Lý thuyết Ôn tập chương 1 (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

Lý thuyết Ôn tập chương 1 lớp 9 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 9 Ôn tập chương 1.

1 1,869 21/12/2023

Tải về

Trang trước

Trang sau

Lý thuyết Toán 9 Ôn tập chương 1

A. Lý thuyết

1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền

Định lí 1. Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

Ví dụ 1. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC.

Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Ta có: AB² = BC . BH; AC² = BC . HC.

2. Một số hệ thức liên quan tới đường cao

Định lí 2. Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Ví dụ 2. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC.

Ta có: AH² = BH . HC.

Định lí 3. Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.

Ví dụ 3. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC.

Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Ta có: AB . AC = BC . AH.

Định lí 4. Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.

Ví dụ 4. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC.

Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

3. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α, kí hiệu là sin α.

+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α, kí hiệu là cos α.

+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc α, kí hiệu là tan α.

+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α, kí hiệu là cot α.

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có .

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Nhận xét: Nếu α là một góc nhọn thì:

0 < sin α < 1; 0 < cos α < 1; tan α > 0; cot α > 0.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Chú ý: Nếu hai góc nhọn α và β có sin α = sin β (hoặc cos α = cos β, hoặc tan α = tan β, hoặc cot α = cot β) thì α = β vì chúng là hai góc tương ứng của hai tam giác vuông đồng dạng.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có AB = AC, đường cao AH. MN là đường trung bình của tam giác ABH. Chứng minh $\hat{A M N} = \hat{C}$ .

Lời giải:

Vì AH là đường cao của ∆ABC nên $A H ⊥ B C$ hay $A H ⊥ B H$ (1)

Mà MN là đường trung bình của ∆AMN nên:

+ AB = 2AM; AH = 2AN.

+ MN // BH (2)

Từ (1) và (2) suy ra $M N ⊥ B H$ (tính chất từ vuông góc đến song song).

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

4. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Định lí. Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Ví dụ 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có $\hat{B} = α; \hat{C} = β$ .

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Khi đó, α + β = 90° (trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau).

Ta có: sin α = cos β; cos α = sin β; tan α = cot β; cot α = tan β.

Bảng lượng giác của một số góc đặc biệt:

Ví dụ 5. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 16, $\hat{C} = 30^{o}$ . Tính độ dài AB.

Lời giải:

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Chú ý: Từ nay khi viết các tỉ số lượng giác của một góc nhọn trong tam giác, ta bỏ kí hiệu " ^ " đi.

Ví dụ 6. Góc A là góc nhọn thì ta viết sin A thay cho $\sin \hat{A}$ .

5. Các hệ thức trong tam giác vuông:

Định lí. Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

+ Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với côsin góc kề.

+ Cạnh góc vuông kia nhân với tan của góc đối hay nhân với côtang của góc kề.

Ví dụ. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = a, AC = b, AB = c.

Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Khi đó, a là độ dài cạnh huyền;

b và c là độ dài hai cạnh góc vuông.

Do đó: b = a.sin B = a.cos C; c = a.sin C = a.cos B;

b = c.tan B = c.cot C; c = b.tan C = b.cot C.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm độ dài x, y trong mỗi hình sau:

Lời giải:

a) Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Ta có: BH = BC – HC = 16 – 7 = 9 (đvđd).

AB² = BC . BH = 16 . 9 = 144

Suy ra: AB = 12 (đvđd).

Vậy x = 12 (đvđd).

b) Tam giác MNP vuông tại M, đường cao MK.

Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Ta có: AH . BC = AB . AC

Suy ra: $M K = \frac{M N . M P}{N P} =$ $\frac{9 . 12}{15} = 7, 2$ (đvđd).

Vậy y = 7,2 (đvđd).

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB : BC = 3 : 5 và AB + BC = 16 cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.

Lời giải:

Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Theo giả thiết: AB : BC = 3 : 5 nên $\frac{A B}{3} = \frac{B C}{5}$ .

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{A B}{3} = \frac{B C}{5}$ $= \frac{A B + B C}{3 + 5} = \frac{16}{8} = 2$ .

Do đó AB = 2.3 = 6 (cm); BC = 2.5 = 10 (cm).

Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Py – ta – go, ta có:

BC² = AB² + AC²

Suy ra AC² = BC² − AC² = 10² − 6² = 64.

Do đó AC = 8 cm.

Vậy độ dài các cạnh của tam giác ABC là: AB = 6 cm; AC = 8 cm; BC = 10 cm.

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3 cm, BC = 5 cm. AH là đường cao. Tính độ dài các cạnh AC, AH, BH, CH.

Lời giải:

Áp dụng định lý Py – ta – go vào ∆ABC vuông tại A, ta có:

BC² = AB² + AC²

$\Leftrightarrow$ AC² = BC² – AB² = 5² – 3² = 16

$\Leftrightarrow$ AC = 4 (cm).

Ta có:

Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Vậy độ dài các cạnh AC = 4 cm, AH = 2,4 cm, BH = 1,8 cm, CH = 3,2 cm.

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có $\hat{A B C} = 60^{o}$ và BC = 12. Tính độ dài cạnh AC.

Lời giải:

Bài 5. Sử dụng định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn để chứng minh rằng: Với góc nhọn α tùy ý, ta có: sin² α + cos² α =1.

Lời giải:

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Bài 6. Biết $\sin α = \frac{3}{5}$ . Tính cos α, tan α và cot α.

Lời giải:

Áp dụng định lý Py-ta-go vào ∆ABC vuông tại A, ta có:

BC² = AB² + AC²

AB² = BC² − AC²

AB² = (5k)² – (3k)² = 25k² – 9k² = 16k².

Suy ra: AB = 4k.

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Bài 7. Cho tam giác vuông ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 7. Hãy giải tam giác vuông ABC.

Lời giải:

Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Bài 8. Cho tam giác vuông MNP vuông tại M có MP = 2,1; $\hat{P} = 56^{o}$ . Hãy giải tam giác vuông MNP.

Lời giải:

Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Bài 9. Cho tam giác ABC có $\hat{C} = 45^{o}$ , $A B . A C = 32 \sqrt{6}$ , $\frac{A B}{A C} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ . Tính độ dài BC, $\hat{B}$ và S_ABC.

Lời giải:

Kẻ .

Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Trắc nghiệm Toán lớp 9 Bài Ôn tập chương 1

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AC = 14, BC = 17. Khi đó tan B bằng:

Trắc nghiệm Ôn tập chương 1 Hình học có đáp án – Toán lớp 9 (ảnh 2)

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Py-ta-go ta có:

AB² + AC² = BC²

$\Rightarrow$ AB² = 17² – 14²

$\Rightarrow$ AB = $\sqrt{93}$

Lại có tan B = $\frac{A C}{A B} = \frac{14}{\sqrt{93}} = \frac{14 \sqrt{93}}{93}$

Câu 2: Cho hình vẽ sau:

Trắc nghiệm Ôn tập chương 1 Hình học có đáp án – Toán lớp 9 (ảnh 4)

Chọn câu sai.

Trắc nghiệm Ôn tập chương 1 Hình học có đáp án – Toán lớp 9 (ảnh 5)

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

+ Xét tam giác AHB vuông tại H

có sin B = $\frac{A H}{A B}$ nên A đúng.

+ Xét tam giác ABC vuông tại A có

cos C = $\frac{A C}{B C}$ nên B đúng.

+ Xét tam giác ABC vuông tại A

có tan B = $\frac{A C}{A B}$ nên C đúng.

+ Xét tam giác AHC vuông tại H

có tan C = $\frac{A H}{C H}$ nên D sai

Câu 3: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:

cot 70^o, tan 33^o, cot 55^o, tan 28^o, cot 40^o

A. tan 28^o < tan 33^o < cot 40^o < cot 55^o < cot 70^o

B. tan 28^o < cot 70^o < tan 33^o < cot 55^o < cot 40^o

C. cot 70^o < tan 28^o < tan 33^o < cot 55^o < cot 40^o

D. cot 70^o > tan 28^o > tan 33^o cot 55^o >cot 40^o

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: cot70^o= tan20^o vì 70^o + 20^o = 90^o;

cot 55^o = tan35^o vì 55^o + 35^o = 90^o;

cot 40^o = tan 50^o vì 40^o + 50^o = 90^o

Lại có 20^o < 28^o < 33^o < 35^o < 50^o

Hay tan 20^o < tan 28^o < tan 33^o < tan 35^o< tan 50^o

Suy ra cot 70^o < tan 28^o < tan 33^o < cot 55^o < cot 40^o

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3cm, BC = 5cm. AH là đường cao. Tính BH, CH, AC và AH.

