Lý thuyết Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

Lý thuyết Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 9 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 9 Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

1 3,811 21/12/2023

Tải về

Trang trước

Trang sau

Lý thuyết Toán 9 Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài giảng Toán 9 Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

I. Lý thuyết

1. Khái niệm về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn là ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là:

$(I) \{\begin{cases} ax + by = c \\ a' x + b' y = c' \end{cases}$

Ví dụ 1:

$\{\begin{cases} 3 x + 5 y = 3 \\ 2 x + y = 4 \end{cases}$ ; $\{\begin{cases} 4 x - 3 y = 3 \\ 2 x + 2 y = 1 \end{cases}$ là các hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

+ Nếu hai phương trình có nghiệm chung là (x₀; y₀) thì (x₀; y₀) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (I).

+ Nếu hai phương trình không có nghiệm chung thì hệ phương trình (I) vô nghiệm.

+ Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

2. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn là ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là:

$(I) \{\begin{cases} ax + by = c \\ a' x + b' y = c' \end{cases}$

Gọi (d) và (d') là đồ thị hàm số của 2 hàm số rút ra từ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn của (I).

Đối với hệ phương trình (I), ta có:

Nếu (d) cắt (d') thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất.

Nếu (d) song song với (d') thì hệ (I) vô nghiệm.

Nếu (d) trùng với (d') thì hệ (I) có vô số nghiệm.

Ví dụ 2: Xét hệ phương trình

$\{\begin{cases} x + y = 0 \\ x - y = 0 \end{cases}$

Ta có: x – y = 0 $\Rightarrow y = x$ (d)

x + y = 0 $\Rightarrow y =- x$ (d’)

Vẽ hai đường thẳng (d) và (d’) lên hệ trục tọa độ ta được:

Lý thuyết Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Ta thấy (d) và (d’) cắt nhau tại O(0; 0) nên (0; 0) là nghiệm của hệ phương trình.

Chú ý: Với trường hợp $a'; b'; c' \neq 0$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \frac{a}{a'} \neq \frac{b}{b'}$ ;

Hệ phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \neq \frac{c}{c'}$ ;

Hệ phương trình vô số nghiệm $\Leftrightarrow \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}$ .

3. Hệ phương trình tương đương

Định nghĩa: Hệ hai phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng một tập nghiệm.

Ta cũng dùng kí hiệu “ $\Leftrightarrow$ ” để chỉ sự tương đương của hai phương trình.

II. Bài tập tự luyện

Bài 1: Không cần vẽ hình hãy cho biết số nghiệm của hệ phương trình sau và giải thích vì sao.

a) $\{\begin{cases} 2 x + 3 y = 5 \\ 4 x + 6 y = 7 \end{cases}$

b) $\{\begin{cases} 2 x - 3 y = 2 \\ x - 2 y = 1 \end{cases}$

c) $\{\begin{cases} 4 x + 3 y = 8 \\ 2 x + 1, 5 y = 4 \end{cases}$

Lời giải:

a) $\{\begin{cases} 2 x + 3 y = 5 \\ 4 x + 6 y = 7 \end{cases}$

Ta có: a = 2; b = 3; c = 5 và a’ = 4; b’ = 6; c’ = 7

Xét $\frac{a}{a'} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};$ $\frac{b}{b'} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ ; $\frac{c}{c'} = \frac{5}{7}$

Vì $\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \neq \frac{c}{c'}$ nên hệ đã cho vô nghiệm.

b) $\{\begin{cases} 2 x - 3 y = 2 \\ x - 2 y = 1 \end{cases}$

Ta có: a = 2; b = -3; c = 2 và a’ = 1; b’ = -2; c’ = 1

Xét $\frac{a}{a'} = \frac{2}{1} = 2; \frac{b}{b'} = \frac{- 3}{- 2} = 1, 5$

Vì $\frac{a}{a'} \neq \frac{b}{b'}$ nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

c) $\{\begin{cases} 4 x + 3 y = 8 \\ 2 x + 1, 5 y = 4 \end{cases}$

Ta có: a = 4; b = 3; c = 8 và a’ = 2; b’ = 1,5; c’ = 4

Xét $\frac{a}{a'} = \frac{4}{2} = 2; \frac{b}{b'} = \frac{3}{1, 5} = 2; \frac{c}{c'} = \frac{8}{4} = 2$

Vì $\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}$ nên hệ phương trình có vô số nghiệm.

Bài 2: Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình sau bằng hình học:

$\{\begin{cases} x - y = 4 \\ 2 x - y = 9 \end{cases}$

Lời giải:

$\{\begin{cases} x - y = 4 \\ 2 x - y = 9 \end{cases}$ (I)

Xét hai đường thẳng d và đường thẳng d’ ứng với hai phương trình trong hệ

Ta kí hiệu đường thẳng d: y = x – 4 ứng với phương trình x – y = 4

Ta kí hiệu đường thẳng d’: y = 2x – 9 ứng với phương trình 2x – y = 9

Vẽ hai đường thẳng d và d’ lên hệ trục tọa độ ta được hình vẽ:

Lý thuyết Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Từ đồ thị ta thấy d và d’ cắt nhau tại điểm A(5; 1) nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (5; 1)

Trắc nghiệm Toán lớp 9 Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Câu 1: Không giải hệ phương trình, dự đoán số nghiệm của hệ $\{\begin{cases} - 2 x + y = - 3 \\ 3 x - 2 y = 7 \end{cases}$

A. Vô số nghiệm

B. Vô nghiệm

C. Có nghiệm duy nhất

D. Có hai nghiệm phân biệt

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Xét hệ phương trình

$\{\begin{cases} - 2 x + y = - 3 \\ 3 x - 2 y = 7 \end{cases}$

có $\frac{- 2}{3} \neq \frac{1}{- 2}$ nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Câu 2: Không giải hệ phương trình, dự đoán số nghiệm của hệ $\{\begin{cases} - x + 5 y = - 1 \\ 5 x + y = 2 \end{cases}$

A. Vô số nghiệm

B. Vô nghiệm

C. Có nghiệm duy nhất

D. Có hai nghiệm phân biệt

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Xét hệ phương trình

$\{\begin{cases} - x + 5 y = - 1 \\ 5 x + y = 2 \end{cases}$

có $\frac{- 1}{5} \neq \frac{5}{1}$ nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Câu 3: Hệ phương trình $\{\begin{cases} a x + b y = c \\ a' x + b' y = c' \end{cases}$ có nghiệm duy nhất khi

Trắc nghiệm Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

$\{\begin{cases} a x + b y = c \\ a' x + b' y = c' \end{cases}$

- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

$\Leftrightarrow \frac{a}{a'} \neq \frac{b}{b'}$

- Hệ phương trình vô nghiệm

$\Leftrightarrow \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \neq \frac{c}{c'}$

- Hệ phương trình có vô số nghiệm

$\Leftrightarrow \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}$

Câu 4: Xác định giá trị của tham số m để hệ phương trình $\{\begin{cases} x + y = - 1 \\ m x + y = 2 m \end{cases}$

vô nghiệm

A. m = 1

B. m = −1

C. m = 0

D. $m = \frac{1}{2}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Để hệ phương trình

$\{\begin{cases} x + y = - 1 \\ m x + y = 2 m \end{cases}$ vô nghiệm

thì $\frac{m}{1} = \frac{1}{1} \neq \frac{2 m}{1}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} m = 1 \\ m \neq \frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow m = 1$

Câu 5: Hệ phương trình $\{\begin{cases} a x + b y = c \\ a' x + b' y = c' \end{cases}$ (các hệ số a’; b’; c’ khác 0) vô số nghiệm khi?

Trắc nghiệm Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hệ phương trình $\{\begin{cases} a x + b y = c \\ a' x + b' y = c' \end{cases}$ có vô số nghiệm

khi d: ax + by = c và d’: a’x + b’y = c’

trùng nhau, suy ra hệ phương trình có vô số nghiệm

$\Leftrightarrow \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}$

Câu 6: Xác định giá trị của tham số m để hệ phương trình $\{\begin{cases} 2 x - y = 4 \\ (m - 1) x + 2 y = m \end{cases}$ vô nghiệm

A. m = 1

B. m = −1

C. m = 3

D. m = −3

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có $\{\begin{cases} 2 x - y = 4 \\ (m - 1) x + 2 y = m \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 2 x - 4 \\ 2 y = (1 - m) x + m \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 2 x - 4 \\ y = \frac{1 - m}{2} x + \frac{m}{2} \end{cases}$

