Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc hai (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

Lý thuyết Toán 9 Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài giảng Toán 9 Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

I. Lý thuyết

1. Phương trình trùng phương

a) Phương trình trùng phương

Định nghĩa: Phương trình trùng phương là phương trình có dạng:

${\mathrm{ax}}^4+{\mathrm{bx}}^2+\mathrm{c}=0 \left(\mathrm{a}\ne 0\right)$(1)

Ví dụ 1: $3{\mathrm{x}}^4+3{\mathrm{x}}^2+6=0$; ${\mathrm{x}}^4-3{\mathrm{x}}^2=0$; ${\mathrm{x}}^4-16=0$… là những phương trình trùng phương.

Nhận xét: Phương trình trên không phải là phương trình bậc hai, song ta có thể đưa về phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ

b) Các bước giải phương trình trùng phương

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Đặt ${\mathrm{x}}^2=\mathrm{t}\left(\mathrm{t}\ge 0\right)$, khi đó phương trình (1) trở thành ${\mathrm{at}}^2+\mathrm{bt}+\mathrm{c}=0$(2)

Bước 2: Giải phương trình (2) với ẩn t

Bước 3: Giải phương trình t = x²

Bước 4: Trả lời

So sánh với điều kiện rồi kết luận nghiệm của phương trình.

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

a) Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Định nghĩa: Phương trình chứ ẩn ở mẫu là phương trình có chứa ẩn ở mẫu số.

Ví dụ 2: $\frac{2\mathrm{x}+3}{\mathrm{x}+5}+\frac{1}{\mathrm{x}-5}=0$; $\frac{4\mathrm{x}}{\mathrm{x}+3}-\frac{2\mathrm{x}-3}{\mathrm{x}+1}=6$… là những phương trình chứa ẩn ở mẫu.

b) Các bước giải phương trình chứa ân ở mẫu.

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Trong các giá trị của ẩn vừa tìm được, loại các giá trị không thỏa mãn và kết luận nghiệm của phương trình.

3. Phương trình tích

a) Phương trình tích

Định nghĩa: Phương trình tích là phương trình có dạng A(x).B(x)….M(x) = 0, ở đó A(x); B(x); … M(x) là những biểu thức.

Ví dụ 3: $\left(\mathrm{x}+1\right)\left({\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+5\right); {\left(\mathrm{x}+1\right)}^2\left(2{\mathrm{x}}^2+12\mathrm{x}+18\right)$ …

b) Các bước giải phương trình tích

Bước 1: Giải từng nhân tử A(x) = 0; B(x) = 0; …của phương trình

Bước 2: So sánh điều kiện kết luận tập nghiệm.

II. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải các phương trình sau

a) ${\mathrm{x}}^4-13{\mathrm{x}}^2+36=0$

b) $5{\mathrm{x}}^4+3{\mathrm{x}}^2+2=0$

c) ${\mathrm{x}}^4+4{\mathrm{x}}^2+3=0$

Lời giải:

a) ${\mathrm{x}}^4-13{\mathrm{x}}^2+36=0$

Đặt ${\mathrm{x}}^2=\mathrm{t}\left(\mathrm{t}\ge 0\right)$ khi đó phương trình trở thành:

$$\begin{gathered} {\mathrm{t}}^2-13\mathrm{t}+36=0 \\ ∆={\left(-13\right)}^2-4.36=25 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{t}=\frac{-\mathrm{b}+\sqrt{∆}}{2\mathrm{a}}=\frac{-\left(-13\right)+5}{2}=9\left(\mathrm{tm}\right)\\ \mathrm{t}=\frac{-\mathrm{b}-\sqrt{∆}}{2\mathrm{a}}=\frac{-\left(-13\right)-5}{2}=4\left(\mathrm{tm}\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

+ Với t = 9 $\Rightarrow {\mathrm{x}}^2=9\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=3\\ \mathrm{x}=-3\end{array}\right.$

+ Với $\Rightarrow {\mathrm{x}}^2=4\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2\\ \mathrm{x}=-2\end{array}\right.$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {-3; -2; 2; 3}.

b) $5{\mathrm{x}}^4+3{\mathrm{x}}^2+2=0$

Đặt ${\mathrm{x}}^2=\mathrm{t}\left(\mathrm{t}\ge 0\right)$, khi đó phương trình trở thành

$$\begin{gathered} 5{\mathrm{t}}^2+3\mathrm{t}+2=0 \\ ∆=3^2-5.4.2=9-40=-31 \end{gathered}$$

Vì $∆<0$ nên phương trình vô nghiệm

Do đó phương trình ban đầu vô nghiệm

c) ${\mathrm{x}}^4+4{\mathrm{x}}^2+3=0$

Đặt ${\mathrm{x}}^2=\mathrm{t}\left(\mathrm{t}\ge 0\right)$, khi đó phương trình trở thành

${\mathrm{t}}^2+4\mathrm{t}+3=0$

Có a = 1; b = 4; c = 4 $\Rightarrow \mathrm{a}-\mathrm{b}+\mathrm{c}=0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt ${\mathrm{t}}_1=-1; {\mathrm{t}}_2=\frac{-\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\frac{-3}{1}=-3$

Vì $\mathrm{t}\ge 0$ do đó cả ${\mathrm{t}}_1; {\mathrm{t}}_2$ đều không thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 2: Giải các phương trình sau

a) $\frac{480}{\mathrm{x}}-\frac{480}{\mathrm{x}+3}=8$

b) $\frac{1}{\mathrm{x}-1}-\frac{3{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{x}}^3-1}=\frac{2\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}$

Lời giải :

a) Điều kiện: $\mathrm{x}\ne 0; \mathrm{x}\ne -3$

$$\begin{gathered} \frac{480}{\mathrm{x}}-\frac{480}{\mathrm{x}+3}=8 \\ \iff \frac{480.\left(\mathrm{x}+3\right)}{\mathrm{x}.\left(\mathrm{x}+3\right)}-\frac{480.\mathrm{x}}{\mathrm{x}.\left(\mathrm{x}+3\right)}=\frac{8\mathrm{x}.\left(\mathrm{x}+3\right)}{\mathrm{x}.\left(\mathrm{x}+3\right)} \\ \iff \frac{480\mathrm{x}+1440-480\mathrm{x}-8{\mathrm{x}}^2-24\mathrm{x}}{\mathrm{x}.\left(\mathrm{x}+3\right)}=0 \\ \iff \frac{-8{\mathrm{x}}^2-24+1440}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+3\right)}=0 \\ \Rightarrow 8{\mathrm{x}}^2+24\mathrm{x}-1440=0 \\ \iff {\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}-180=0\left(*\right) \end{gathered}$$

$∆=3^2-4.1.\left(-180\right)=729$ > 0

Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là:

${\mathrm{x}}_1=\frac{-3+\sqrt{729}}{2}=12$ (thỏa mãn);

${\mathrm{x}}_1=\frac{-3-\sqrt{729}}{2}=-15$ (thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình là $\left\{12; -15\right\}$

b) Điều kiện: $\mathrm{x}\ne 1$

$$\begin{gathered} \frac{1}{\mathrm{x}-1}-\frac{3{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{x}}^3-1}=\frac{2\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1} \\ \iff \frac{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}{\left(\mathrm{x}-1\right)\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\right)}-\frac{3{\mathrm{x}}^2}{\left(\mathrm{x}-1\right)\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\right)}-\frac{2\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-1\right)}{\left(\mathrm{x}-1\right)\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\right)}=0 \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1-3{\mathrm{x}}^2-2{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}=0 \\ \iff -4{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+1=0 \left(*\right) \end{gathered}$$

$∆=3^2-4.\left(-4\right).1=9+16=25$

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

${\mathrm{x}}_1=\frac{-3+\sqrt{25}}{2.\left(-4\right)}=\frac{-1}{4}$(thỏa mãn);

${\text{x}}_2=\frac{-3-\sqrt{25}}{2.\left(-4\right)}=1$(không thỏa mãn)

Do đó tập nghiệm của phương trình ban đầu là S = $\left\{\frac{-1}{4}\right\}$.

Bài 3: Giải các phương trình sau

a) $\left(3{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+1\right)\left({\mathrm{x}}^2-4\right)=0$

b) ${\left(2{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-4\right)}^2-{\left(2\mathrm{x}-1\right)}^2=0$

Lời giải:

a) $\left(3{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+1\right)\left({\mathrm{x}}^2-4\right)=0$

$\iff \left\{\begin{array}{l}3{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+1=0 \left(1\right)\\ {\mathrm{x}}^2-4=0 \left(2\right)\end{array}\right.$

+) Giải (1) $3{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+1=0$

$∆=5^2-4.3.1=25-12=13>0$

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

${\mathrm{x}}_1=\frac{-\mathrm{b}+\sqrt{∆}}{2\mathrm{a}}=\frac{5+\sqrt{13}}{2.3}=\frac{5+\sqrt{13}}{6}$;

${\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}-\sqrt{∆}}{2\mathrm{a}}=\frac{5-\sqrt{13}}{2.3}=\frac{5-\sqrt{13}}{6}$

+) Giải (2) ${\mathrm{x}}^2-4=0\iff {\mathrm{x}}^2=4\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2\\ \mathrm{x}=-2\end{array}\right.$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $\left\{-2; 2; \frac{5-\sqrt{13}}{6}; \frac{5+\sqrt{13}}{6}\right\}$.

b) ${\left(2{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-4\right)}^2-{\left(2\mathrm{x}-1\right)}^2=0$

$$\begin{gathered} \iff \left[\left(2{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-4\right)-\left(2\mathrm{x}-1\right)\right].\left[\left(2{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-4\right)+\left(\left(2\mathrm{x}-1\right)\right)\right]=0 \\ \iff \left(2{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-3\right)\left(2{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}-5\right)=0 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}2{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-3=0 \left(1\right)\\ 2{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}-5=0 \left(2\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

+) Giải (1) $2{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-3=0$

$∆={\left(-1\right)}^2-4.2.\left(-3\right)=25$

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_1=\frac{1+\sqrt{25}}{2.2}=\frac{3}{2} \\ {\mathrm{x}}_2=\frac{1-\sqrt{25}}{2.2}=-1 \end{gathered}$$

+ Giải (2) $2{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}-5=0$

$∆=3^2-4.2.\left(-5\right)=49$

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_1=\frac{-3+\sqrt{49}}{2.2}=1 \\ {\mathrm{x}}_2=\frac{-3-\sqrt{49}}{2.2}=\frac{-5}{2} \end{gathered}$$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $\mathrm{S}=\left\{\frac{-5}{2}; \frac{3}{2}; -1; 1\right\}$.

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Lý thuyết Ôn tập chương 4

Lý thuyết Phương trình bậc nhất hai ẩn

Lý thuyết Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Lý thuyết Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế