Lý thuyết Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương (mới 2024 + Bài Tập) - Toán 9

Lý thuyết Toán 9 Bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương.

A. Lý thuyết

1. Căn bậc hai của một thương

Định lí. Với số a không âm và số b dương, ta có: $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

Ví dụ 1. Tính:

a) $\sqrt{\frac{144}{25}}$;

b) $\sqrt{\frac{144}{25}}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{\frac{144}{25}}=\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{25}}=\frac{12}{5}$;

b) $\sqrt{\frac{64}{121}}=\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{121}}=\frac{8}{11}$.

2. Quy tắc khai phương một thương

Muốn khai phương một thương $\frac{a}{b}$, trong đó số a không âm và số b dương, ta có thể lần lượt khai phương của các số a và số b, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} (với a \ge 0, b > 0).$

Ví dụ 2. Áp dụng quy tắc khai phương một thương, hãy tính:

a) $\sqrt{\frac{49}{144}}$;

b) $\sqrt{\frac{25}{64}:\frac{49}{16}}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{\frac{49}{144}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{144}}=\frac{7}{12}$;

b)

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{25}{64}:\frac{49}{16}}=\sqrt{\frac{25}{64}}:\sqrt{\frac{49}{16}} \\ =\frac{5}{8}:\frac{7}{4}=\frac{5}{14} \end{gathered}$$

3. Quy tắc chia hai căn bậc hai

Muốn chia hai căn bậc hai của số a không âm và số b dương, ta có thể lấy số a chia cho số b rồi khai phương kết quả vừa tìm được.

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$(với a ≥ 0, b > 0).

Ví dụ 3. Tính:

a) $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$;

b) $\sqrt{6\frac{3}{4}}:\sqrt{2\frac{1}{12}}$.

Lời giải:

a) $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{75}{3}}=\sqrt{25}=5$.

b)

$$\begin{gathered} \sqrt{6\frac{3}{4}}:\sqrt{2\frac{1}{12}}=\sqrt{\frac{27}{4}}:\sqrt{\frac{25}{12}} \\ =\sqrt{\frac{27}{4}:\frac{25}{12}} \end{gathered}$$

$=\sqrt{\frac{27}{4}.\frac{12}{25}}=\sqrt{\frac{81}{25}}=\frac{9}{5}$

Chú ý. Một cách tổng quát, với biểu thức A không âm và biểu thức B dương, ta có: $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$.

Ví dụ 4. Rút gọn biểu thức:

a) $\sqrt{\frac{9a^2}{64}}$;

b) $\frac{\sqrt{63a}}{\sqrt{7a}}$với a > 0.

Lời giải:

a)

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{9a^2}{64}}=\frac{\sqrt{9a^2}}{\sqrt{64}} \\ =\frac{\sqrt{9}.\sqrt{a^2}}{\sqrt{64}}=\frac{3}{8}\left|a\right| \end{gathered}$$

b) $\frac{\sqrt{63a}}{\sqrt{7a}}=\sqrt{\frac{63a}{7a}}=\sqrt{9}=3$với a > 0.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính:

a) $\sqrt{\frac{121}{256}}$;

b) $\sqrt{1\frac{15}{49}}$;

c) $\sqrt{\frac{\mathrm{4,9}}{\mathrm{16,9}}}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{\frac{121}{256}}=\frac{\sqrt{121}}{\sqrt{256}}=\frac{11}{16}$.

b) $\sqrt{1\frac{15}{49}}=\sqrt{\frac{64}{49}}=\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{49}}=\frac{8}{7}$;

c)

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{\mathrm{4,9}}{\mathrm{16,9}}}=\sqrt{\frac{49}{169}} \\ =\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{169}}=\frac{7}{13} \end{gathered}$$

Bài 2. Tính:

a) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{48}}$;

b) $\frac{\sqrt{245}}{\sqrt{5}}$;

c) $\frac{\sqrt{{24}^7}}{\sqrt{3^5.8^7}}$.

Lời giải:

a)

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{48}}=\sqrt{\frac{3}{48}} \\ =\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4} \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt{245}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{245}{5}} \\ =\sqrt{49}=7 \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt{{24}^7}}{\sqrt{3^5.8^7}}=\sqrt{\frac{{24}^7}{3^5.8^7}} \\ =\sqrt{\frac{3^7.8^7}{3^5.8^7}} \end{gathered}$$

$=\sqrt{\frac{3^7}{3^5}}=\sqrt{3^2}=3$

Bài 3. Rút gọn biểu thức:

a) $\frac{x}{y}.\sqrt{\frac{9x^2}{y^4}}$ với x < 0, y ≠ 0;

b) $3xy.\sqrt{\frac{36x^4}{y^2}}$với y > 0;

c) $2x{y}^3.\sqrt{\frac{64}{x^2{y}^4}}$với x > 0, y ≠ 0.

Lời giải:

a) Ta có: $\frac{x}{y}.\sqrt{\frac{9x^2}{y^4}}=\frac{x}{y}.\frac{\sqrt{9x^2}}{\sqrt{y^4}}$

$$\begin{gathered} =\frac{x}{y}.\frac{\sqrt{9}.\sqrt{x^2}}{\sqrt{{\left(y^2\right)}^2}} \\ =\frac{x}{y}.\frac{3\left|x\right|}{\left|y^2\right|} \end{gathered}$$

Vì x < 0 nên |x| = − x.

Vì y ≠ 0 nên y² > 0. Suy ra | y² | = y².

Do đó

$$\begin{gathered} \frac{x}{y}.\frac{3\left|x\right|}{\left|y^2\right|}=\frac{x}{y}.\frac{3.(-x)}{y^2} \\ =\frac{-3x^2}{y^3} \end{gathered}$$

Vậy $\frac{x}{y}.\sqrt{\frac{9x^2}{y^4}}=\frac{-3x^2}{y^3}$ với x < 0, y ≠ 0.

b)

$$\begin{gathered} 3xy.\sqrt{\frac{36x^4}{y^2}}=3xy.\frac{\sqrt{36x^4}}{\sqrt{y^2}} \\ =3xy.\frac{\sqrt{6^2.{\left(x^2\right)}^2}}{\sqrt{y^2}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} =3xy.\frac{\sqrt{{\left(6x^2\right)}^2}}{\sqrt{y^2}} \\ =3xy.\frac{\left|6x^2\right|}{\left|y\right|} \end{gathered}$$

Vì x² ≥ 0 nên | x² | = x².

Vì y > 0 nên |y| = y.

Do đó

$$\begin{gathered} 3xy.\frac{\left|6x^2\right|}{\left|y\right|} \\ =3xy.\frac{6x^2}{y}=18x^3 \end{gathered}$$

Vậy $3xy.\sqrt{\frac{36x^4}{y^2}}=18x^3$ với y > 0.

c) $2x{y}^3.\sqrt{\frac{64}{x^2{y}^4}}=2x{y}^3.\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{x^2{y}^4}}$

$$\begin{gathered} =2x{y}^3.\frac{\sqrt{8^2}}{\sqrt{x^2}.\sqrt{{\left(y^2\right)}^2}} \\ =2x{y}^3.\frac{8}{\left|x\right|.\left|y^2\right|} \end{gathered}$$

Vì x > 0 nên |x| = x.

Vì y ≠ 0 nên y² > 0. Suy ra | y² | = y².

Do đó $2x{y}^3.\frac{8}{\left|x\right|.\left|y^2\right|}=2x{y}^3.\frac{8}{x{y}^2}=16y$.

Vậy $2x{y}^3.\sqrt{\frac{64}{x^2{y}^4}}=16y$ với x > 0, y ≠ 0.

Trắc nghiệm Toán 9 Bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

Câu 1: Rút gọn biểu thức $\frac{\sqrt{9x^5+33x^4}}{\sqrt{3x+11}}$ với x > 0, ta được?

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Câu 2: Rút gọn biểu thức $\sqrt{\frac{a^4}{b^2}}$với $b\ne 0$ ta được?

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Câu 3: Rút gọn biểu thức: $D=\frac{2(a+b)}{\sqrt{b}}\sqrt{\frac{b}{a^2+2ab+b^2}}$ với a, b > 0, ta được:

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Câu 4: Rút gọn biểu thức $\frac{3m}{8n}\sqrt{\frac{64n^2}{9m^2}}$ với m > 0; n < 0, ta được?

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Câu 5: Rút gọn biểu thức $E=\frac{a-b}{2\sqrt{a}}\sqrt{\frac{ab}{{(a-b)}^2}}$ với 0 < a < b, ta được:

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Câu 6: Rút gọn biểu thức $\frac{\sqrt{x^3+2x^2}}{\sqrt{x+2}}$ với x > 0, ta được?

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Câu 7: Với $a\ge 0,b\ge 0,a\ne b,$ rút gọn biểu thức $\frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}}{a-b}$ta được?

Lời giải

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Câu 8: Với $a\ge 0,b\ge 0,2a\ne 3b,$ rút gọn biểu thức $\frac{2a+3b}{\sqrt{2a}+\sqrt{3b}}+\frac{\sqrt{8a^3}-\sqrt{27b^3}}{3b-2a}$ta được?

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Câu 9: Với x > 5, cho biểu thức $A=\frac{\sqrt{x^2-5x}}{\sqrt{x-5}}$và B = x.

Có bao nhiêu giá trị của x để A = B?

A. 1

B. 2

C. 0

D. Vô số

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Câu 10: Rút gọn biểu thức $4a^4{b}^2.\sqrt{\frac{9}{a^8{b}^4}}$ với $ab\ne 0$, ta được?

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Bảng căn bậc hai

Lý thuyết Biến đổi đơn giản biểu thức căn thức bậc hai

Lý thuyết Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Lý thuyết Căn bậc ba

Lý thuyết Ôn tập chương 1