Lý thuyết Căn bậc hai (mới 2024 + Bài Tập) - Toán 9

Lý thuyết Toán 9 Bài 1: Căn bậc hai

A. Lý thuyết

1. Căn bậc hai

a. Khái niệm: Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x² = a.

Ví dụ 1. Số 16 là số không âm, căn bậc hai của 16 là số x sao cho x² = 16.

Do đó căn bậc hai của 16 là 4 và −4.

b. Tính chất:

- Số âm không có căn bậc hai.

- Số 0 có đúng một căn bậc hai đó chính là số 0, ta viết $\sqrt{0}=0$.

- Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau; số dương ký hiệu là $\sqrt{a}$ , số âm ký hiệu là $-\sqrt{a}$.

Ví dụ 2.

- Số −12 là số âm nên không có căn bậc hai.

- Số 64 có hai căn bậc hai là 8 và −8.

- Số 15 có hai căn bậc hai là $\sqrt{15}$ và $-\sqrt{15}$ .

2. Căn bậc hai số học

a. Định nghĩa: Với số dương a, số $\sqrt{a}$ được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.

Ví dụ 3. Căn bậc hai số học của 36 là $\sqrt{36}$ (= 4).

- Căn bậc hai số học của 7 là $\sqrt{7}$.

Chú ý. Với a ≥ 0, ta có:

Nếu $x=\sqrt{a}$ thì x ≥ 0 và x² = a;

Nếu x ≥ 0 và x² = a thì $x=\sqrt{a}$.

- Ta viết $x=\sqrt{a}\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge \mathrm{0,}\\ x^2=a.\end{array}\right.$

Ví dụ 4. Tìm căn bậc hai số học của các số sau đây: 25; 81; 225; 324.

Lời giải:

Ta có:

• $\sqrt{25}=5$ vì 5 > 0 và 5² = 25;

• $\sqrt{81}=9$ vì 9 > 0 và 9² = 81;

• $\sqrt{225}=15$ vì 15 > 0 và 15² = 225;

• $\sqrt{324}=18$ vì 18 > 0 và 18² = 324.

b. Phép khai phương:

- Phép khai phương là phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm (gọi tắt là khai phương).

- Khi biết một căn bậc hai số học của một số, ta dễ dàng xác định được các căn bậc hai của nó.

Ví dụ 5.

- Căn bậc hai số học của 9 là 3 nên 9 có hai căn bậc hai là 3 và −3.

- Căn bậc hai số học cuả 256 là 16 nên 256 có hai căn bậc hai là 16 và −16.

3. So sánh các căn bậc hai số học

Định lí. Với hai số a và b không âm, ta có: $a<b\iff \sqrt{a}<\sqrt{b}$.

Ví dụ 6. So sánh:

a) 3 và $\sqrt{11}$;

b) 5 và $\sqrt{15}$.

Lời giải:

a) Vì 9 < 11 nên $\sqrt{9}<\sqrt{11}$.

Vậy $3<\sqrt{11}$.

b) Vì 25 > 15 nên $\sqrt{25}>\sqrt{15}$.

Vậy $5>\sqrt{15}$.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng:

25; 196; 289; 484.

Lời giải:

- Căn bậc hai số học của 25 là 5 nên 25 có hai căn bậc hai là 5 và −5;

- Căn bậc hai số học cuả 196 là 14 nên 196 có hai căn bậc hai là 14 và −14;

- Căn bậc hai số học của 289 là 17 nên 289 có hai căn bậc hai là 17 và −17;

- Căn bậc hai số học cuả 484 là 22 nên 484 có hai căn bậc hai là 22 và −22.

Bài 2. So sánh:

a) 4 và $\sqrt{26}$;

b) 8 và $\sqrt{31}$.

Lời giải:

a) Vì 16 < 26 nên $\sqrt{16}<\sqrt{26}$.

Vậy $4<\sqrt{26}$.

b) Vì 64 > 31 nên $\sqrt{64}>\sqrt{31}$.

Vậy $8>\sqrt{31}$.

Bài 3. Tìm số x không âm, biết:

a) $\sqrt{x}=18$;

b) $3\sqrt{x}=24$;

c) $\sqrt{x}<\sqrt{5}$;

d) $\sqrt{2x}<6$.

Lời giải:

a) $\sqrt{x}=18$

Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được:

x = 18²

$\iff$x = 324.

Vậy x = 324.

b) $3\sqrt{x}=24$

$\iff \sqrt{x}=8$

Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được:

x = 8²

$\iff$x = 64.

Vậy x = 64.

c) $\sqrt{x}<\sqrt{5}$

Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: x < 5.

Vậy 0 ≤ x < 5.

d) $\sqrt{2x}<6$

Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được:

2x < 36

$\iff$x < 18.

Vậy 0 ≤ x < 18.

Trắc nghiệm Toán 9 Bài 1: Căn bậc hai

Câu 1: Cho số thực a > 0.

Căn bậc hai số học của a là x khi và chỉ khi

A. $x=\sqrt{a}$

B. $\sqrt{x}=a$

C. $a^2=x$ và $x\ge 0$

D. $x^2=a$ và $x\ge 0$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Với số dương a, số x được gọi là căn bậc hai số học của a khi và chỉ khi:

Câu 2: Số nào sau đây là căn bậc hai số học của số a = 2,25

A. – 1,5 và 1,5

B. 1,25

C. 1,5

D. – 1,5

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Căn bậc hai số học của a = 2,25 là $\sqrt{2,25}=1,5$

Câu 3: Tìm các số x không âm thỏa mãn: $\sqrt{5x}<10$

A. $0\le x<20$

B. x < 20

C. x > 0

D. x < 2

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Câu 4: Khẳng định nào sau đây là sai:

A. $\sqrt{A^2}=A$ khi $A\ge 0$

B. $\sqrt{A^2}=-A$ khi A < 0

C. $\sqrt{A}<\sqrt{B}\iff 0\le A<B$

D. A > B $\iff 0\le A<B$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Câu 5: Cho số thực a > 0.

Số nào sau dây là căn bậc hai số học của a?

A. $\sqrt{a}$

B. - $\sqrt{a}$

C. $\sqrt{2a}$

D. 2 $\sqrt{a}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Câu 6: Số bào sau đây là căn bậc hai số học của số a = 0,36

A. – 0,6

B. 0,6

C. 0,9

D. – 0,18

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Căn bậc hai số học của a = 0,36 là $\sqrt{0,36}=0,6$

Câu 7: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\sqrt{A^2}=A$ khi A < 0

B. $\sqrt{A^2}=A$ khi $A\ge 0$

C. $\sqrt{A}<\sqrt{B}\iff 0\le A<B$

D. A > B $\iff \sqrt{A}<\sqrt{B}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Câu 8: So sánh hai số 2 và 1+ $\sqrt{2}$

A. $2\ge 1+\sqrt{2}$

B. 2 = 1 + $\sqrt{2}$

C. 2 < 1 + $\sqrt{2}$

D. Không thể so sánh

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Câu 9: Tìm giá trị của x không âm biết $5\sqrt{2}$ − 125 = 0

A. $x=\frac{25}{2}$

B. x = 125

C. x $=\frac{625}{2}$

D. x = 25

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Câu 10: Biểu thức $\sqrt{x-3}$ có nghĩa khi:

A. x < 3

B. x < 0

C. $x\ge 0$

D. $x\ge 3$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức căn bậc hai(A^2)= |A|

Lý thuyết Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Lý thuyết Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

Lý thuyết Bảng căn bậc hai

Lý thuyết Biến đổi đơn giản biểu thức căn thức bậc hai