Lý thuyết Giải bài toán bằng cách lập phương trình (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

Lý thuyết Toán 9 Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bài giảng Toán 9 Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

I. Lý thuyết

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

- Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình nói trên.

Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện và kết luận.

II. Bài tập vận dụng

Bài 1: Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 60km. Một xuồng máy đi xuôi dòng từ A đến B, nghỉ 30 phút tại B rồi quay trở lại đi ngược dòng 25km để đến bến C. Thời gian kể từ lúc đi đến lúc quay trở lại bến C hết tất cả 8 giờ. Tính vận tốc xuồng máy khi nước yên lặng biết rằng vận tốc nước chảy là 1km/h.

Lời giải:

+ Gọi x (km/h) là vận tốc của xuồng khi nước yên lặng. Điều kiện x > 1.

+ Thời gian xuồng máy đi từ A đến B là: $\frac{60}{\mathrm{x}+1}\left(\mathrm{h}\right)$

+ Thởi gian xuồng ngược dòng từ B về C là: $\frac{25}{\mathrm{x}-1}\left(\mathrm{h}\right)$.

Vì tổng thời gian cả đi xuôi dòng và ngược dòng là 8h nên ta có phương trình:

$\frac{60}{\mathrm{x}+1}+\frac{25}{\mathrm{x}-1}+\frac{1}{2}=8$(do xuồng nghỉ ở B 30 phút)

$$\begin{gathered} \iff \frac{2.60\left(\mathrm{x}-1\right)}{2.\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}+1\right)}+\frac{25.2.\left(\mathrm{x}+1\right)}{2.\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}+1\right)}+\frac{\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}+1\right)}{2\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}+1\right)}=\frac{16.\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}+1\right)}{2\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}+1\right)} \\ \Rightarrow 120\mathrm{x}-120+50\mathrm{x}+50+{\mathrm{x}}^2-1=16{\mathrm{x}}^2-16 \\ \iff 16{\mathrm{x}}^2-16-120\mathrm{x}+!20-50\mathrm{x}-50-{\mathrm{x}}^2+1=0 \\ \iff 15{\mathrm{x}}^2-170\mathrm{x}+55=0\left(*\right) \\ ∆={170}^2-15.4.55=25600 \\ \Rightarrow \sqrt{∆}=\sqrt{25600}=160 \end{gathered}$$

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

${\mathrm{x}}_1=\frac{170+160}{2.15}=11$(thỏa mãn);

${\mathrm{x}}_2=\frac{170-160}{2.15}=\frac{1}{3}$(loại vì x > 1)

Vậy vận tốc của xuồng khi nước đứng yên là 11km/h

Bài 2: Một công ty vận tải được điều một số xe chở 90 tấn hàng khi đến kho chở thì 2 xe bị hỏng nên để chở hết số hàng thì mỗi xe trở thêm 0,5 tấn so với dự định ban đầu. Hỏi số xe ban đâu được điều đến là bao nhiêu xe? Biết mỗi xe trở số hàng là như nhau.

Lời giải:

Gọi số xe ban đầu được điều đến chở hàng là x $\left(\mathrm{x}\in \mathrm{N}*; \mathrm{x}>2\right)$

Một xe ban đầu phải chở số tấn hàng là: $\frac{90}{\mathrm{x}}$(tấn)

Nhưng trên thực tế, số xe đã trở hàng là x – 2 (do 2 xe hỏng)

Do đó, một xe phải chở số tấn hàng là $\frac{90}{\mathrm{x}-2}$(tấn).

Vì mỗi xe phải trở thêm 0,5 tấn hàng nên ta có phương trình:

$\frac{90}{\mathrm{x}-2}-\frac{90}{\mathrm{x}}=0,5$

$$\begin{gathered} \iff \frac{90\mathrm{x}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-2\right)}-\frac{90\left(\mathrm{x}-2\right)}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-2\right)}=\frac{1}{2} \\ \iff \frac{90\mathrm{x}-90\mathrm{x}+180}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-2\right)}=\frac{1}{2} \\ \iff \frac{180}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-2\right)}=\frac{1}{2} \\ \iff \mathrm{x}\left(\mathrm{x}-2\right)=360 \\ \iff {\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-360=0\left(*\right) \\ ∆\text{'}=\mathrm{b}{\text{'}}^2-\mathrm{ac}={\left(-1\right)}^2-1.\left(-360\right)=361 \\ \Rightarrow \sqrt{∆\text{'}}=\sqrt{361}=19 \end{gathered}$$

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

${\mathrm{x}}_1=\frac{1+19}{1}=20$ (thảo mãn)

${\mathrm{x}}_2=\frac{1-19}{1}=-18$ (loại)

Vậy số xe ban đầu là 20 xe.

Bài 3: Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số lên 4 đơn vị ta được phân số mới là nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.

Lời giải:

Gọi tử số của phân số đó là x; mẫu số của phân số đó là x + 11 (do mẫu số lớn hơn tử số 11 đơn vị).

Phân số chúng ta cần tìm là: $\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+11}$(x là các số nguyên và x khác – 11)

Khi bớt tử số đi 7 đơn vị thì tử số mới là x – 7

Khi tăng mẫu số thêm 4 đơn vị thì mẫu số mới là x + 11 + 4 = x + 15

Phân số mới ta nhận được là $\frac{\mathrm{x}-7}{\mathrm{x}+15}$

Vì phân số mới là nghịch đảo của phân số ban đầu nên ta có:

$\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+11}=\frac{\mathrm{x}+15}{\mathrm{x}-7}$($\mathrm{x}\in \mathrm{Z}; \mathrm{x}\ne -11; \mathrm{x}\ne -15; \mathrm{x}\ne 7$)

$$\begin{gathered} \iff \frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-7\right)}{\left(\mathrm{x}+11\right)\left(\mathrm{x}-7\right)}=\frac{\left(\mathrm{x}+15\right)\left(\mathrm{x}+11\right)}{\left(\mathrm{x}+11\right)\left(\mathrm{x}-7\right)} \\ \iff \mathrm{x}\left(\mathrm{x}-7\right)=\left(\mathrm{x}+15\right)\left(\mathrm{x}+11\right) \\ \iff {\mathrm{x}}^2-7\mathrm{x}={\mathrm{x}}^2+15\mathrm{x}+11\mathrm{x}+165 \\ \iff -7\mathrm{x}-15\mathrm{x}-11\mathrm{x}=165 \\ \iff -33\mathrm{x}=165 \\ \iff \mathrm{x}=-5 \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+11}=\frac{-5}{6} \end{gathered}$$

Vậy phân số ban đầu là $\frac{-5}{6}$.

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Ôn tập chương 4

Lý thuyết Phương trình bậc nhất hai ẩn

Lý thuyết Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Lý thuyết Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Lý thuyết Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số