A. BH = 2cm, CH = 3,2cm, AC = 4cm, AH = 2,4cm

B. BH = 1,8cm; CH = 3,2cm; AC = 4cm; AH = 2,4cm

C. BH = 1,8cm; CH = 3,2cm; AC = 3cm; AH = 2,4cm

D. BH = 1,8cm; CH = 3,2cm; AC = 4cm; AH = 4,2cm

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Xét tam giác ABC vuông tại A

+ Theo định lý Pytago ta có AB² + AC² = BC²

$\Leftrightarrow$ AC² = 5² – 3² $\Rightarrow$ AC = 4cm

+ Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

AB² = BH. BC

$\Rightarrow$ BH = $\frac{A B^{2}}{B C} = \frac{3^{2}}{5} = \frac{9}{5} = 1, 8 c m$

Mà BH + CH = BC

$\Rightarrow$ CH = BC – BH = 5 – 1,8 = 3,2 cm

Lại có AH. BC = AB.AC

$\Rightarrow$ AH = $\frac{A B . A C}{B C} = \frac{3.4}{5}$ = 2,4cm

Vậy BH = 1,8cm, CH = 3,2cm,

AC = 4cm, AH = 2,4 cm

Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 21cm; $\hat{C}$ = 40^o, phân giác BD (D thuộc AC). Độ dài phân giác BD là? (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

A. 21,3cm

B. 24cm

C. 22,3cm

D. 23,2cm

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Trắc nghiệm Ôn tập chương 1 Hình học có đáp án – Toán lớp 9 (ảnh 8)

Trắc nghiệm Ôn tập chương 1 Hình học có đáp án – Toán lớp 9 (ảnh 9)

Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, chiều cao AH. Chọn câu sai.

A. AH² = BH. CH

B. AB² = BH. BC

C. $\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}}$

D. AH. AB = BC. AC

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta thấy AH. BC = AB. AC nên D sai

Câu 7: Giá trị biểu thức sin⁴ $α$ + cos⁴ $α$ + 2 sin² $α$ . cos² $α$ là?

A. 1

B. 2

C. 4

D. −1

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Trắc nghiệm Ôn tập chương 1 Hình học có đáp án – Toán lớp 9 (ảnh 12)

Câu 8: Cho $α, β$ là hai góc nhọn bất kì $α < β$ . Chọn câu đúng.

Trắc nghiệm Ôn tập chương 1 Hình học có đáp án – Toán lớp 9 (ảnh 13)

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Trắc nghiệm Ôn tập chương 1 Hình học có đáp án – Toán lớp 9 (ảnh 14)

Câu 9: Cạnh bên của tam giác ABC cân tại A dài 20cm, góc ở đáy là 50^o. Độ dài cạnh đáy của tam giác cân là? (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

A. 25cm

B. 25,7cm

C. 26cm

D. 12,9cm

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Kẻ AHBC tại H. Suy ra H là trung điểm BC (do tam giác ABC cân tại A có AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến)

Trắc nghiệm Ôn tập chương 1 Hình học có đáp án – Toán lớp 9 (ảnh 16)

Trắc nghiệm Ôn tập chương 1 Hình học có đáp án – Toán lớp 9 (ảnh 17)

Câu 10: Cho hình vẽ, tìm x.

Trắc nghiệm Ôn tập chương 1 Hình học có đáp án – Toán lớp 9 (ảnh 18)

A. x = 0,75

B. x = 4,5

C. x = 4 $\sqrt{3}$

D. x = 4

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Đặt tên như hình vẽ trên.

Tam giác MNP vuông tại M có MH $⊥$ NP

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

MN² = NH. NP

$\Rightarrow$ 6² = x.8 $\Rightarrow$ x = 36 : 8 = 4,5

Vậy x = 4,5

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Lý thuyết Phương trình bậc nhất hai ẩn

Lý thuyết Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

1 1,869 21/12/2023

Tải về

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3