Lý thuyết Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương (mới 2024 + Bài Tập) - Toán 9

Lý thuyết Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương.

A. Lý thuyết

1. Căn bậc hai của một tích

Định lí. Với hai số a và b không âm, ta có $\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$.

Ví dụ 1. Tính:

a) $\sqrt{9.36}$;

b) $\sqrt{64.121}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{9.36}=\sqrt{9}.\sqrt{36}=3.6=18$.

b) $\sqrt{64.121}=\sqrt{64}.\sqrt{121}=8.11=88$.

Chú ý: Định lí trên có thể mở rộng cho tích của nhiều số không âm.

Ví dụ 2. Ta có thể mở rộng đối với nhiều số không âm, chẳng hạn:

$\sqrt{81.100.144}=\sqrt{81}.\sqrt{100}.\sqrt{144}$

2. Quy tắc khai phương một tích

Muốn khai phương một tích của các số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả lại với nhau.

$\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$ (với a, b ≥ 0).

Ví dụ 3. Áp dụng khai phương một tích, hãy tính:

a) $\sqrt{169.225}$;

b) $\sqrt{\mathrm{0,25}.\mathrm{1,44}.\mathrm{3,24}}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{169.225}=\sqrt{169}.\sqrt{225}=13.15=195$;

b) $\sqrt{\mathrm{0,25}.\mathrm{1,44}.\mathrm{3,24}}=\sqrt{\mathrm{0,25}}.\sqrt{\mathrm{1,44}}.\sqrt{\mathrm{3,24}}$

= 0,5 . 1,2 . 1,8 = 1,08.

3. Quy tắc nhân các căn bậc hai

Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới căn với nhau rồi khai phương kết quả đó.

$\sqrt{a}.\sqrt{b}=\sqrt{a.b}$ (với a, b ≥ 0).

Ví dụ 4. Tính:

a) $\sqrt{3}.\sqrt{27}$;

b) $\sqrt{2}.\sqrt{5}.\sqrt{40}$.

Lời giải:

a)

$$\begin{gathered} \sqrt{3}.\sqrt{27}=\sqrt{3.27} \\ =\sqrt{81}=9 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} \sqrt{2}.\sqrt{5}.\sqrt{40} \\ =\sqrt{2.5.40} \end{gathered}$$

Chú ý. Một cách tổng quát, với hai biểu thức A và B không âm ta có:

$\sqrt{A.B}=\sqrt{A}.\sqrt{B}$.

Đặc biệt, với biểu thức A không âm ta có:

${\left(\sqrt{A}\right)}^2=\sqrt{A^2}=A$.

Ví dụ 4. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{5a}.\sqrt{45a}$ với a < 0;

b) $\sqrt{25a^4{b}^2}$.

Lời giải:

a)

$$\begin{gathered} \sqrt{5a}.\sqrt{45a} \\ =\sqrt{5a.45a}=\sqrt{225a^2} \end{gathered}$$

$=\sqrt{{\left(15a\right)}^2}=\left|15a\right|=-15a$ (vì a < 0).

b)

$\sqrt{25a^4{b}^2}=\sqrt{25}.\sqrt{a^4}.\sqrt{b^2}$

$=5\sqrt{{\left(a^2\right)}^2}.\left|b\right|=5a^2.\left|b\right|$

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hãy tính:

a) $\sqrt{\mathrm{0,49}.36}$;

b) $\sqrt{\mathrm{14,4}.640}$;

c) $\sqrt{3^4.5^2}$.

Lời giải:

a)

$$\begin{gathered} \sqrt{\mathrm{0,49}.36}=\sqrt{\mathrm{0,49}}.\sqrt{36} \\ =\mathrm{0,7}.6=\mathrm{4,2} \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} \sqrt{\mathrm{14,4}.640}=\sqrt{144.64} \\ =\sqrt{144}.\sqrt{64} \end{gathered}$$

= 12 . 8 = 96.

c)

$$\begin{gathered} \sqrt{3^4.5^2}=\sqrt{3^4}.\sqrt{5^2} \\ =3^2.5=45 \end{gathered}$$

Bài 2. Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai, hãy tính:

a) $\sqrt{8}.\sqrt{32}$;

b) $\sqrt{\mathrm{0,4}}.\sqrt{\mathrm{8,1}}$;

c) $\sqrt{\mathrm{0,03}}.\sqrt{5}.\sqrt{15}$.

Lời giải:

a)

$$\begin{gathered} \sqrt{8}.\sqrt{32}=\sqrt{8.32} \\ =\sqrt{8.2.16} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} =\sqrt{16.16}=\sqrt{{\left(16\right)}^2} \\ =16 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} \sqrt{\mathrm{0,4}}.\sqrt{\mathrm{8,1}}=\sqrt{\mathrm{0,4}.\mathrm{8,1}} \\ =\sqrt{4.81} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} =\sqrt{{(2.9)}^2}=2.9 \\ =18 \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} \sqrt{\mathrm{0,03}}.\sqrt{5}.\sqrt{15} \\ =\sqrt{\mathrm{0,03}.5.15} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} =\sqrt{(\mathrm{0,3}.5).\left(\mathrm{0,1.}15\right)} \\ =\sqrt{\mathrm{1,5}.\mathrm{1,5}}=\sqrt{{\left(\mathrm{1,5}\right)}^2} \\ =\mathrm{1,5} \end{gathered}$$

Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{\mathrm{0,64}{a}^2}$ với a < 0;

b) $\sqrt{a^4{(a-5)}^2}$ với a ≥ 5;

c) $\sqrt{a^4{(a-5)}^2}$ với a ≥ 0.

