Lý thuyết Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức căn bậc hai(A^2)= |A| (mới 2024 + Bài Tập) - Toán 9

Lý thuyết Toán 9 Bài 2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=\left|A\right|$

A. Lý thuyết

1. Căn thức bậc hai

Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi $\sqrt{A}$ là căn thức bậc hai của A, còn A là biểu thức lấy căn hay còn gọi là biểu thức dưới dấu căn.

$\sqrt{A}$ xác định (có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm.

Ví dụ 1. $\sqrt{5x}$ là căn thức bậc hai của 5x;

$\sqrt{5x}$ xác định khi 5x ≥ 0, tức là khi x ≥ 0.

2. Hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=\left|A\right|$

Định lí. Với mọi số a, ta có $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$.

Ví dụ 2. Tính

a) $\sqrt{{14}^2}$;

b) $\sqrt{{(-20)}^2}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{{14}^2}=\left|14\right|=14$.

b) $\sqrt{{(-20)}^2}=\left|-20\right|=20$.

Chú ý. Một cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có $\sqrt{A^2}=\left|A\right|$, có nghĩa là:

$\sqrt{A^2}=A$ nếu A ≥ 0 (tức là A lấy giá trị không âm);

$\sqrt{A^2}=-A$ nếu A < 0 (tức là A lấy giá trị âm).

Ví dụ 3. Rút gọn

a) $\sqrt{{(x-4)}^2}$ với x < 4;

b) $\sqrt{a^6}$ với a ≥ 0.

Lời giải:

a) $\sqrt{{(x-4)}^2}=\left|x-4\right|=4-x$ (vì x < 4);

b) $\sqrt{a^6}=\sqrt{{\left(a^3\right)}^2}=\left|a^3\right|$.

Vì a ≥ 0 nên a³ ≥ 0, do đó | a³ | = a³.

Vậy $\sqrt{a^6}=a^3$ (với a ≥ 0).

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

a) $\sqrt{\frac{a}{4}}$;

b) $\sqrt{-3a}$;

c) $\sqrt{2a+9}$.

Lời giải:

a) Điều kiện xác định: $\frac{a}{4}\ge 0\iff a\ge 0$.

Vậy với a ≥ 0 thì $\sqrt{\frac{a}{4}}$ có nghĩa.

b) Điều kiện xác định: − 3a ≥ 0 ⇔ a ≤ 0.

Vậy với a ≤ 0 thì $\sqrt{-3a}$ có nghĩa.

c) Điều kiện xác định: 2a + 9 ≥ 0 $\iff a\ge \frac{-9}{2}$.

Vậy với $a\ge \frac{-9}{2}$ thì $\sqrt{2a+9}$ có nghĩa.

Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{{(3-\sqrt{6})}^2}$;

b) $3\sqrt{a^2}$ với a ≥ 0;

c) $5\sqrt{{(a-3)}^2}$ với a < 3.

Lời giải:

a) $\sqrt{{(3-\sqrt{6})}^2}=\left|3-\sqrt{6}\right|=3-\sqrt{6}$.

Ta có $3=\sqrt{9}$ mà $\sqrt{9}>\sqrt{6}$ nên $3-\sqrt{6}>0$.

Do đó $\left|3-\sqrt{6}\right|=3-\sqrt{6}$.

Vậy $\sqrt{{(3-\sqrt{6})}^2}=3-\sqrt{6}$.

b) $3\sqrt{a^2}=3\left|a\right|$.

Vì a ≥ 0 nên 3|a| = 3a.

Vậy $3\sqrt{a^2}=3a$.

c) $5\sqrt{{(a-3)}^2}=5\left|a-3\right|$.

Vì a < 3 nên a – 3 < 0.

Do đó 5|a – 3| = 5(3 – a) = 15 – 5a.

Vậy $5\sqrt{{(a-3)}^2}=15-5a$.

Bài 3. Tìm x, biết:

a) $\sqrt{x^2}=15$;

b) $\sqrt{9x^2}=12$;

c) $\sqrt{16x^2}=|-20|$.

Lời giải:

a) $\sqrt{x^2}=15$

$\iff$|x| = 15

$\iff$x = ± 15.

Vậy x = ± 15.

b) $\sqrt{9x^2}=12$

$\iff \sqrt{{\left(3x\right)}^2}=12$

$\iff$|3x| = 12

$\iff$3x = ± 12

$\iff$x = ± 4.

Vậy x = ± 4.

d) $\sqrt{16x^2}=|-20|$

$\iff \sqrt{{\left(4x\right)}^2}=20$

$\iff$|4x| = 20

$\iff$4x = ± 20

$\iff$x = ± 5.

Vậy x = ± 5.

Trắc nghiệm Toán 9 Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Câu 1: Tính giá trị biểu thức $\sqrt{15+6\sqrt{6}}$

A. 2

B. $\sqrt{6}$

C. 6

D. 12

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Câu 2: Tính giá trị biểu thức

$\sqrt{19+8\sqrt{3}}$ +$\sqrt{19-8\sqrt{3}}$

A. 2$\sqrt{3}$

B. 8 + 2$\sqrt{3}$

C. 6

D. 8

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Câu 3: Rút gọn biểu thức A = $\sqrt{36a^2+3a}$ với a > 0

A. −9a

B. −3a

C. 3a

D. 9a

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Câu 4: Tìm x để $\sqrt{\frac{-2}{3x-1}}$ có nghĩa

A. x < $\frac{1}{3}$

B. x $\le \frac{1}{3}$

C.x $\ge \frac{1}{3}$

D. x > $\frac{1}{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Câu 5: Rút ngọn biểu thức: A =$\sqrt{144a^2}$ − 9a với a > 0

A. −9a

B. −3a

C. 3a

D. 9a

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Câu 6: Tìm điều kiện xác định của $\sqrt{5-3x}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Câu 7: Tìm x để $\sqrt{\frac{{\left(-5\right)}^2}{6-3x}}$ có nghĩa khi:

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Câu 8: Nghiệm của phương trình

$\sqrt{2x^2+2}$= 3x – 1 là:

A. x = 2

B. x = 5

C. x = 1

D. x = 3

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Câu 9: Rút gọn biểu thức

$\sqrt{a^2+8a+16}$ +$\sqrt{a^2-8a+16}$

A. 2a

B. 8

C. −8

D. −2a

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Câu 10: Tìm điều kiện xác định của $\sqrt{125-5x}$

A. x$\le$15

B. x$\ge$25

C. x$\le$25

D. x$\ge$0

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: $\sqrt{125-5x}$ có nghĩa là 125 -5x$\ge$0

$\iff 5x\le 125\iff x\le 25$

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Lý thuyết Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

Lý thuyết Bảng căn bậc hai

Lý thuyết Biến đổi đơn giản biểu thức căn thức bậc hai

Lý thuyết Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai