ −2m – 18n = 18

$\iff$ m + 9n = −9

+) Thay tọa độ điểm I vào phương trình d₂ ta được:

(3m – 1). (−2) + 2n.3 = 56

$\iff$−6m + 2 + 6n = 56

$\iff$ m – n = −9

Suy ra hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}m+9n=-9\\ m-n=-9\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m=-9+n\\ -9+n+9n=-9\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m=-9+n\\ 10n=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}n=0\\ m=-9\end{array}\right. \\ \Rightarrow m.n = 0 \end{gathered}$$

Vậy m. n = 0

Câu 8: Tìm a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm M (3; −5), N (1; 2)

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng ta được 3a + b = −5

Thay tọa độ điểm N vào phương trình đường thẳng ta được a + b = 2

Từ đó ta có hệ phương trình

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a+b=2\\ 3a+b=-5\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=2-a\\ 3a+2-a=-5\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=2-a\\ 2a=-7\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=-\frac{7}{2}\\ b=\frac{11}{2}\end{array}\right.\\ \end{array}$

Vậy $a=\frac{-7}{2};b=\frac{11}{2}$

Câu 9: Biết nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=1\\ \frac{3}{x}+\frac{4}{y}=5\end{array}\right.$ là (x; y). Tính 9x + 2y

A. 10

B. 14

C. 11

D. 13

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Điều kiện: x$\ne$0; y$\ne$0

Đặt $\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b$

khi đó ta có hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}a-b=1\\ 3a+4b=5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=1+b\\ 3\left(1+b\right)+4b=5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=1+b\\ 7b=2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=\frac{2}{7}\\ a=1+\frac{2}{7}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{9}{7}\\ b=\frac{2}{7}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Trả lại biến ta được

$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=\frac{9}{7}\\ \frac{1}{y}=\frac{2}{7}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{7}{9}\\ y=\frac{7}{2}\end{array}\right.$

(Thỏa mãn điều kiện)

Khi đó 9x + 2y = $9.\frac{7}{9}+2.\frac{7}{2}=14$

Câu 10: Tìm a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A (2; 1) và B (−2; 3)

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng ta được 2a + b = 1

Thay tọa độ điểm B vào phương trình đường thẳng ta được −2a + b = 3

Từ đó ta có hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2a+b=1\\ -2a+b=3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=1-2a\\ -2a+1-2a=3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=1-2.\left(-\frac{1}{2}\right)\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy $a=-\frac{1}{2}$; b = 2

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Lý thuyết Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Lý thuyết Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (Tiếp theo)

Lý thuyết Ôn tập chương 3

Lý thuyết Hàm số y = ax^2 (a ≠ 0)