Lý thuyết Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương (mới 2024 + Bài Tập) - Toán 9

Lý thuyết Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương lớp 9 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 9 Bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương.

1 2,727 21/12/2023

Tải về

Trang trước

Trang sau

Lý thuyết Toán 9 Bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương.

A. Lý thuyết

1. Căn bậc hai của một thương

Định lí. Với số a không âm và số b dương, ta có: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ .

Ví dụ 1. Tính:

a) $\sqrt{\frac{144}{25}}$ ;

b) $\sqrt{\frac{144}{25}}$ .

Lời giải:

a) $\sqrt{\frac{144}{25}} = \frac{\sqrt{144}}{\sqrt{25}} = \frac{12}{5}$ ;

b) $\sqrt{\frac{64}{121}} = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{121}} = \frac{8}{11}$ .

2. Quy tắc khai phương một thương

Muốn khai phương một thương $\frac{a}{b}$ , trong đó số a không âm và số b dương, ta có thể lần lượt khai phương của các số a và số b, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.

$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} (v ớ i a \geq 0, b > 0) .$

Ví dụ 2. Áp dụng quy tắc khai phương một thương, hãy tính:

a) $\sqrt{\frac{49}{144}}$ ;

b) $\sqrt{\frac{25}{64} : \frac{49}{16}}$ .

Lời giải:

a) $\sqrt{\frac{49}{144}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{144}} = \frac{7}{12}$ ;

$\sqrt{\frac{25}{64} : \frac{49}{16}} = \sqrt{\frac{25}{64}} : \sqrt{\frac{49}{16}} = \frac{5}{8} : \frac{7}{4} = \frac{5}{14}$

3. Quy tắc chia hai căn bậc hai

Muốn chia hai căn bậc hai của số a không âm và số b dương, ta có thể lấy số a chia cho số b rồi khai phương kết quả vừa tìm được.

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ (với a ≥ 0, b > 0).

Ví dụ 3. Tính:

a) $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$ ;

b) $\sqrt{6 \frac{3}{4}} : \sqrt{2 \frac{1}{12}}$ .

Lời giải:

a) $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5$ .

$\sqrt{6 \frac{3}{4}} : \sqrt{2 \frac{1}{12}} = \sqrt{\frac{27}{4}} : \sqrt{\frac{25}{12}} = \sqrt{\frac{27}{4} : \frac{25}{12}}$

$= \sqrt{\frac{27}{4} . \frac{12}{25}} = \sqrt{\frac{81}{25}} = \frac{9}{5}$

Chú ý. Một cách tổng quát, với biểu thức A không âm và biểu thức B dương, ta có: $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$ .

Ví dụ 4. Rút gọn biểu thức:

a) $\sqrt{\frac{9 a^{2}}{64}}$ ;

b) $\frac{\sqrt{63 a}}{\sqrt{7 a}}$ với a > 0.

Lời giải:

$\sqrt{\frac{9 a^{2}}{64}} = \frac{\sqrt{9 a^{2}}}{\sqrt{64}} = \frac{\sqrt{9} . \sqrt{a^{2}}}{\sqrt{64}} = \frac{3}{8} | a |$

b) $\frac{\sqrt{63 a}}{\sqrt{7 a}} = \sqrt{\frac{63 a}{7 a}} = \sqrt{9} = 3$ với a > 0.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính:

a) $\sqrt{\frac{121}{256}}$ ;

b) $\sqrt{1 \frac{15}{49}}$ ;

c) $\sqrt{\frac{4,9}{16,9}}$ .

Lời giải:

a) $\sqrt{\frac{121}{256}} = \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{256}} = \frac{11}{16}$ .

b) $\sqrt{1 \frac{15}{49}} = \sqrt{\frac{64}{49}} = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{49}} = \frac{8}{7}$ ;

$\sqrt{\frac{4,9}{16,9}} = \sqrt{\frac{49}{169}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{169}} = \frac{7}{13}$

Bài 2. Tính:

a) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{48}}$ ;

b) $\frac{\sqrt{245}}{\sqrt{5}}$ ;

c) $\frac{\sqrt{24^{7}}}{\sqrt{3^{5} . 8^{7}}}$ .

Lời giải:

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{48}} = \sqrt{\frac{3}{48}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$

$\frac{\sqrt{245}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{245}{5}} = \sqrt{49} = 7$

$\frac{\sqrt{24^{7}}}{\sqrt{3^{5} . 8^{7}}} = \sqrt{\frac{24^{7}}{3^{5} . 8^{7}}} = \sqrt{\frac{3^{7} . 8^{7}}{3^{5} . 8^{7}}}$

$= \sqrt{\frac{3^{7}}{3^{5}}} = \sqrt{3^{2}} = 3$

Bài 3. Rút gọn biểu thức:

a) $\frac{x}{y} . \sqrt{\frac{9 x^{2}}{y^{4}}}$ với x < 0, y ≠ 0;

b) $3 x y . \sqrt{\frac{36 x^{4}}{y^{2}}}$ với y > 0;

c) $2 x y^{3} . \sqrt{\frac{64}{x^{2} y^{4}}}$ với x > 0, y ≠ 0.

Lời giải:

a) Ta có: $\frac{x}{y} . \sqrt{\frac{9 x^{2}}{y^{4}}} = \frac{x}{y} . \frac{\sqrt{9 x^{2}}}{\sqrt{y^{4}}}$

$= \frac{x}{y} . \frac{\sqrt{9} . \sqrt{x^{2}}}{\sqrt{{(y^{2})}^{2}}} = \frac{x}{y} . \frac{3 | x |}{| y^{2} |}$

Vì x < 0 nên |x| = − x.

Vì y ≠ 0 nên y² > 0. Suy ra | y²| = y².

