Lý thuyết Căn bậc ba (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

Lý thuyết Toán 9 Bài 8: Căn bậc ba

A. Lý thuyết

1. Khái niệm căn bậc ba

Định nghĩa: Căn bậc ba của một số thực a là số x sao cho x³ = a.

Ví dụ 1.

3 là căn bậc ba của 27, vì 3³ = 27.

– 2 là căn bậc ba của – 8, vì (– 2)³ = – 8.

• Mỗi số a đều có duy nhất một căn bậc ba.

• Căn bậc ba của một số a được kí hiệu là $x=\sqrt[3]{a}$ (số 3 gọi là chỉ số căn).

• Phép lấy căn bậc ba của một số gọi là phép khai căn bậc ba.

Chú ý. Từ định nghĩa căn bậc ba, ta có ${\left(\sqrt[3]{a}\right)}^3=\sqrt[3]{a^3}=a$.

Ví dụ 2. $\sqrt[3]{343}=7$ vì 7³ = 343;

$\sqrt[3]{-64}=-4$ vì (− 4)³ = − 64.

Nhận xét:

- Căn bậc ba của số dương là số dương;

- Căn bậc ba của số âm là số âm;

- Căn bậc ba của số 0 là số 0.

Ví dụ 3.

- Căn bậc ba của 125 là 5 vì 5³ = 125;

- Căn bậc ba của −1 là −1 vì (−1)³ = −1;

- Căn bậc ba của số 0 là số 0.

2. Tính chất

• a < b $\iff$ $\sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}$.

• $\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b}$.

• Với b ≠ 0, ta có: $\sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$.

Ví dụ 4.

+ 5 < 6 Û $\sqrt[3]{5}<\sqrt[3]{6}$.

+ $\sqrt[3]{42}=\sqrt[3]{6}.\sqrt[3]{7}$.

+ $\sqrt[3]{\frac{12}{5}}=\frac{\sqrt[3]{12}}{\sqrt[3]{5}}$.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Rút gọn:

a) $\sqrt[3]{27x^3}-6x$;

b) $\sqrt[3]{{(a-1)}^3}+\sqrt{{(3a-1)}^2}$ với $a\ge \frac{1}{3}$.

Lời giải:

a)

$$\begin{gathered} \sqrt[3]{27x^3}-6x \\ =\sqrt[3]{27}.\sqrt[3]{x^3}-6x \end{gathered}$$

= 3x – 6x = – 3x.

b) Vì $a\ge \frac{1}{3}$ nên $a-\frac{1}{3}\ge 0$ suy ra |3a – 1| = 3a – 1.

$\sqrt[3]{{(a-1)}^3}+\sqrt{{(3a-1)}^2}$ = a – 1 + |3a – 1|

= a – 1 + 3a – 1 = 4a – 2.

Bài 2. Tính S = x³ + 12x – 8 khi $x=\sqrt[3]{4+\sqrt{80}}-\sqrt[3]{\sqrt{80}-4}$.

Lời giải:

Ta có: $x^3={\left(\sqrt[3]{4+\sqrt{80}}-\sqrt[3]{\sqrt{80}-4}\right)}^3$

$\iff x^3=\left[4+\sqrt{80}-(\sqrt{80}-4)\right]$

$$\begin{gathered} -3\left(\sqrt[3]{4+\sqrt{80}}-\sqrt[3]{\sqrt{80}-4}\right) \\ .\left(\sqrt[3]{4+\sqrt{80}}.\sqrt[3]{\sqrt{80}-4}\right) \end{gathered}$$

$\iff x^3=8-3x.\left(\sqrt[3]{4+\sqrt{80}}.\sqrt[3]{\sqrt{80}-4}\right)$

$\iff$x³ = 8 – 3x . 4

$\iff$x³ + 12x – 8 = 0.

Vậy khi $x=\sqrt[3]{4+\sqrt{80}}-\sqrt[3]{\sqrt{80}-4}$ thì S = x³ + 12x – 8 = 0.

Trắc nghiệm Toán 9 Bài 9: Căn bậc ba

Câu 1: Rút gọn biểu thức $2\sqrt[3]{27a^3}-3\sqrt[3]{8a^3}+4\sqrt[3]{125a^3}$ ta được

A. 14a

B. 20a

C. 9a

D. −8a

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Câu 2: Khẳng định nào sau đây là đúng?

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Câu 3: Khẳng định nào sau đây là đúng?

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Với mọi a, b ta có :

$\sqrt[3]{a}>\sqrt[3]{b}\iff$a > b

Câu 4: Chọn khẳng định đúng,với a $\ne$0 ta có

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có $\sqrt[3]{-\frac{1}{8a^3}}=\sqrt[3]{{\left(-\frac{1}{2a}\right)}^3}=-\frac{1}{2a}$

Câu 5: Thu gọn $\sqrt[3]{-\frac{1}{27a^3}}$ với a$\ne$0 ta được

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có $\sqrt[3]{-\frac{1}{27a^3}}=\sqrt[3]{{\left(-\frac{1}{3a}\right)}^3}=-\frac{1}{3a}$

Câu 6: Khẳng định nào sau đây là sai?

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Câu 7: Rút gọn biểu thức

$\sqrt[3]{\frac{-27}{512}{a}^3}+\sqrt[3]{64a^3}-\frac{1}{3}\sqrt[3]{1000a^3}$ta được

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Câu 8: Rút gọn biểu thức

$A=\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}$ta được

A. A = 3

B. A =$\sqrt{3}$

C. A = 6

D. A = 27

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Câu 9: Tìm x biết $\sqrt[3]{4-2x}>4$

A. a < 30

B. x > −30

C. x < −30

D. x > 30

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Câu 10: Khẳng định nào sau đây là đúng?

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Ôn tập chương 1

Lý thuyết Căn bậc hai

Lý thuyết Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức căn bậc hai(A^2)= |A|

Lý thuyết Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Lý thuyết Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương