Lý thuyết Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

Lý thuyết Toán 9 Bài 4: Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau

A. Lý thuyết

1. Đường thẳng song song

Hai đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và y = a'x + b' (a' ≠ 0) song song với nhau khi và chỉ khi a = a', b ≠ b' và trùng nhau khi và chỉ khi a = a', b = b'.

Ví dụ 1. Tìm giá trị của m để hai đường thẳng y = 4x + 1 và y = (m − 1)x + 2 song song với nhau?

Lời giải:

Theo đề bài ta có: b ≠ b' vì 1 ≠ 2

Để hai đường thẳng y = 4x + 1 và y = (m − 1)x + 2 song song thì:

4 = m − 1 hay m = 5.

Vậy để hai đường thẳng đã cho song song thì m = 5.

2. Đường thẳng cắt nhau

Hai đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và y = a'x + b' (a' ≠ 0) cắt nhau khi và chỉ khi a ≠ a'.

Chú ý. Khi a ≠ a' và b = b' thì hai đường thẳng có cùng tung độ gốc, do đó chúng cắt nhau tại một điểm trên trục tung có tung độ là b.

Ví dụ 2. Tìm giá trị của m để hai đường thẳng y = mx + 1 và y = (3m − 4)x − 2 cắt nhau.

Lời giải:

Để hai đường thẳng y = mx + 1 và y = (3m − 4)x − 2 cắt nhau thì:

m ≠ 3m − 4

$\iff$ −2m ≠ −4

$\iff$ m ≠ 2.

Vậy để hai đường thẳng đã cho cắt nhau thì m ≠ 2.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho hàm số y = (3 – 2m)x + 4m – 4 (1)

a) Tìm m để (1) là hàm số đồng biến trên R.

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng y = 3x – 5.

Lời giải:

a) Hàm số (1) đồng biến trên khi và chỉ khi:

3 – 2m > 0

$\iff$ −2m > −3

$\iff$ m < $\frac{3}{2}$.

b) Đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng y = 3x – 5 khi:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}3-2m=3\\ 4m-3\ne -5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m=0\\ m\ne \frac{-1}{2}\end{array}\right. \\ \iff m=0 \end{gathered}$$

Vậy đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng y = 3x – 5 thì m = 0.

Bài 2. Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng (d) : y = $\frac{1}{2}$x + 1 và đi qua điểm M(2 ; −5).

Lời giải:

Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là (d’): y = ax + b.

Vì d // d’ nên a = $\frac{1}{2}$.

Ta có (d’): y = $\frac{1}{2}$x + b (b ≠ 1).

Mặt khác vì (d’) đi qua điểm M(2 ; −5) nên −5 = $\frac{1}{2}$. 2 + b.

Do đó b = −6.

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y = $\frac{1}{2}$x – 6.

Bài 3 Viết phương trình đường thẳng

a) Đi qua hai điểm A(−2 ; −5) và B(1 ; 4);

b) Đi qua điểm M(6 ; 2) và vuông góc với đường thẳng y = $\frac{-1}{3}x$ + 1.

Lời giải:

a) Gọi phương trình đường thẳng AB là y = ax + b.

Vì đường thẳng đi qua A (−2; −5) nên −5 = −2a + b.

Do đó b = 2a – 5.

Vì đường thẳng đi qua B (1; 4) nên 4 = a + b.

Do đó b = 4 – a.

Từ đó: 2a – 5 = 4 – a nên 3a = 9.

Suy ra a = 3; b = 1.

Vậy phương trình đường thẳng AB là y = 3x + 1.

b) Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là y = ax +b.

Vì đường thẳng này vuông góc với đường thẳng y = $\frac{-1}{3}$x + 1 nên $\frac{-1}{3}$. a = −1.

Do đó a = 3.

Vì đường thẳng đi qua điểm M(6 ; 2) nên:

2 = 3.6 + b $\iff$ b = −16.

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y = 3x – 16.

Trắc nghiệm Toán 9 Bài 4: Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau

Câu 1: Cho hai đường thẳng d: y = x + 3 và d’: y = −2x. Khi đó:

A. d // d’

B. d$\equiv$d’

C. d cắt d’

D. d$\perp$d’

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta thấy d: y = x + 3 có a = 1 và d’: y = −2x có a’ = −2

$\Rightarrow$a $\ne$a’ (1$\ne$−2) nên d cắt d’

Câu 2: Cho hai đường thẳng d: y = (2m − 3)x – 2 và d’: y = −x + m + 1 là đồ thị của hai hàm số bậc nhất. Với giá trị nào của m thì d // d’?

A. m = 1

B. m = −1

C. $m=\frac{3}{2}$

D. $m\ne \frac{3}{2}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta thấy d: y = (2m − 3)x – 2 có a = 2m – 3;

b = −2 và d’: y = −x + m + 1 có a’ = −1;

b’ = m + 1

Điều kiện để y = (2m − 3)x – 2 là hàm số bậc nhất là: a$\ne$0

$\iff$2m – 3$\ne$0

$\iff m\ne \frac{3}{2}$

Để d // d’ thì

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}a=a\text{'}\\ b\ne b\text{'}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2m-3=-1\\ -2\ne m+1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m=1\\ m\ne -3\end{array}\right. \end{gathered}$$

$\iff m = 1 \left(TM\right)$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 3: Viết phương trình đường thẳng d biết d vuông góc với đường thẳng y = 4x + 1 và cắt đường thẳng y = x – 1 tại điểm có tung độ bằng 3.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Câu 4: Cho tam giác ABC có đường thẳng

BC: y$=-\frac{1}{3}$x + 1 và A (1; 2).

Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC.

A. y = 3x$-\frac{2}{3}$

B. y = 3x $+\frac{2}{3}$

C. y = 3x + 2

D. Đáp án khác

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Câu 5: Hai đường thẳng d: y = ax + b (a$\ne$0) và d’: y = a’x + b’ (a’$\ne$0) trùng nhau khi:

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Cho hai đường thẳng d: y = ax + b (a $\ne$0)

và d’: y = a’x + b’ (a’$\ne$0)

d trùng d’ $\iff \left\{\begin{array}{l}a=a\text{'}\\ b=b\text{'}\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 6: Cho hàm số bậc nhất y = (2m – 3) x + 7 có đồ thị là đường thẳng d. Tìm m để d // d’: y = 3x + 2

A. m = 2

B. m = −4

C. m = 2

D. m = −3

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Hàm số y = (2m – 3) x + 7 là hàm số bậc nhất khi 2m – 3$\ne$0

$\iff m\ne \frac{3}{2}$

Để d // d’ thì $\left\{\begin{array}{l}2m-3=3\\ 7\ne 2\end{array}\right.$

$\iff$m = 3 (thỏa mãn)

Vậy m = 3

Đáp án cần chọn là: A

Câu 7: Hai đường thẳng d: y = ax + b (a $\ne$0) và d’: y = a’x + b’ (a’$\ne$0) có a$\ne$a’. Khi đó:

A. d // d’

B. d $\equiv$d’

C. d cắt d’

D. d$\perp$d’

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Cho hai đường thẳng d: y = ax + b (a$\ne$0) và d’: y = a’x + b’ (a’$\ne$0)

+) d cắt d’ a$\ne$a’

Câu 8: Cho đường thẳng d: y = mx + m – 1. Tìm m để d cắt Ox tại A và cắt Oy tại B sao cho tam giác AOB vuông cân.

A. m < 1

B. m = 1

C. m > 1

D. m = 1 hoặc m = −1

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Câu 9: Cho hai đường thẳng d: y$=-\frac{1}{2}$ x + 1 và d’: y = $=-\frac{1}{2}$x + 2. Khi đó:

A. d // d’

B. d$\equiv$d’

C. d cắt d’

D. d$\perp$d’

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Câu 10: Cho hai đồ thị của hàm số bậc nhất là hai đường thẳng d: y = (3 – 2m)x – 2 và d’: y = 4x − m + 2. Với giá trị nào của m thì d cắt d’?

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Hệ số góc của đường thẳng y = ax

Lý thuyết Ôn tập chương II

Lý thuyết Các khái niệm về hàm số

Lý thuyết Hàm số bậc nhất

Lý thuyết Đồ thị hàm số y = ax