Do đó

$\frac{x}{y} . \frac{3 | x |}{| y^{2} |} = \frac{x}{y} . \frac{3 . (- x)}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{y^{3}}$

Vậy $\frac{x}{y} . \sqrt{\frac{9 x^{2}}{y^{4}}} = \frac{- 3 x^{2}}{y^{3}}$ với x < 0, y ≠ 0.

$3 x y . \sqrt{\frac{36 x^{4}}{y^{2}}} = 3 x y . \frac{\sqrt{36 x^{4}}}{\sqrt{y^{2}}} = 3 x y . \frac{\sqrt{6^{2} . {(x^{2})}^{2}}}{\sqrt{y^{2}}}$

$= 3 x y . \frac{\sqrt{{(6 x^{2})}^{2}}}{\sqrt{y^{2}}} = 3 x y . \frac{| 6 x^{2} |}{| y |}$

Vì x² ≥ 0 nên | x²| = x².

Vì y > 0 nên |y| = y.

Do đó

$3 x y . \frac{| 6 x^{2} |}{| y |} = 3 x y . \frac{6 x^{2}}{y} = 18 x^{3}$

Vậy $3 x y . \sqrt{\frac{36 x^{4}}{y^{2}}} = 18 x^{3}$ với y > 0.

c) $2 x y^{3} . \sqrt{\frac{64}{x^{2} y^{4}}} = 2 x y^{3} . \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{x^{2} y^{4}}}$

$= 2 x y^{3} . \frac{\sqrt{8^{2}}}{\sqrt{x^{2}} . \sqrt{{(y^{2})}^{2}}} = 2 x y^{3} . \frac{8}{| x | . | y^{2} |}$

Vì x > 0 nên |x| = x.

Vì y ≠ 0 nên y² > 0. Suy ra | y²| = y².

Do đó $2 x y^{3} . \frac{8}{| x | . | y^{2} |} = 2 x y^{3} . \frac{8}{x y^{2}} = 16 y$ .

Vậy $2 x y^{3} . \sqrt{\frac{64}{x^{2} y^{4}}} = 16 y$ với x > 0, y ≠ 0.

Trắc nghiệm Toán 9 Bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

Câu 1: Rút gọn biểu thức $\frac{\sqrt{9 x^{5} + 33 x^{4}}}{\sqrt{3 x + 11}}$ với x > 0, ta được?

Trắc nghiệm Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương có đáp án – Toán lớp 9 (ảnh 2)

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Trắc nghiệm Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương có đáp án – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Câu 2: Rút gọn biểu thức $\sqrt{\frac{a^{4}}{b^{2}}}$ với $b \neq 0$ ta được?

Trắc nghiệm Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương có đáp án – Toán lớp 9 (ảnh 3)

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Trắc nghiệm Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương có đáp án – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Câu 3: Rút gọn biểu thức: $D = \frac{2 (a + b)}{\sqrt{b}} \sqrt{\frac{b}{a^{2} + 2 a b + b^{2}}}$ với a, b > 0, ta được:

Trắc nghiệm Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương có đáp án – Toán lớp 9 (ảnh 4)

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Trắc nghiệm Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương có đáp án – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Câu 4: Rút gọn biểu thức $\frac{3 m}{8 n} \sqrt{\frac{64 n^{2}}{9 m^{2}}}$ với m > 0; n < 0, ta được?

Trắc nghiệm Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương có đáp án – Toán lớp 9 (ảnh 5)

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Trắc nghiệm Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương có đáp án – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Câu 5: Rút gọn biểu thức $E = \frac{a - b}{2 \sqrt{a}} \sqrt{\frac{a b}{{(a - b)}^{2}}}$ với 0 < a < b, ta được:

Trắc nghiệm Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương có đáp án – Toán lớp 9 (ảnh 6)

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Trắc nghiệm Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương có đáp án – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Câu 6: Rút gọn biểu thức $\frac{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}{\sqrt{x + 2}}$ với x > 0, ta được?

Trắc nghiệm Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương có đáp án – Toán lớp 9 (ảnh 8)

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Trắc nghiệm Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương có đáp án – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Câu 7: Với $a \geq 0, b \geq 0, a \neq b,$ rút gọn biểu thức $\frac{a - b}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a^{3}} + \sqrt{b^{3}}}{a - b}$ ta được?

Trắc nghiệm Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương có đáp án – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Lời giải

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Câu 8: Với $a \geq 0, b \geq 0, 2 a \neq 3 b,$ rút gọn biểu thức $\frac{2 a + 3 b}{\sqrt{2 a} + \sqrt{3 b}} + \frac{\sqrt{8 a^{3}} - \sqrt{27 b^{3}}}{3 b - 2 a}$ ta được?

Trắc nghiệm Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương có đáp án – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Trắc nghiệm Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương có đáp án – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Câu 9: Với x > 5, cho biểu thức $A = \frac{\sqrt{x^{2} - 5 x}}{\sqrt{x - 5}}$ và B = x.

Có bao nhiêu giá trị của x để A = B?

A. 1

B. 2

C. 0

D. Vô số

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Trắc nghiệm Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương có đáp án – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Câu 10: Rút gọn biểu thức $4 a^{4} b^{2} . \sqrt{\frac{9}{a^{8} b^{4}}}$ với $a b \neq 0$ , ta được?

Trắc nghiệm Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương có đáp án – Toán lớp 9 (ảnh 11)

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Trắc nghiệm Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương có đáp án – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Bảng căn bậc hai

Lý thuyết Biến đổi đơn giản biểu thức căn thức bậc hai

Lý thuyết Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Lý thuyết Căn bậc ba

Lý thuyết Ôn tập chương 1

1 2,727 21/12/2023

Tải về

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3