Lời giải:

a) Vì a < 0 nên |a| = − a.

Ta có: $\sqrt{\mathrm{0,64}{a}^2}=\sqrt{\mathrm{0,64}}.\sqrt{a^2}$ = 0,8 |a|

= 0,8. (− a) = − 0,8a.

b) Vì a² ≥ 0 nên | a² | = a².

Vì a ≥ 5 nên a – 5 ≥ 0.

Suy ra |a – 5| = a – 5.

Ta có: $\sqrt{a^4{(a-5)}^2}=\sqrt{a^4}.\sqrt{{(a-5)}^2}$

= a² . |a – 5| = a² . (a – 5) = a³ – 5a².

c) Ta có:

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{a}{5}}.\sqrt{\frac{5a}{9}}=\sqrt{\frac{a}{5}.\frac{5a}{9}} \\ =\sqrt{\frac{a.5a}{5.9}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} =\sqrt{\frac{a^2}{9}}=\sqrt{\frac{a^2}{3^2}}=\sqrt{{\left(\frac{a}{3}\right)}^2} \\ =\left|\frac{a}{3}\right|=\frac{a}{3} \end{gathered}$$

(Vì a ≥ 0 nên $\frac{a}{3}\ge 0$ , do đó $\left|\frac{a}{3}\right|=\frac{a}{3}$).

Trắc nghiệm Toán 9 Bài 3: Liên hệ phép nhân và phép khai phương

Câu 1: Cho a, b là hai số không âm. Khẳng định nào sau đây là đúng?

$$\begin{gathered} A.\sqrt{ab}=a\sqrt{b} \\ B.\sqrt{a}\sqrt{b}=b\sqrt{a} \\ C.\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab} \\ D.\sqrt{ab}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \end{gathered}$$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Với hai số a,b không âm, ta có $\sqrt{ab}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$

Câu 2: Cho a là số không âm, b, c là số dương.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Câu 3: Kết quả của phép tính $\sqrt{2,5}.\sqrt{14,4}$là?

A. 36

B. 6

C. 18

D. 9

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

$$\begin{gathered} \sqrt{2,5}.\sqrt{14,4}=\sqrt{2,5.14,4} \\ =\sqrt{36}=\sqrt{6^2}=6 \end{gathered}$$

Câu 4: Rút gọn biểu thức $\sqrt{0,9.0,1.{(3-x)}^2}$ với x > 3 ta được:

A. 0,3 (x – 3)

B. 0,3 (3 – x)

C. 0,9 (x – 3)

D. 0,1 (x – 3)

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có :

$$\begin{gathered} \sqrt{0,9.0,1.{(3-x)}^2} \\ =\sqrt{0,09.{(3-x)}^2} \\ =\sqrt{0,09}.\sqrt{{(3-x)}^2} \\ = 0,3.|3 – x| \end{gathered}$$

Câu 5: Cho a là số không âm, b là số dương.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

$$\begin{gathered} A.\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{b} \\ B. \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \\ C.\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{-\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \\ D.\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{a}{\sqrt{b}} \end{gathered}$$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Với số a không âm và số b dương

ta có $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Câu 6: Phép tính $\sqrt{{12}^2.{\left(-11\right)}^2}$ có kết quả là?

A. −33

B. −132

C. 132

D. Không tồn tại

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Câu 7: Giá trị biểu thức $\sqrt{5x+3}.\sqrt{5x-3}$ khi $x=\sqrt{3,6}$ là?

A. 3,6

B. 3

C. 81

D. 9

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Câu 8: Kết quả của phép tính $\sqrt{\frac{81}{169}}$ là?

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

$\sqrt{\frac{81}{169}}=\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{169}}=\frac{\sqrt{9^2}}{\sqrt{{13}^2}}=\frac{9}{13}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 9: Khẳng định nào sau đây là đúng?

$$\begin{gathered} A. \sqrt{2018+2019}=\sqrt{2018}+\sqrt{2019} \\ B. \sqrt{2018.2019}=\frac{\sqrt{2018}}{\sqrt{2019}} \\ C.\sqrt{2018}.\sqrt{2019}=\sqrt{2018.2019} \\ D. 2018.2019=\frac{\sqrt{2018}}{\sqrt{2019}} \end{gathered}$$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có $\sqrt{2018}.\sqrt{2019}=\sqrt{2018.2019}$

Câu 10: Kết quả của phép tính $\sqrt{1,25}.\sqrt{51,2}$ là?

A. 32

B. 16

C. 64

D. 8

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

$$\begin{gathered} \sqrt{1,25}.\sqrt{51,2} \\ =\sqrt{1,25.51,2} \\ =\sqrt{64}=\sqrt{8^2}=8 \end{gathered}$$

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

Lý thuyết Bảng căn bậc hai

Lý thuyết Biến đổi đơn giản biểu thức căn thức bậc hai

Lý thuyết Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Lý thuyết Căn bậc ba