Để hệ phương trình $\{\begin{cases} 2 x - y = 4 \\ (m - 1) x + 2 y = m \end{cases}$

vô nghiệm thì đường thẳng d: y = 2x – 4

song song với đường thẳng

d’: $y = \frac{1 - m}{2} x + \frac{m}{2}$

suy ra: $\{\begin{cases} \frac{1 - m}{2} = 2 \\ \frac{m}{2} \neq - 4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 1 - m = 4 \\ m \neq - 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = - 3 \\ m \neq - 8 \end{cases} \Leftrightarrow m = - 3$

Câu 7: Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} (m + 2) x + y = 2 m - 8 \\ m^{2} x + 2 y = - 3 \end{cases}$

Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình nhận cặp số (−1; 3) làm nghiệm

A. m = 0

B. m = −2

C. m = −3

D. m = 3

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Để hệ phương trình $\{\begin{cases} (m + 2) x + y = 2 m - 8 \\ m^{2} x + 2 y = - 3 \end{cases}$

nhận cặp số (−1; 3) làm nghiệm thì

$\{\begin{cases} (m + 2) . (- 1) + 3 = 2 m - 8 \\ m^{2} (- 1) + 2.3 = - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - m - 2 + 3 = 2 m - 8 \\ - m^{2} + 6 = - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 m = 9 \\ m^{2} = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = 3 \\ [\begin{array}{l} m = 3 \\ m = - 3 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow m = 3$

Vậy m = 3

Câu 8: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $\{\begin{cases} a x + b y = c \\ a' x + b' y = c' \end{cases}$ (các hệ số khác 0) vô nghiệm khi?

Trắc nghiệm Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $\{\begin{cases} a x + b y = c \\ a' x + b' y = c' \end{cases}$ (các hệ số khác 0)

- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \frac{a}{a'} \neq \frac{b}{b'}$

- Hệ phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \neq \frac{c}{c'}$

- Hệ phương trình có vô số nghiệm $\Leftrightarrow \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}$

Câu 9: Không giải hệ phương trình, dự đoán số nghiệm của hệ

$\{\begin{cases} \sqrt{2} x - 2 y = 3 \\ 3 \sqrt{2} x - 6 y = 5 \end{cases}$

A. Vô số nghiệm

B. Vô nghiệm

C. Có nghiệm duy nhất

D. Có hai nghiệm phân biệt

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Xét hệ phương trình $\{\begin{cases} \sqrt{2} x - 2 y = 3 \\ 3 \sqrt{2} x - 6 y = 5 \end{cases}$

có:

$\frac{\sqrt{2}}{3 \sqrt{2}} = \frac{- 2}{- 6} \neq \frac{3}{5} \Leftrightarrow \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \neq \frac{3}{5}$

nên hệ phương trình vô nghiệm

Câu 10: Hệ phương trình $\{\begin{cases} 5 x + y = 7 \\ - x - 3 y = 21 \end{cases}$ nhận cặp số nào sau đây là nghiệm?

A. (1; 2)

B. (8; −3)

C. (3; −8)

D. (3; 8)

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

+) Với cặp số (1; 2) thì ta có

$\{\begin{cases} 5.1 + 2 = 7 \\ - 1 - 3.2 = 21 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 7 = 7 \\ - 7 = 21 \end{cases}$

(vô lý) nên loại A

+) Với cặp số (8; −3) thì ta có

$\{\begin{cases} 5.8 + (- 3) = 7 \\ - 8 - 3. (- 3) = 21 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 37 = 7 \\ 1 = 21 \end{cases}$

(vô lý) nên loại B

+) Với cặp số (3; 8) thì ta có

$\{\begin{cases} 5.3 + 8 = 7 \\ - 3 - 3.8 = 21 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 23 = 7 \\ - 27 = 21 \end{cases}$

(vô lý) nên loại D

+) Với cặp số (3; −8) thì ta có

$\{\begin{cases} 5.3 + (- 8) = 7 \\ - 3 - 3. (- 8) = 21 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 7 = 7 \\ 21 = 21 \end{cases}$

(luôn đúng) nên chọn C

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Lý thuyết Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Lý thuyết Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Lý thuyết Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (Tiếp theo)

Lý thuyết Ôn tập chương 3

1 3,811 21/12/2023

Tải về

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3